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Delta函数的性质

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1. 定义性质：

elta

函数是通过其积分值来定义的
nt_{a}^{b}eltadx=egin{cases} 1 & x_{0}n 0 & x_{0}otin nd{cases}andelta=0forxeq x_{0},

其中的积分为正向积分，对于任意在

x_0

处连续的函数

f
nt_{a}^{b}feltadx=egin{cases} f & x_{0}n 0 & x_{0}otin nd{cases}.

2. 微分性质：采用分步积分可以建立恒等式
nt_{a}^{b}frac{d}{dx}dx=egin{cases} -rac{df}{dx}|{x=x{0}} & x_{0}n 0 & x_{0}otin nd{cases},

证明：
nt_{a}{b}f(x)\frac{d}{dx}[\delta(x-x_{0})]dx=f(x)\delta(x-x_{0})|_{a}{b}-nt_{a}^{b}eltadx =-rac{df}{dx}|{x=x{0}}.

3. 偶函数性质：
nt_{a}{b}f(x)\delta(-[x-x_{0}])dx\equiv\int_{a}{b}feltadx=egin{cases} f & x_{0}n 0 & x_{0}otin nd{cases}.

4. 缩放性质：
nt_{a}^{b}feltadx=egin{cases} rac{f}{|k|} & x_{0}n 0 & x_{0}otin nd{cases},

证明：令

u=kx

，则有
nt_{a}{b}f(x)\delta(k[x-x_{0}])dx=\int_{ka}{kb}feltarac{1}{k}du =egin{cases} rac{1}{|k|}f & kx_{0}n 0 & kx_{0}otin nd{cases},

5. 高级缩放性质：将函数

g

作为

elta

函数的参量，

f

和

g

都是连续并连续可微的
nt_{a}^{b}feltadx=egin{cases} f/|rac{dg}{dx}||{x=x{0}} & x_{0}n 0 & x_{0}otin nd{cases},

6. 多参量零点性质：

elta

函数参量

g -g

有多个零点，其缩放性质为
nt_{a}^{b}feltadx=um_{x_{j}i g=g,xn}f/|rac{dg}{dx}||{x=x{j}},

7. 多参数零点微分性质
nt_{a}^{b}frac{d}{dx}-gdx=um_{x_{j}i g=g,xn}}{dx}/|rac{dg}{dx}||{x=x{j}},

参考文献：

[1] Tank, 2009, The Dirac Delta: Properties and Representations.

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