空气动力学（笔记自留）-第五章
第五章 无黏可压缩流动
当马赫数达到或超过0.3时，则需要考虑气体的可压缩性特性。首先通过对小扰urbed波流动的研究来确定声速，并探讨马赫数在表征小扰动传播范围方面的物理意义。对于涉及可压缩流动的情况，则需要结合质量守恒、动量守恒以及能量守恒定律建立完整的数学模型才能进行分析求解。本章将基于无黏、一维、定常、绝热条件下的一维定常绝热流动的基本理论出发，在详细推导不同形式的能量守恒表达式的基础上阐述了各参量沿流程的变化规律及其相互关系。在此基础上研究了几类最简单的绝热或等熵可压缩流动：超声速流动中的激波与膨胀波现象以及气体沿变截面管道运动的情况
5.1 声速和马赫锥
本节通过研究小扰动波的质量特性及其相关的动量方程展开讨论，并成功建立了小扰波动速与其所在气流热力学参数之间的关系式。随后进一步探讨马赫数的意义，在此基础之上从马赫数定义为气流速度与小perturbation propagation speed ratio的角度出发分析发现，在这种情况下马赫数具有明确的物理意义
5.1.1 声速计算式的导出
声音的传播通常被视为由连续发出的扰动界面所引起。在三维空间中，这种扰动面表现为一个球面，在以球面形式传播的过程中，每一个微小的部分都可以近似地视为平面，并且与传播方向保持垂直。
基于声波的流动分析中取地面坐标系，在该坐标系中所观察到的流动是非定常的。若将坐标系固定在声波上，则声波静止不动，在其右侧以速度a持续向左延伸出一个由气流组成的区域。当气流穿过此区域时会经历微小的速度变化。在声波坐标系下这种流动呈现定常特征。气体经过该区域前后状态的变化可视为绝热过程，在此过程中气体与周围环境之间几乎没有热交换过程发生的参数梯度均非常微小——即通过该区域的压力差、温度差、密度差以及速度差都是极小量，并且此时过程中的耗散现象可以忽略不计因此这是一个既满足绝热条件又可逆（无耗散现象）的过程也就是等熵过程
- 声速与波前后压力密度变化的关系
流动可被视为一维流动。取一个包含声波在内的微小矩形控制体，在定常、一维流动条件下应用质量方程：ρaA=(ρ+dρ)(a+dv)A。
式中,A为左右控制面的面积,忽略高阶无穷小量后得到a=-ρdV/dρ.
应用动量方程,不计黏性力且忽略彻体力,整理得a²=dp/dρ.
由于气流在声波作用下的流动过程是等熵的,上式可重写为:a²=(dp/dρ)_{等熵}=(dp/dρ)s,因此a=√((dp/dρ)s).
根据气体弹性模量定义,该表达式与物理中声速公式a=√(Es/ρ)一致.
特别地,对于完全热力学气体,p/ργ=C或p=Cργ.
对其求导数得(∂p/∂ρ)s=Cγ\rho{γ-1}=γC\rho{γ-1}=γp/\rho=γRT.
因而完全热力学气体中的声速为a=√(γRT).
