【数字信号处理】离散傅里叶变换（DFT）
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基于对四种信号频谱特性的深入分析，在此基础上计算有限长序列的离散傅里叶变换（DFT），并运用该方法对这四种信号进行频谱分析。
1.如何由四种信号得出DFT？
四种信号分别为
| 时域 | 频域 |
|---|---|
| 连续周期信号 | 离散非周期 |
| 连续非周期信号 | 连续非周期 |
| 离散周期信号 | 离散周期 |
| 离散非周期信号 | 连续周期 |
结论1：时域为周期时频域为离散；时域离散时频域周期；
尽管四个时域信号各自具有独特的傅里叶变换公式, 但受限于计算能力, 计算机仅能处理离散且有限长度的数据序列. 因此必须从这四个信号之间的关系中推导出有限长度的离散傅里叶变化, 即DFT.
![x=rac{1}{N}um_{m=0}{N-1}X[m]e{jrac{2i }{N}mk}](https://ad.itadn.com/c/weblog/blog-img/images/2025-02-08/hWkC2bdeVMS5NqpaTLZAuJgOz437.png)
IDFT可用于由频谱求时域和求频谱的累加；
![X=um_{m=0}{N-1}x[k]e{-jrac{2i }{N}mk}](https://ad.itadn.com/c/weblog/blog-img/images/2025-02-08/TFgJ5DA24YxyaLptRk0suUzlHWwV.png)
可用于由时域序列求频谱；
并且可以由DFT求出频谱函数再反向得到周期序列的DFS。
DFT与IDFT的例题：
IDFT
2.DFT的性质（可以通过性质求得一些规律）
①线性特性
②循环位移
由于有限长度的时间序列在时域上的周期延拓后的主值，在对有限长度的时间序列进行移位操作后与对应周期延拓展号再取其主值得到的结果相同
③对称特性
对称特性应将有限长序列周期化后判断序列为奇（偶）对称
④Parseval定理
有限持续期信号幅度平方总和等于其变换域幅度平方总和等于该时间序列与其自身的乘积总和
⑤循环卷积
3.用DFT计算卷积
4.如何利用DFT分析连续非周期序列的频谱？
（通过DFT的m获得连续非周期序列频谱的对应频率点）
当m点为采样点前一半时，由公式
可由DFT的频谱求得对应原序列的频率点。
当m点为采样点后一半时，由公式
可由DFT的频谱求得对应原序列的频率点。
例题：
5.混叠、泄露、栅栏现象
6.如何利用DFT进行频谱分析的参数选择？
参数：
|x(t)的最高抽样频率
|
|
|---|---|
|抽样间隔T|
|
|根据
要求确定抽样点数N|
|
|信号抽样的持续时间
|
|
|根据谱线间隔
确定DFT的点数L|
|
例2-13
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