【数字信号处理 | 学习笔记】一、离散时间信号与系统

目录

1 数字信号处理

2 离散时间信号

2.1 序列

2.2 离散时间信号

3 离散时间系统

3.1 离散时间系统时域分析

3.1.1 线性非移变系统

3.1.2 线性卷积

3.1.3 LTI系统稳定性与因果性

3.1.4 常系数线性差分方程

3.2 离散时间系统频域分析

3.2.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）

3.2.2 离散时间信号的傅里叶变换的性质

3.3.3 离散时间系统的频率响应

4 信号的取样

4.1 时域采样定理

4.1.1 理想采样

4.2.2 时域采样定理

4.2 信号的恢复

4.3 序列的抽取与插值

4.3.1 序列的减采样

4.3.2 序列的增采样

5 Z变换

5.1 Z变换

5.2 Z变换的性质

5.3 系统函数

5.4 全通系统和最小相位系统

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1 数字信号处理

数字信号处理主要借助计算机或专用设备；通过采用数值计算的方法对信号进行采集与分析、变换与转换以及估值与估计等加工处理；旨在实现信息提取以及便于应用的目的。

信号：传递信息的函数，数学上表示为一个或多个自变量的函数。

• 连续时间信号：基于连续的时间集合。
• 模拟信号：其时域和频域均为连续量。
• 离散时间信号：其时间为离散变量。
• 数字信号：其时间和幅值均为离散量。

2 离散时间信号

2.1 序列

离散时间信号的表示方法：序列表示法，函数表示法和图形表示法。

离散时间信号的基本运算：

• 移位操作中,输入序列在时间轴上向右移动m个单位对应于延迟输出信号m个单位;而向左移动m个单位则对应于提前输出信号m个单位.
  • 反转或折叠操作将序列中的每个元素映射到其对称位置相对于原点的位置.
  • 序列间的加法运算定义为逐点相加得到新序列{x\left( n \right ) + y\left( n \right )};而乘法运算则定义为逐点相乘得到新序列{x\left( n \right ) \cdot y\left( n \right )}.
  • 累加和计算是指将输入序列从初始点到当前点的所有元素逐次累加得到的新序列.

• 尺度变换：通过将x(n)采样为x(mn)实现时间压缩，在时间扩展时采用x(n/m)的内插方法；
  • 序列能量：归一化信号的能量定义为信号在R=1Ω电阻上产生的能量。

2.2 离散时间信号

1. 单位取样序列

任意序列皆可以表示成各延迟单位取样序列的幅度加权和：

2. 单位阶跃序列

3. 矩形序列

4. 实指数序列

5. 正弦序列

其中

为数字域频率。模拟域角频率与数字域角频率的关系为：

6. 复指数序列

，等幅震荡；
*

，实指数信号；
*

，

，直流信号。

7. 周期序列

3 离散时间系统

3.1 离散时间系统时域分析

3.1.1 线性非移变系统

线性系统：

非移变系统：

3.1.2 线性卷积

线性卷积（离散卷积）：

即折叠、移位、相乘、相加，线性卷积满足交换律、结合律和分配律。

3.1.3 LTI系统稳定性与因果性

LSI系统稳定的充要条件：单位取样响应绝对可和

LSI系统因果的充要条件：

现实中的物理可实施系统均为因果型系统；然而，并非所有具有实际意义的系统都是因果型系统

3.1.4 常系数线性差分方程

• 固定系数：参数a和b为固定数值；
• 阶数由y(n)和x(n)中的变量最高和最低序号决定；
• 系统在输出y(n-k)和输入x(n-m)之间仅存在一次方关系，并无乘积项。

常系数线性差分方程的解法：

• 传统方法：分别计算齐次解和特解，并结合边界条件确定待定系数；
• 递推（迭代）法：相对简单且适合在计算机上实现；仅能提供数值型的通项表达式；
• 变换域法：通过将差分方程转换为Z域来求取其解析表达式；
• 卷积法：利用差分方程计算系统的冲激响应h(n)，然后将其与输入序列x(n)进行卷积运算以获得输出序列y(n)

