什么是物理信息神经网络PINN

定义原理

物理信息神经网络（PINN）是一种创新的机器学习方法，将深度学习与物理知识相结合，旨在解决偏微分方程（PDE）相关问题。PINN的核心思想是在神经网络的训练过程中引入物理定律，从而提高模型的泛化能力和预测精度。

PINN的工作原理基于以下关键步骤：

构建神经网络 ：选择适当的网络结构，通常是多层感知机（MLP）或其他变种。网络输入通常包括问题域中的位置、时间等参数，输出则是感兴趣物理量的估计值。

定义损失函数 ：PINN的损失函数由两部分组成：

数据误差项 ：衡量网络预测输出与实际观测数据之间的差异。

物理信息误差项 ：考量网络预测结果是否满足物理定律。

训练网络 ：使用梯度下降或其他优化算法对网络权重进行调整，同时最小化数据误差和物理信息误差。

模型验证与测试 ：对训练好的模型进行验证，确保模型在训练集以外的数据上也能做出准确、符合物理定律的预测。

PINN的独特之处在于其能够在数据稀缺或噪声较多的情况下仍然有效工作。通过将物理知识融入损失函数，PINN可以在训练过程中自动学习物理规律，从而提高模型的泛化能力。

PINN的核心优势在于其能够处理复杂的物理系统，特别是那些难以通过传统数值方法求解的非线性问题。例如，在流体力学中，PINN可以用于求解Navier-Stokes方程，这是一个描述流体运动的非线性偏微分方程组。PINN的应用还包括量子力学、材料科学、电力系统动力学等多个领域。

PINN的发展得到了学术界和工业界的广泛关注。自2017年首次提出以来，PINN已成为人工智能物理领域最常见的框架之一。研究人员不断探索PINN的新应用和改进方法，推动了这一领域的快速发展。

PINN的一个重要创新是其能够处理逆问题。逆问题是指从观测数据中反推系统参数或初始条件的问题，在实际应用中具有重要意义。PINN通过将物理定律作为先验知识，可以有效地解决这类逆问题，为科学研究和工程应用提供了新的工具。

优势特点

PINN作为一种创新的机器学习方法，在解决复杂物理问题时展现出显著优势，尤其在处理数据稀缺或噪声较多的情况时表现出色。其核心优势在于将物理知识融入神经网络的训练过程，从而提高模型的泛化能力和预测精度。PINN的优势特点包括：

数据效率 ：PINN在处理数据匮乏或高成本数据获取的情况下具有独特优势。通过将物理定律作为先验知识，PINN可以在数据量有限的情况下仍能给出符合物理直觉的预测结果。这种特性使PINN在实验数据难以获取或成本高昂的领域（如材料科学中的高温高压实验）中具有巨大潜力。

物理一致性 ：PINN能够自动学习并遵守物理定律，确保预测结果在物理上是合理的。这一特性在处理复杂物理系统时尤为重要，因为它可以帮助模型避免产生不符合物理规律的预测。例如，在流体力学中，PINN可以学习到Navier-Stokes方程的解，从而在模拟流体流动时保持物理一致性。

处理逆问题 ：PINN在解决逆问题方面表现出色。逆问题是指从观测数据中反推系统参数或初始条件的问题，在实际应用中具有重要意义。PINN通过将物理定律作为先验知识，可以有效地解决这类逆问题，为科学研究和工程应用提供了新的工具。

高维问题处理 ：PINN能够逼近高维PDE解，这是传统数值方法难以实现的。随着问题维度的增加，传统数值方法所需的计算资源呈指数增长，而PINN可以通过神经网络的强大逼近能力来处理高维问题。这使得PINN在处理多物理场耦合问题时具有明显优势。

灵活性和通用性 ：PINN是一种通用的函数逼近器，能够编码任何潜在的物理定律。这种灵活性使PINN能够应用于各种科学领域，从流体力学、量子力学到材料科学和电力系统动力学。PINN的通用性还体现在它可以处理不同类型的偏微分方程，包括线性和非线性方程。

可解释性 ：PINN的结构相对简单，其预测结果可以通过物理定律进行解释。这与一些黑箱模型形成鲜明对比，使得PINN在需要可解释性的应用场景中更具优势。例如，在医疗领域，PINN可以帮助医生理解模型的预测结果，从而提高诊断的可信度。