5.1.2 小扰动影响区的划分，马赫锥
当飞行器在空气中运行时，在其周围空气产生波动效果。如果这些波动属于微小范围，则它们会像声源一样以音速向四周方向传播出去。然而，在飞行器运动空间内波动传播的范围及其特征会因飞行器的速度变化而发生显著差异。下面将通过一个微小波动源（代表飞行器）以及其发出的声音波传播的情况来阐述不同速度下飞行器运动时波动传播的不同特性。
- 扰动源在静止空气中空气中运动时其小扰动的传播
假设微小的扰动源每隔△t时间发出一次微小扰动，每次扰动所引起的压力等所有参数的变化都是极微小的，它们对声速的影响可以忽略不计。所以每次扰动都以相同的声速a向四周传播。
1 . 当扰动源（以实心圆点表示）不动时，不同时刻发出的速度相同的小扰动波的波阵面为同心球面。在扰动源左方的观察者“只闻其声，不见其形”。
2 . 当扰动源以速度V<a向做运动时，不同时刻发出的扰动波的起始位置（扰动源）依次左移，因此后发出的扰动波的球形波阵面往左偏移，这种情况下在扰动源左方的观察者是“先闻其声，后见其形”的。
3 . 当扰动源以声速即V=a向左运动时，后一个扰动波的起始位置比其前一个的正好左移a△t，因此不同时刻发出的扰动波的球形波阵面在左面相切。扰动源也紧随扰动波，在扰动波左方的观察者是同时“闻其声，观其形”的。
4 . 当扰动源以速度V>a向左运动时，后发出的扰动波的起始位置向左的偏移超过了前一个扰动波向左的波阵面，后发出的波在向左方向都走了先发出的波前面，而扰动源自己走在扰动波左方。在扰动源左方的观察者是“先观其形，后闻其声”的。
研究流动问题时常将坐标系建立在飞行器上
当气流静止时
当压声速流动时
当声速流动时
当超声速流动时
-
马赫锥
超声速流动中，扰源在某一时刻发出的小扰动在不同时刻的波阵面（球面）形成了圆锥状的包络面。或者说，扰源在不同时刻发出扰动的波阵面在某一时刻形成了圆锥状的包络面。该包络面的顶点在扰动源，以来流速度方向为中轴线，其半顶角η满足方程：sinη=a/V=1/Ma，η=arcsin(a/V)=arcsin(1/Ma)。
通常称η为马赫角，称这个圆锥状的包络面为马赫锥，而把锥面的母线称为马和县。可见超声速气流中，小扰动的传播区域局限在以扰动源为顶点，以气流速度方向为轴线的后马赫锥内。
马赫数越小，马赫角η越小，η的最大值为π/2，对应于马赫数Ma=1。当Ma<1时，就不存在马赫角的概念了。所以说马赫角、马赫锥、马赫线都只存在于超声速流场。超声速流动中的小扰动波也称为马赫波。气流经过马赫波后，p、ρ、T若增加，也称为弱压缩波（气流速度V减小）；p、ρ、T若减小，也可称为膨胀波（V增加）。 -
影响域与依赖域
5.2 绝热流和等熵流的基本关系
本章限定在讨论一维流动（沿流线的流动）以及准一维流动的情况，并专注于研究绝热流动及其特别的等熵流动特性。基于一维定常绝热流动的基本焓方程，在结合热力学关系式（包括完全气体状态方程、焓与温度的关系、声速与温度的关系）的基础上，推导出其他形式的绝热流动能量方程，并明确各参数沿流线的变化规律；特别地，在等熵流动情况下，则利用等熵条件下的温度、密度与压强之间的关系式（等熵条件下各参数间的关系），推导出压力、温度、密度与马赫数之间的关系式（这些关系被称为等熵流动的基本方程）。
在不可压缩流动中伯努利方程具有特别重要的作用它揭示了速度与压强之间的内在联系。本节所导出的针对可压缩流体的等熵或绝热流动的基本关系，在可压缩流动研究中具有与其不可压缩情况下的伯努利方程相媲美的重要性。
5.2.1 一维定常绝热流能量方程及其特征常数
能量方程的不同表现形式
- 能量方程的特征常数
