Anderson《空气动力学基础》5th读书笔记 第5记——推导二维机翼的空气动力学系数

机翼的受力分析图

我们知道，空气对一个物体产生的升力和阻力以及力矩源于作用在整个物体上的压力分布和剪切力分布， 所以我们分析上图可知（取 单位展长 的机翼）：

对于上表面：
dN_{u}^{'} = -p_{u}ds_{u}cos\theta - \tau _{u}ds_{u}sin\theta

dA_{u}^{'} = -p_{u}ds_{u}cos\theta + \tau _{u}ds_{u}sin\theta

同理对于下表面：

dN_{l}^{'} = p_{l}ds_{l}cos\theta - \tau _{l}ds_{l}sin\theta

dA_{l}^{'} = p_{l}ds_{l}cos\theta + \tau _{l}ds_{l}sin\theta

PS：N为法向力，A为切向力。

于是单位机翼上的总的法向力和切向力可表示为：

N^{'} = -\int_{LE}^{TE}(p_{u}\cos\theta + \tau _{u}\sin\theta )ds_{u} + \int_{LE}^{TE}(p_{l}\cos\theta - \tau _{l}\sin\theta )ds_{l}

A^{'} 定义为从 LE 延伸至 TE 的两个积分之和：第一个积分为负 p_u 乘以 sinθ 加上 τ_u 乘以 cosθ 的微分弧长；第二个积分为正 p_l 乘以 sinθ 加上 τ_l 乘以 cosθ 的微分弧长

我们再推导机翼受到的力矩：

上表面受到的微元力矩：

dM_{u}^{'} = (p_{u}cos\theta + \tau _{u}sin\theta )xds_{u}+(-p_{u}sin\theta +\tau _{u}cos\theta )yds_{u}

dM_{l}^{'} = (-p_{l}cos\theta + \tau _{l}sin\theta )xds_{l}+(p_{l}sin\theta +\tau _{l}cos\theta )yds_{l}

我们需要对力矩的方向做一些解释，我们规定力矩方向如下图所示：

因此我们可以知道机翼的总力矩为：

M_{LE}' 的值等于积分区间为从 LE 到 TE 的两个分量之和。M_{LE}' = \int_{LE}^{TE} 分别计算第一个分量： (p_u \cosθ + τ_u \sinθ)x + (-p_u \sinθ + τ_u \cosθ)y 和第二个分量： (-p_l \cosθ + τ_l \sinθ)x + (p_l \sinθ + τ_l cosθ)y 的值后相加得到结果。\(\)

我们又知道空气动力学系数为：

c_{n} \equiv \frac{N^{'}}{q_{\infty}c} c_{a} \equiv \frac{A^{'}}{q_{\infty}c} c_{m} \equiv \frac{M^{'}}{q_{\infty}c^{2}}

PS:其中

不清楚这一系列无量纲系数的具体来源？无需担心……请参考量纲分析——白金汉PI定理详细了解其中的原理和应用方法

二维机翼的几何关系

从上图中，我们又可以很轻松地推导出：

有了以上这些公式我们就可以来推导

由于他们三者推导过程类似，所以我们只对

做详细推导：

1.已知

以及

、

、

、

、

2. 对

进行代换得到 ：

3. 进行化简：

4.又因为易推

5.带入3中式子，最终可得：

同理，我们可以可以推的：

至