PINN的这些优势使其成为解决复杂物理问题的有力工具，特别是在数据稀缺或噪声较多的情况下。随着深度学习技术的不断发展，PINN有望在更多领域展现其潜力，为科学研究和工程应用带来新的突破。

网络结构

PINN的网络结构是其核心组成部分，直接影响模型的性能和泛化能力。PINN通常采用 多层感知机（MLP） 作为基础架构，这是一种全连接的前馈神经网络。MLP由多个隐藏层组成，每层包含多个神经元，通过非线性激活函数连接。这种结构使PINN能够逼近复杂的非线性函数，从而处理各种物理问题。

PINN网络结构的一个重要创新是 自动微分 技术的应用。自动微分允许PINN在训练过程中计算损失函数对网络权重的导数，这对于最小化损失函数至关重要。这种技术使PINN能够直接将物理定律作为约束条件，而无需手动推导复杂的梯度公式。

在最新研究中，研究人员提出了 自适应深度结构 来优化PINN的性能。这种结构根据问题的复杂性动态调整网络深度，在处理复杂物理问题时能够自动增加网络层数，而在简单问题上则保持较浅的结构。这种自适应能力显著提高了PINN的效率和泛化能力。

PINN的输入通常包括 空间坐标和时间变量 ，输出则是感兴趣的物理量（如温度、速度等）。这种输入输出设计使PINN能够处理各种时空相关的物理问题。

为了提高PINN对高维问题的处理能力，研究人员还提出了 张量积网络（TPN） 结构。TPN通过将低维子网络的输出进行张量积操作来构建高维函数，有效降低了高维问题的计算复杂度。

以下是一个简化的PINN网络结构示意图：

在实际应用中，PINN的网络结构可能会更加复杂，包含多个分支或并行子网络，以处理多物理场耦合等复杂问题。

损失函数

PINN的损失函数是其核心组成部分，直接影响模型的性能和泛化能力。PINN的损失函数由三个主要部分组成：

物理信息损失项 ：评估网络预测是否满足物理定律

边界条件损失项 ：衡量网络预测是否满足问题的边界条件

数据拟合损失项 ：衡量网络预测与实际观测数据之间的差异

PINN损失函数的一般形式可以表示为：

    L = α * L_Physics + β * L_Conds + γ * L_Data
    

其中，α、β和γ是权重系数，用于平衡不同损失项的贡献。

物理信息损失项 是PINN损失函数的核心。它通过计算物理方程在网络预测结果上的残差来衡量网络对物理定律的遵守程度。例如，在求解热传导方程时，物理信息损失项可以表示为：

    L_Physics = ∑(∂T/∂t - α * ∇²T)²
    

其中，T是温度，α是热扩散系数，∂T/∂t是温度对时间的偏导数，∇²T是温度的拉普拉斯算子。

边界条件损失项 用于确保网络预测满足问题的边界条件。例如，在热传导问题中，边界条件可能包括：

温度在边界上的固定值

温度梯度在边界上的固定值

边界条件损失项可以表示为：

    L_Conds = ∑(T - T_bc)² + ∑(∂T/∂n - ∂T_bc/∂n)²
    

其中，T_bc是边界上的目标温度，∂T_bc/∂n是边界上的目标温度梯度。

数据拟合损失项 衡量网络预测与实际观测数据之间的差异。这部分损失函数与传统神经网络中的均方误差（MSE）类似。数据拟合损失项可以表示为：

    L_Data = ∑(T_pred - T_obs)²
    

其中，T_pred是网络预测的温度，T_obs是实际观测的温度。

PINN损失函数的设计允许研究人员灵活调整不同损失项的权重，以适应不同的问题特性。例如，在数据稀缺的情况下，可以增加物理信息损失项的权重，以确保模型的预测符合物理定律。

PINN损失函数的一个重要特点是其 无监督学习能力 。由于物理信息损失项不依赖于观测数据，PINN可以在训练过程中利用物理定律在任意点上进行学习，即使这些点上没有观测数据。这种特性使得PINN在处理逆问题时特别有效，因为它可以利用物理知识来填补数据空白。