上面各种形式的能量方程右边的常数就是单位质量气体的总焓，是静焓与动能之和。该常数常用某个参考状态的物理量来表示，这些参考状态的物理量就称为特征常数。常用的参考状态有三种：1. 速度为零的滞止状态（参数下标用“0”表示）；2. 温度达到绝对零度是的最大速度（Vmax）状态；3. 流速等于当地声速时的临界状态（参数上标用“ ”表示）。气体一维定常流动中的任何一个状态都可以假想地通过绝热等熵的过程转变为对应的参考状态，用这些特征常数来表征该状态下气流的总焓，不管实际流动过程是否绝热等熵。
1 . 滞止参数
假定一个定常流动，流体质点（微团）在流动过程中绝热地减速到速度为零，且过程中无不可逆现象发生，也就是说流动是绝热等熵滞止到速度为零的。这时气流参数称为滞止参数，或称驻点参数，用下标“0”表示。在物理上对应：风洞储气罐的气体参数或理想无黏流动时驻点的气体参数。有h+V^2/2=h0=cpT0=γ/γ-1·RT0=a0^2/γ-1=γ/γ-1·p0/ρ0。
式中，h0、T0、p0、ρ0分别称为总焓、总温、总压和总密度或滞止焓、滞止温度、滞止压力和滞止密度，以区别静焓h、静温T、静压p和密度ρ。a0称为驻点声速。“静”的含义指站在与气体质点一起运动的坐标系上，相对于气体是静止地在观测参数，相对于气体是在静止地观测参数。静压是仅仅考虑气体分子随机运动产生的压力贡献，静温表征的就是分子随机运动的能量。
气体静焓是内能e与p/ρ之和，p/ρ可看作单位质量气体具有的压力能，p/ρ越大，气体能通过压力做功的能力越大。因此运动气体的总焓以及静焓与动能之和，可以看做包含压力能在内的气流的总能量一维定常绝热流动不同形式的能量方程中右端的常数旗帜指的都是气流总焓，也就是气流的总能量。能量方程描述了不同形式的气流能量（内能、动能和压力能）转换的数量关系，转换过程中总能量是守恒的。
可以用滞止参数表征上面各种形式能量方程中的常数（总焓），尽管所研究的实际流动中可以不出现流速为零的状态。采用滞止参数表示的一维定常绝热流动的能量方程为：
cpT+v^2/2=CpT0。
γ/γ-1RT+V^2/2=γ/γRT0。
a^2/γ-1+V^2/2=a0^2/γ-1。
γ/γ-1p/ρ+V^2/2=γ/γ-1p0/ρ0。
可见h0、T0、p0/ρ0、a0的大小均可反映气流总能量的大小。
2 . 最大速度
设想气流加速到极限情况，速度达到最大值，此时h=0、T=0、V=Vmax，即h+V^2/2=Vmax^2/2=h0
可见用Vmax也可1表征气流总能量的大小，Vmax和滞止参数之间的关系为Vmax=sqrt(2h0)=sqrt(2cpT0)=sqrt(2γ/γ-1·RT0)=sqrt(2/γ-1)a0。
对于空气，γ=1.4，设T0=15℃，则Vmax=757m/s。
其实最大速度Vmax不存在，因为对应的物理状态为真空，分子的微观运动已停止。这也说明气流各种形式的能量品质是不同的，动能可以完全转化为静焓（内能与压力能之和）。能量方程只是给出了气体能量的大小，未能描述能量的品质。
3 . 临界参数
设想流线上某点气流的速度等于当地声速，V=a=a，这里a _称为临界声速。这时气流的所有参数称为临界参数。能量方程中的常数值可以表示为a^2/γ-1+V^2/2=a*^2/γ-1+a*^2/2=γ+1/γ-1·a*^2/2。
类似，也可以采用T_和p*/ρ*表示能量方程中的常数，得到其他形式的能量方程。
4 . 速度与声速变化曲线
若将表达为速度与声速关系的能量方程中常数采用最大速度或驻点声速表达，则V^2/2+a^2/γ-1=Vmax^2/2=a0^2/γ-1。可整理为V^2/Vmax^2=a^2/A0^2=1。
可见声速与速度的关系可表示为V-a平面上的第一象限的四分之一椭圆周线。当速度从零增加到最大值Vmax时，声速从驻点声速（最大值）减小到零。射线V=a与椭圆周线的交点为临界点。
上述特征参数反映了气流总能量的大小。在定常绝热流动中，沿流线它们都保持不变。特征参数与静参数的关系对任意流动都使用，只是非绝热流动中它们可能使变化的，不再保持为常数。
在绝对温度系统中所涉及的特征常数
