车辆运动学模型推导【一看就会】【自行车模型】
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文章目录
输出
输出
- 总结
前言
需要先有车辆基本概念和数学基础哈。
目标输出
目标输出
目标输出
目标输出
一、输入是啥，输出是啥？
先看自行车模型（这部分就不细讲了）：
`图片来源：
输入
已知量
输出
角速度
输入
输入
已知量
输入
##一定时刻要记得【输入】【输出】和【已知量】。
二、推导过程
1.先按照图上的关系，写个【输出】单独在左边的表达式
输入
已知量
已知量
2.先推导简单的
防止你们忘掉，再重复一下刚才的公式：
Vx=V _cos（β+Ψ）；
Vy=V_sin（β+Ψ）；
ω=V/R；
为了简化问题起见：
首先考虑最基础的情况：ω = V / R；
其中主要涉及的关键点在于确定转弯半径 R；
接下来需要解决的问题是如何消除 R；
通过进一步分析和推导过程可以看出：
我们可以选择保留一个辅助变量 β 以便简化后续运算过程；
待后续计算中逐步消除这个变量即可；
否则就看我下面的推导：
##替换R
1.先放进OCA三角形里面，由正弦定理得：
sin(δf - β)/Lf = sin(π/2 - δf ) / R （1）
少年，正弦定理是不是也忘了？
正弦定理：同一个三角形里，每个角/相对的边，值都一样。
防止你还要问（π/2 - δf）从哪得来的：那根线垂直于轮子。
2.同理，放进OCA三角形里面，由正弦定理得：
sin(β - δr)/Lr = sin(π/2 + δr ) / R （2）
3.根据三角函数定理将（1）和（2）展开：
[sin(δf)cos(β) - cos(δf)sin(β)] /Lf = cos( δf ) / R （3）
[sin(β)cos(δr) - cos(β)sin(δr)] /Lr = cos( δr ) / R （4）
你不会刚才在奇怪这几个三角函数怎么替换的吧？这个我就不解释了。
4.再把sin和cos放在一边，长度放在一边：
[sin(δf)cos(β) - cos(δf)sin(β)] / cos( δf ) = Lf / R （5）
[sin(β)cos(δr) - cos(β)sin(δr)] / cos( δf ) = Lr / R （6）
5. 把里面给能除的地方除一下：
tan(δf)cos(β) - sin(β) = Lf / R （7）
sin(β) - cos(β)tan(δr) = Lr / R （8）
6. 把(5)(6)加起来，能把sin(β)给消了：
cos(β)*[tan(δf) - tan(δr)] = (Lf + Lr) / R （9）
换一下位置：
R = (Lf + Lr) / cos(β)*[tan(δf) - tan(δr)] （10）
输出
输出
输出
输出
##换β
换β，先需要用到我们上面的公式：
tan(δf)cos(β) - sin(β) = Lf / R （7）
sin(β) - cos(β)tan(δr) = Lr / R （8）
看这俩公式，要把β给单独放到等式左边，然后右边除了【输入】和【已知量】之外不能有别的。
也就是得把R给想办法删了。
1.(7)的等式左右两边乘以Lr，(8)的等式左右两边乘以Ll:
tan(δf)cos(β) * Lr - sin(β) * Lr = Lf * Lr/ R （11）
sin(β) * Lf - cos(β)tan(δr)* Lf = Lr * Lf / R （12）
2.上面两个相减：
tan(δf)cos(β) * Lr - sin(β) * Lr = sin(β) * Lf - cos(β)tan(δr)* Lf
3.左右都除cos(β) ：
tan(δf) * Lr - tan(β) * Lr = tan(β) * Lf - tan(δr)* Lf
4.把tan(β) 给单独放在等式左边：
tan(β) = [tan(δf) * Lr+ tan(δr)* Lf]/(Lf+Lr)
到这里了，是不是得查一下反三角函数公式了。
5.用反三角函数公式把β 给弄出来：
β = arctan{ [tan(δf) * Lr+ tan(δr)* Lf]/(Lf+Lr)} （13）
当前我们已经导出了两个关键公式，在此基础上进一步获得了以下结果：
R = \frac{L_f + L_r}{\cos(\beta)} [\tan(\delta_f) - \tan(\delta_r)] （10）
\beta = \arctan\left\{ \frac{\tan(\delta_f) \cdot L_r + \tan(\delta_r) \cdot L_f}{L_f + L_r} \right\} （13）
就可以用（13）把（10）中给替了，然后R就可以完全用【输入】和【已知量】给代替了。
你现在是不是忘了咱们要干啥了？
输出
输出
现在内部的R是可以被替换为其他变量之一的位置，在某些情况下β也可以作为替代参数使用。只剩下了最后一个关键参数Ψ尚未确定具体含义。许多参考资料都直接采用了将Ψ定义为ψ=ω=V/R的方法来描述这一关系。这是为什么呢？
在低速运行状态下，在车辆行驶路径的转向半径变化程度较弱的情况下，在该情况下，我们可以合理假设：航向角的变化率与横摆角速度相等。
我想解释原因：这是因为我们所采用的全局坐标系是以被测车辆起始位置为基准建立的。而忽略了转向半径的变化这一因素，在低速行驶时是适用的；然而高速行驶时则无法忽视这一因素。最终得出等式：ψ = ω（即ψ与ω之间用等号表示）。这也说明了为何这类运动学模型通常仅适用于低速场景。
其实这里面的微分关系就藏了一个时间t的变量
需要注意的是, 在这一关系中隐含了一个随时间变化的变量 t
总结
车辆的航向角变化率ψ等于车辆的横摆角速度ω
车辆的航向角变化率ψ等于车辆的横摆角速度ω
关于Ψ的微分ψ=ω的补充说明：向一位朋友咨询了一下，得到的回复是由于低速忽略了质心侧偏角。
说实话, 我还是有一点点模棱两可, 但其实自己也不太确定哪里还不明白. 等到有了答案再回来补充.