PINN损失函数的设计是一个活跃的研究领域。最新的研究成果包括：

自适应权重调整 ：根据问题的复杂性和数据的质量自动调整不同损失项的权重。

多物理场耦合 ：设计损失函数来处理多个物理场的耦合问题。

不确定性量化 ：将贝叶斯方法融入损失函数，以量化预测的不确定性。

这些进展进一步提高了PINN在处理复杂物理问题时的性能和可靠性。

训练过程

PINN的训练过程是一个复杂而关键的环节，直接影响模型的性能和泛化能力。在最新研究中，研究人员提出了一系列创新方法来优化PINN的训练过程，主要包括以下几个方面：

无量纲化处理
作为训练过程的第一步，无量纲化处理在PINN训练中扮演着至关重要的角色。通过选择适当的基本单位或特征值，将问题中的变量进行缩放，使其无量纲化且数量级为一。这不仅简化了问题的分析，还确保了输入和输出变量处于合理范围内，为后续的训练过程奠定了基础。

无量纲化的主要作用包括：

缓解变量尺度差异，促进模型训练

改善收敛性，实现更快的收敛和更好的性能

为神经网络的初始化提供合适的条件，防止梯度消失问题

自适应损失权重方案
为了解决PINN训练中不同损失项之间可能存在的显著规模差异，研究人员提出了两种自适应损失权重方案：

基于反向传播梯度大小 ：根据不同损失项的梯度大小动态调整其权重

基于神经切线核（NTK）理论 ：考虑网络输出对输入的敏感性，自动平衡不同损失项的贡献

这些方法能够在训练过程中自动平衡不同损失项之间的相互作用，从而提高模型的稳健性和性能。

先进的训练算法
PINN的训练过程还采用了多种先进的训练算法，以进一步优化模型的性能：

随机傅里叶特征嵌入 ：通过将输入坐标映射为高频信号，缓解了多层感知器（MLP）中存在的频谱偏差问题

随机权重分解 ：作为对密集层的简单替代，加速了训练收敛并提高了模型性能

自适应学习率调整 ：根据训练过程中的损失变化动态调整学习率，提高训练效率

通过这些创新方法的综合应用，PINN的训练过程能够更好地平衡数据驱动和物理驱动的约束，从而在解决复杂的偏微分方程问题上展现出优异的性能。

偏微分方程

在PINN的数学基础中，偏微分方程（PDE）是一个核心概念。PDE是描述多个变量函数与其偏导数之间关系的数学方程。根据最高阶偏导数的性质，PDE可分为 线性 和 非线性 两大类。

常用的PDE记号包括Laplace算子（∆）和梯度算子（∇）。PINN主要应用于求解三类典型PDE：

波动方程 ：描述物理系统的振动和传播

热传导方程 ：描述热量的传递过程

位势方程 ：描述静态场（如重力场、电场）的分布

PINN通过将PDE作为物理约束，有效提高了神经网络对复杂物理系统的建模能力。

自动微分

自动微分是PINN的核心技术之一，它提供了一种高效准确的计算机程序求导方法。与传统的符号微分和数值微分相比，自动微分具有 更高的效率和精度 。自动微分通过 追踪计算图 来计算函数的导数，无需手动推导复杂的数学公式。这种方法在PINN中尤为重要，因为它允许模型直接将物理定律作为约束条件，而无需手动推导复杂的梯度公式。

PINN的自动微分实现通常采用 反向模式 ，这种方法在处理神经网络等复杂函数时具有显著优势。通过自动微分，PINN可以在训练过程中自动计算损失函数对网络权重的导数，从而实现基于梯度的优化算法。

相关研究：Automatic Differentiation in Machine Learning: a Survey

流体力学

在流体力学领域，PINN展现出巨大潜力。它被广泛应用于 Navier-Stokes方程的求解 ，这是描述粘性流体运动的基本方程。PINN能够处理复杂的边界条件和非线性效应，为模拟 高雷诺数流动 提供了新的方法。例如，在 空气动力学 中，PINN可以用于预测飞行器周围的流场，为设计更高效的机翼和机身提供支持。

此外，PINN还被用于研究 多相流 问题，如液滴在气体中的运动，这对于理解大气科学和工业过程具有重要意义。

量子力学

在量子力学领域，PINN展现出巨大潜力。它被用于 求解薛定谔方程 ，这是描述量子系统演化的基本方程。PINN能够处理复杂的边界条件和非线性效应，为模拟 高维量子系统 提供了新的方法。例如，在 分子动力学 中，PINN可以用于预测分子的量子态演化，为设计新型药物和材料提供支持。

