离散傅里叶变换（DFT）
目录
** 一、研究的意义**
二、DFT的定义
**** 三、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系****
四、DFT的周期性
五、matlab实验
****** 五.1 程序** ****
****** 五.2 实验结果******
一、研究的意义
DTFT计算公式，中的w取值是连续的而且从负无穷大到正无穷大，对于计算机处理是不可能的，需要无限细分无限区间。即使在DTFT小节中用matlab实现计算，也只是将(-pi,pi)区间划分成1600份来逼近DTFT的效果。
实际上真正用的是DFT，离散傅里叶变换。离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算，这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现，使得DFT的计算速度更快。
二、DFT的定义
由上边的定义可知，w=(2*pi/N)k ,k=0,1,......,N-1，所以w的范围为[0，(N-1/N)2pi]。因为是离散取值，实际的区间长度为N，但不含第N个点，w的范围就是[0，2pi)。
也就是说DFT变换的频谱范围是在竖轴的右侧（ >0），而且取了FT变换的一个周期(0,2*pi)。
三、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
四、DFT的周期性
以下的四个式子，在程序设计和理解程序中经常用到，wd、wa分别为数字角频率和其对应的模拟角频率。
（1）
，描述了模拟角频率、数字角频率以及DFT变换的k之间的对应关系
（2）
，描述了数字角频率与模拟角频率之间的关系
（3）
，描述了数字角频率和DFT变换的k之间的关系
（4）
，描述了模拟角频率和DFT变换的k之间的关系
五、matlab实验
1、程序
14原离散信号有4点
2011原信号是1行4列的矩阵
31111构建原始信号
4311);
5画图
6'原始信号');
7 81616点DFT变换
90111215102求Wn
11'*k)); %求DFT变换，原始定义的方法，对复指数分量求和而得12312);
13stem(k,abs(X));
14'原信号的16点DFT变换');
151688点DFT变换
17011127182求Wn1
19'*k1)); %求DFT变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得20313);
21stem(k1,abs(X1));
22'原信号的8点DFT变换'说明：
（1）DFT的计算利用的是定义法
（2）程序第10行
程序第11行计算过程
2、实验结果
说明：上图结果证明了离散傅里叶变化是对FT变化在区间（0,2*pi）的等间距N点采样。
参考：西电《数字信号处理》第三版