数字信号处理——第三章、离散傅里叶变换（DFT）

DFT的实质是将有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样 ，从而实现了频域离散化

3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义

3.1.1 DFT的定义

长度M的有限长序列x(n)的N点\textcolor{Red}{傅里叶变换} 为：
X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k=0,1,2,3,\ldots,N-1
\textcolor{Red}{离散傅里叶逆变换为：}
x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n=0,1,2,3,\ldots,N-1\\ \\ W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}

3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系

X(k)=X(z)|_{z=e^{j\frac{2\pi }{N}k}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,k=0,1,2,3,\ldots,N-1\\ X(k)=X(e^{jw})|_{w=\frac{2\pi }{N}k}\,\,\,\,\,\,\,\,\,k=0,1,2,3,\ldots,N-1\\

3.1.3 DFT的隐含周期性

X(k)和x(n)隐含周期性，且周期均为N，对任意整数m，总有：
W_N^k=W_N^{k+mN}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k,m为整数，N为自然数
对于任何周期为N的周期序列\hat{x}(n)都可以看作有限长序列x(n)的延拓，x(n)为\hat{x}(n)的一个周期
\hat{x}(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(n+mN)\\ x(n)=\hat{x}(n)R_N(n)

3.2 离散傅里叶变换的基本性质

性质	序列	离散傅里叶变换	备注
线性性质	ax_1(n)+bx_2(n)	aX_1(k)+bX_2(k)
序列循环移位性质	x(n)	y(n)=x((n+m))_NR_N(n)
时域循环移位定理	\hat{x}(n+m)	X(k)W_N^{-km}=X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}mk}
频域循环移位定理	W_N^{nl}x(n)	\hat{X}(k+l)
周期卷积和定理	\sum_{m=0}^{N-1}x_1(m)x_2{(n-m)}	X_1(k)X_2(k)
频域卷积和定理	x_1{(n)}x_2(n)	\frac{1}{N}\sum_{l=0}^{N-1}x_1(l)x_2{(k-l)}
复共轭序列	x^*(n)	X^*(N-k)\,\,\,\,\,\,0<=k<=N-1	x^*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N

3.3 频率域采样

设序列的Z变换为：
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}
且X(z)的收敛于包含单位圆。在单位圆 上对X(z)进行等间隔采集N点得到：
X(k)=X(z)|_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}}=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.3.1)
将X(k)看做长度为N的有限长序列x_N(n)的DFT，即：x_N(n)=IDFT(X(k))

x_N(n)的周期延拓序列为\hat{x}(n)，故X(k)是\hat{X}(k)的主序列
\hat{x}(n)=x_N((n))_N=IDFS[\hat{X}(k)]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}\\ 将3.3.1代入

x_N(n)=\hat{x}(n)R_N(n)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(n+iN)R_N(n)

上式说明，X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDFT是原序列x(n)以N为周期的周期性延拓序列的主值序列。如果序列的长度为M，则只有当频域\textcolor{Red}{采样点数N>=M} 时，才有：
x_N(n)=IDFT[X(k)]=x(n)
即可有频域采样X(k)恢复原序列，否则长生时域混叠现象。

3.4 DFT的应用

L点循环卷积：

y_c(n)=\sum_{m=0}^{L-1}h(m)x((n-m))_LR_L(n)

栅栏效应

在DFT中，采样点之间的频谱时看不到的，这就是栅栏效应。为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，就必须提高频率的分辨率。

对于有限长序列，可以在原序列的尾部补零；对于无限长序列，可以最大截取长度及DFT变换区间长度，使得频域采样间隔变小。

截断效应

在实际遇到的序列可能时无限长的，用DFT对其进行谱分析时，需要通过加窗函数来对序列进行截短。加粗样式