PINN在量子力学中的应用还包括 量子多体系统模拟 和 量子场论研究 等方面，为解决复杂量子问题提供了新的思路和工具。

材料科学

PINN在材料科学领域的应用主要集中在材料性能预测和微观结构表征两个方面。研究人员开发了基于PINN的通用框架，用于解决连续体固体力学中的几何识别问题，能够有效处理材料特性未知和几何形状高度可变形的逆问题。

此外，PINN还被用于预测材料的弹性、塑性和热膨胀等性能，为材料设计和优化提供了新的工具。这些应用不仅提高了材料表征的效率和精度，还为新型材料的开发和性能优化提供了重要支持。

环境配置

在配置PINN的开发环境时，选择合适的软件工具和硬件平台至关重要。PINN的环境配置通常涉及以下几个方面：

深度学习框架 ：PINN主要基于PyTorch或TensorFlow实现。选择最新版本（如PyTorch 2.0或TensorFlow 2.10）可获得最佳性能和最新功能。

自动微分库 ：JAX是一个高性能的自动微分库，特别适合PINN的实现。JAX提供了高效的向量化操作和即时编译（JIT）功能，能显著加速PINN的训练过程。

硬件平台 ：对于大规模PINN应用，建议使用GPU加速。NVIDIA的CUDA库是实现GPU加速的关键。确保安装与GPU型号匹配的CUDA版本，以获得最佳性能。

可视化工具 ：Matplotlib或Seaborn可用于可视化PINN的结果，帮助理解模型行为和验证物理约束的满足情况。

科学计算库 ：NumPy和SciPy提供了基本的数学运算和优化功能，是PINN实现中不可或缺的工具。

数据处理库 ：Pandas可用于数据预处理和后处理，提高PINN的可扩展性和实用性。

分布式训练框架 ：对于大规模PINN应用，Horovod或PyTorch DDP等分布式训练框架可用于加速训练过程，提高模型收敛速度。

为了简化环境配置过程，建议使用Anaconda或Miniconda创建虚拟环境。这些工具允许您轻松管理不同项目的依赖关系，避免库版本冲突。

相关官方文档和教程：

PyTorch ：https://pytorch.org/docs/stable/index.html

TensorFlow ：https://www.tensorflow.org/api_docs

JAX ：https://jax.readthedocs.io/en/latest/

通过合理配置这些软件工具和硬件平台，您可以为PINN的实现和优化奠定坚实的基础，从而更高效地开发和应用这一强大的物理信息融合方法。

核心代码

 import torch

    
 import torch.nn as nn
    
  
    
 # 定义PINN网络
    
 class PINN(nn.Module):
    
     def __init__(self):
    
     super(PINN, self).__init__()
    
     self.fc1 = nn.Linear(2, 50)  # 输入维度为2（x和t）
    
     self.fc2 = nn.Linear(50, 50)
    
     self.fc3 = nn.Linear(50, 1)
    
  
    
     def forward(self, x):
    
     x = torch.tanh(self.fc1(x))
    
     x = torch.tanh(self.fc2(x))
    
     x = self.fc3(x)
    
     return x
    
  
    
  
    
 # 定义损失函数
    
 def loss_function(model, x, y_true):
    
     y_pred = model(x)
    
     # 计算物理信息损失（以简单的线性方程为例）
    
     physics_loss = torch.mean((y_pred - 2 * x[:, 0] - 3 * x[:, 1]) ** 2)
    
     # 计算数据拟合损失
    
     data_loss = torch.mean((y_pred - y_true) ** 2)
    
     # 组合损失
    
     loss = 0.5 * physics_loss + 0.5 * data_loss
    
     return loss
    
  
    
  
    
 # 训练PINN
    
 def train(model, optimizer, x_train, y_train, epochs):
    
     for epoch in range(epochs):
    
     optimizer.zero_grad()
    
     loss = loss_function(model, x_train, y_train)
    
     loss.backward()
    
     optimizer.step()
    
     if (epoch + 1) % 100 == 0:
    
         print(f'Epoch [{epoch + 1}/{epochs}], Loss: {loss.item()}')
    
  
    
  
    
 # 生成训练数据
    
 x_train = torch.rand(1000, 2)
    
 y_train = 2 * x_train[:, 0] + 3 * x_train[:, 1] + torch.randn(1000, 1) * 0.1
    
  
    