3.2 离散时间系统频域分析

3.2.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）

• 满足绝对可积且为时间连续的非周期信号时，则其傅里叶变换（FT）能够有效描述该类信号在频域中的特征。
• 当处理的时间连续且为周期性变化时，则其频域分析工具能够有效地捕捉到系统的谐波特性。
• 对于满足绝对可和性的数字序列而言，则其对应的时域模型可以通过计算得到。
• 在分析具有严格重复规律性的数字序列时，则可以利用快速算法对其进行频域分析。

离散时间信号的傅里叶变换：

序列傅里叶变换的收敛条件：

• x(n)绝对收敛时, DTFT必然存在并且是一个连续函数;
  • x(n)平方可积(均方收敛), 同样可以用DTFT进行表示;
  • 对于既不绝对可加又不满足平方可积条件的序列, 其傅里叶变换可用周期冲激串的形式进行表征.

关于DTFT的几点说明：

是周期为

的连续函数；

• 若x(n)为实序列，

在[0,

]区间内幅值偶对称，相位奇对称。

3.2.2 离散时间信号的傅里叶变换的性质

• 线性

• 序列的移位
  

• 序列的调制
  

• 序列的折叠

• 序列乘以n
  

• 序列的复共轭

• 序列的卷积

• 序列相乘

• 序列的傅里叶变换的对称性

3.3.3 离散时间系统的频率响应

频率响应：

表示系统中输出信号的赋权情况不仅表现在其处理能力上

4 信号的取样

4.1 时域采样定理

4.1.1 理想采样

4.2.2 时域采样定理

为了从抽样后的有限频宽信号中准确恢复或无失真地重建原始信号，则需要确保采样速率至少达到其最高频率的两倍以上。

离散时间信号x(n)的频谱

是模拟信号频谱

的周期延拓，且在频率进行了归一化。

4.2 信号的恢复

采样信号被理想低通滤波网络处理后能够唯一恢复出原始信号，并未造成任何信息丢失

4.3 序列的抽取与插值

4.3.1 序列的减采样

4.3.2 序列的增采样

5 Z变换

5.1 Z变换

1. Z变换与傅里叶变换的关系：

可以看出，如果r=|z|=1，则Z变换就变为傅里叶变换。

2. Z变换与Laplace变换的关系：

即s平面上的

沿着轴对应到z平面上构成了一个单位圆，在此基础上，s平面上位于左半部分的位置会对应到该单位圆内部区域；而位于右半部分的位置则会延伸至外部区域，并且整个s平面上面所具有的宽度参数为

的水平带映射到整个z平面。

3. Z变换的收敛域：

4. Z反变换的求解方法：

• 围线积分法（留数法）
• 部分分式法
• 长除法

5.2 Z变换的性质

• 线性

• 序列移位
  

• 乘以指数序列
  

• 序列的折叠

• X(z)的微分
  

• 初值定理：对于因果序列有

• 终值定理：x(n)为因果序列，且X(z)除z=1处可以有一阶极点外，其他极点都在单位圆内
  

• 序列间的卷积运算

  • 序列的共轭运算
  • 复数域中的卷积定理
    帕塞瓦尔定理表明，在时域内对信号进行能量计算所得的结果与在频域内对该信号进行傅里叶变换后所获得的频谱能量具有等价性。

5.3 系统函数

系统函数：

• LSI系统的函数H(z)在包含单位圆|z|=1的收敛域内时，则该系统达到稳定状态；
• 因果稳定的系统的其传递函数的收敛域必然包括单位圆|z|=1。

，其中

。

如果一个因果系统H(z)的所有极点都在单位圆内，则系统稳定。

零极点分布对幅频特性的影响：

• 极距显著影响幅频特性的最大增益，在极距附近的频率上出现峰值；当极距距离单位圆越近时，则该峰值越大。
  • 零距显著影响幅频特性的最小增益，在零距附近的频率上出现谷值；当零距距离单位圆越近时，则该谷值趋近于零。
  • 若系统传递函数中存在位于坐标原点处的零极点，则这些不会产生任何幅频响应。

5.4 全通系统和最小相位系统

1. 全通系统：

的每一个极点有一个与之匹配的共轭倒数零点。

2. 最小相位系统：所有零点和极点都位于单位圆内的系统被称为最小相位系统，并具有对应的因果逆系统

任何系统都可以表示为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。

3. 相位延迟：反映载波信号的延迟

4. 群延迟：反映输出包络的延迟