函数项级数的性质

文章目录

• 连续性

• • 证明

• 逐项求积

• 逐项求导

• • 证明

连续性

\sum u_n(x)在任一有界闭区间上一致收敛；所有项的函数都是连续的；因此，在x_0处的极限可以通过交换求和与极限操作来计算

证明

该方法通过将级数转换为函数序列，并运用一致收敛序列的特性进行证明。这是一个关键在于部分和序列\{S_n(x)\}的应用。

• 由于每一项u_n均为连续函数\Rightarrow序列\{S_n(x)\}中的每一项均连续
  • 级数\sum u_n(x)的一致收敛性\Rightarrow序列\{S_n\}在区间[a,b]上均匀收敛于S
  • 需证：对于任意给定的x_0\in [a,b]，
    • 其差值不超过以下三项之和：
      • |S(x)-S_n(x)|
      • |S_n(x)-S_n^{(x_0)}|
      • |S_n^{(x_0)}- S^{(x_0)}|（此处S^{(x_0)}= S^{(x)}_n (x_0)）
    • 由一致收敛可知序列\{ S^{(n)} \}在x_0点处收敛
    • 并且每个 S^{(n)} (x)均为连续函数

逐项求积

• 序列\{u_n(x)\}在区间[a,b]上一致收敛于某函数
• 每个函数项u_n(x)都是区间[a,b]上的连续函数
• 因此有\int_a^b \sum_{n=1}^\infty u_n(x) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b u_n(x) dx

逐项求导

对于每个n, 函数f_{n}都是连续的; 存在一个点x_{0}属于区间I, 使得级数f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots+f_{n}(x)+\cdots=f_{S}(x)在这个点处收敛; 在区间I, 级数f'_{1}(x)+f'_{2}(x)+\cdots+f'_{n}(x)+\cdots=F'(x)不仅在整个区间I上而且在其任何紧致子区间上都是一致收敛的; 因此, 我们得到: 当函数序列f'_{n}(x)满足一定条件时, \sum \frac{d}{dx}f_{n}(x)=\frac{d}{dx}\left( \sum f_{n}(x) \right ).

证明

• 令\sum u'_n(x)\rightrightarrows S^*(x)
• 由于其逐项导函数序列在区间[a,b]上一致收敛于S*(x)，因此可得该级数各项均为连续函数
• 根据逐项求积定理可知：对于任意的x \in [a, b]，

\int_a^x S^*(t)dt = \sum \int_a^x u'_n(t)dt = \sum [u_n(x) - u_n(a)] = S(x) - S(a)

• 对两边同时求导可得：S^*(x)=S'(x)，即所有u_n(x)的导数之和等于其和函数的导数。