 # 创建模型实例
    
 model = PINN()
    
 # 定义优化器
    
 optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)
    
 # 训练模型
    
 train(model, optimizer, x_train, y_train, epochs=1000)
    
    
    
    

在这个示例中，我们定义了一个简单的PINN网络来学习一个线性函数。网络结构包含三个全连接层，使用tanh作为激活函数。损失函数由物理信息损失和数据拟合损失组成，通过调整权重来平衡两者的贡献。

最新研究进展

在最新的PINN研究中，研究人员提出了一些创新的代码实现方法，以提高PINN的性能和效率：

自适应深度结构 ：根据问题的复杂性动态调整网络深度，在处理复杂物理问题时能够自动增加网络层数，而在简单问题上则保持较浅的结构。这种自适应能力显著提高了PINN的效率和泛化能力。

张量积网络（TPN） ：通过将低维子网络的输出进行张量积操作来构建高维函数，有效降低了高维问题的计算复杂度。TPN结构特别适用于处理多物理场耦合问题，能够在保持计算效率的同时提高模型的准确性。

随机傅里叶特征嵌入 ：通过将输入坐标映射为高频信号，缓解了多层感知器（MLP）中存在的频谱偏差问题。这种方法可以显著提高PINN在处理复杂物理问题时的性能，特别是在处理高维或非线性问题时表现出色。

通过这些创新的代码实现方法，PINN在处理复杂物理问题时的性能和效率得到了显著提升，为解决科学和工程中的难题提供了新的有力工具。

参数调优

在PINN的参数调优过程中，研究人员提出了多种创新方法来提高模型性能。这些方法主要围绕网络结构优化和损失函数权重调整展开：

自适应深度结构 是一种创新的网络结构优化方法。这种方法根据问题的复杂性动态调整网络深度，在处理复杂物理问题时自动增加网络层数，而在简单问题上保持较浅的结构。这种自适应能力显著提高了PINN的效率和泛化能力。

张量积网络（TPN） 结构是另一种优化网络结构的方法。TPN通过将低维子网络的输出进行张量积操作来构建高维函数，有效降低了高维问题的计算复杂度。这种结构特别适用于处理多物理场耦合问题，能够在保持计算效率的同时提高模型的准确性。

自适应损失权重方案 是一种重要的损失函数权重调整方法。研究人员提出了两种方案来平衡PINN训练中不同损失项之间的相互作用：

基于反向传播梯度大小 ：根据不同损失项的梯度大小动态调整其权重

基于神经切线核（NTK）理论 ：考虑网络输出对输入的敏感性，自动平衡不同损失项的贡献

这些方法能够在训练过程中自动平衡不同损失项之间的相互作用，从而提高模型的稳健性和性能。

在具体的调优步骤方面，研究人员通常采用以下方法：

无量纲化处理 ：通过选择适当的基本单位或特征值，将问题中的变量进行缩放，使其无量纲化且数量级为一。这不仅简化了问题的分析，还确保了输入和输出变量处于合理范围内，为后续的训练过程奠定了基础。

先进的训练算法 ：研究人员还采用了多种先进的训练算法来优化PINN的参数：

随机傅里叶特征嵌入 ：通过将输入坐标映射为高频信号，缓解了多层感知器（MLP）中存在的频谱偏差问题

随机权重分解 ：作为对密集层的简单替代，加速了训练收敛并提高了模型性能

自适应学习率调整 ：根据训练过程中的损失变化动态调整学习率，提高训练效率

这些方法的综合应用使PINN能够更好地平衡数据驱动和物理驱动的约束，从而在解决复杂的偏微分方程问题上展现出优异的性能。

在实际应用中，研究人员通常使用PyTorch或TensorFlow等深度学习框架来实现PINN，并利用JAX等高性能自动微分库来加速计算过程。这些工具提供了丰富的优化算法和可视化功能，有助于研究人员更高效地进行参数调优和模型评估。

热传导方程

热传导方程是PINN在工程和科学领域中应用的一个典型案例。PINN通过将物理定律直接融入神经网络的训练过程，为解决复杂的热传导问题提供了一种高效且准确的方法。

PINN在热传导方程案例中的具体应用如下：

构建PINN网络结构
PINN通常采用多层感知机（MLP）作为基础架构，输入层接收空间坐标和时间变量，输出层预测温度分布。这种结构使PINN能够处理各种复杂的边界条件和热源分布。

定义损失函数
PINN的损失函数由三个主要部分组成：

物理信息损失项 ：衡量网络预测是否满足热传导方程

边界条件损失项 ：评估网络预测是否满足问题的边界条件

数据拟合损失项 ：衡量网络预测与实际观测数据之间的差异

在热传导方程的案例中，物理信息损失项可以表示为：

    L_Physics = ∑(∂T/∂t - α * ∇²T)²
    

其中，T是温度，α是热扩散系数，∂T/∂t是温度对时间的偏导数，∇²T是温度的拉普拉斯算子。

训练过程
PINN的训练过程采用先进的优化算法，如Adam或Adagrad，以提高模型的收敛速度和性能。研究人员还提出了 自适应深度结构 和 张量积网络（TPN） 等创新方法来优化PINN的性能。

应用场景
PINN在热传导方程中的应用场景包括：

材料热性能分析 ：预测材料的热导率、比热容等参数

热交换器设计 ：优化热交换器的结构和工作参数

生物热传递模拟 ：研究生物体内部的热传递过程

最新研究成果
最新研究成果表明，PINN在处理高维热传导问题时展现出显著优势。通过将低维子网络的输出进行张量积操作，PINN能够有效降低高维问题的计算复杂度，同时保持较高的预测精度。这种方法特别适用于处理多物理场耦合问题，如热-电耦合或热-流耦合。

可视化展示
PINN的可视化展示通常包括温度分布的等高线图或3D表面图。这些可视化结果不仅能够直观地展示PINN的预测效果，还可以帮助研究人员验证模型是否满足物理约束。

例如，在一个二维热传导问题中，PINN可以预测不同时刻的温度分布，如图所示：

[插入二维热传导问题的温度分布可视化图]

通过这种可视化展示，研究人员可以直观地观察PINN的预测结果是否符合物理直觉，从而评估模型的性能和可靠性。

波动方程

波动方程是物理学中描述波传播的基本方程，在PINN的应用中扮演着重要角色。PINN通过将波动方程的物理约束直接融入神经网络的训练过程，为求解复杂波动问题提供了一种创新方法。

PINN在波动方程求解中的最新研究成果主要集中在以下几个方面：

高维波动问题 ：PINN在处理高维波动方程时展现出显著优势。研究人员通过将低维子网络的输出进行张量积操作，成功构建了高维波动方程的PINN模型。这种方法有效降低了高维问题的计算复杂度，同时保持了较高的预测精度。

多物理场耦合 ：PINN被应用于解决多物理场耦合的波动问题。例如，在研究弹性波与电磁场的相互作用时，PINN可以同时学习两种物理场的特性，从而更准确地描述复杂的波动现象。

逆问题求解 ：PINN在解决波动方程的逆问题方面表现出色。例如，通过将PINN应用于地震波反演，研究人员可以从地表观测数据中反推地下介质的物理特性，为地质勘探提供了新的工具。

PINN在波动方程求解中的应用场景包括但不限于：

声学 ：预测声音在复杂介质中的传播特性

光学 ：模拟光波在非均匀介质中的传播

电磁学 ：分析电磁场的波动特性

固体力学 ：研究弹性波在固体中的传播

PINN在波动方程求解中的一个重要应用是 地震波传播模拟 。通过将PINN应用于复杂地质结构中的地震波传播问题，研究人员可以更准确地预测地震波的传播路径和能量分布，为地震预警和地震灾害评估提供重要支持。

在PINN的具体实现中，研究人员通常采用以下步骤来求解波动方程：

构建PINN网络结构 ：选择适当的神经网络架构，如多层感知机（MLP）或卷积神经网络（CNN）。

定义损失函数 ：将波动方程的物理约束转化为损失函数的一部分，通常包括时间导数和空间导数的约束。

训练PINN模型 ：使用优化算法最小化损失函数，同时满足波动方程的物理约束。

验证和应用 ：通过与传统数值方法或实验数据的对比验证PINN模型的准确性，并将其应用于实际问题的求解。

PINN在波动方程求解中的应用为解决复杂波动问题提供了新的思路和方法，有望在声学、光学、电磁学等多个领域取得重要突破。