5.2.2 特征马赫数
马赫数Ma是表达速度相当于当地声速大小的一个非常重要的无量纲数，是一个常用的无量纲速率。马赫数的平方Ma^2可反映气流宏观动能与内能的比较。这里再引入另外一个无量纲速率——特征马赫数。特征马赫数用统一的标尺对各点速度进行无量纲化，它定义为速度与临界声速之比：Ma*=V/a*。
由于临界声速的平方可反映气流总焓的大小，因此特征马赫数的平方Ma*^2可反映气流宏观动能与气流总能量的比较。
下面导出特征马赫数Ma 与马赫数Ma之间的关系。将采用临界声速表达特征常数的能量方程两边同除以a ^2/2，得2/γ-1·a^2/a*^2+V^2/a*^2=γ+1/γ-1。
即2/γ-1·Ma*^2/Ma^2+Ma*^2=γ+1/γ-1。
可解得Ma*^2=(γ+1/2·Ma^2)/(1+γ-1/2·Ma^2)或Ma^2=Ma*^2/[1-γ-1/2·(Ma*^2-1)]。
根据上式，可知马赫数和特征马赫数之间的关系，如下表所示：
| Ma | <1 | 1 | >1 | 0 | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| Ma* | <1 | 1 | >1 | 0 | sqrt(γ+1/γ-1) |
基于表格数据得出以下结论：
亚声速区域：M_a < M_{a^*} < 1
超声速区域：M_a > M_{a^*} > 1
可以看出，在特征马赫数与当地马赫数之间存在相似的趋势模式。
值得注意的是，在这种情况下（即当本地马赫数趋向于无穷大时），特征马赫数值趋于一个有限值。
5.2.3 沿流线的绝热流和等熵流的基本关系式
基于一维定常绝热的能量方程来分析绝热流动，在结合第一章关于等熵关系的讨论后
- 绝热流基本关系式
γ/γ-1RT+V^2/2=γ/γRT0是采用总温表达特征常数的量热完全气体的绝热能量方程，在该式两端同除γRT/(γ-1)，并应用声速公式，得到T0/T=1+(γ-1)V^2/2γRT=1+γ-1/2·V^2/a^2=1+γ-1/2·Ma^2
又根据Ma与特征马赫数Ma*的关系式得T/T0=(1+γ-1/2·Ma^2)^-1=1-γ-1/γ+1·Ma*^2
上式可以说是采用马赫数（或特征马赫数）表达的一维定常绝热流动的能量方程，表明通过马赫数、比热容比可唯一地确定总温与静温之比。根据它也可得出绝热流动中流线上两点（或流管两截面1）温度间的关系，即T2/T1=(1+γ-1/2·Ma1^2)/(1+γ-1/2·Ma^2)=(1-γ-1/γ+1·Ma2*^2)/(1-γ-1/γ+1·Ma1*^2)。
对于绝热可逆的一维流动而言
- 临界参数与驻点参数的关系
上式中令Ma=1(或Ma*=1)，就可以得到临界参数与总参数之比：
T*/T0=2/γ+1。
p*/p0=(2/γ+1)^γ/γ-1。
ρ*/ρ0=(2/γ+1)^1/γ-1。
特别，对于空气，γ=1.4，有T*/T0=0.8333，p*/p0=0.5283，ρ*/ρ0=0.6339。
5.2.4 气体压缩性的影响
通过等熵流的总压与静压之比以及总密度与密度之比深入分析气体流动过程中的速度变化所引起的压力变化及其对密度的影响非常有效
5.3 正激波
激波是由强烈外部干扰所引起的波动现象，在超音速气流中表现为一种流动间的不连续状态。
当气流越过这种现象时会产生参数突变，并伴随机械能的损耗这一不可逆的过程。
从结构上讲它通常表现为非定常状态下的曲线型激波。
正激波具有单一方向传播的特点即其扰动仅在一个法向平面内传播。
而在曲线型激波中间区域则呈现出类似正激波的现象这种现象在喷管内部附近则可观察到接近于正激波的情况。
5.3.1 激波的形成过程简述
从活塞在直管内产生的压缩波叠加过程和飞行器所引发的强烈干扰波传播的角度出发进行简要探讨
活塞产生的压缩波叠加过程是一个快速变化的过程，在极短时间内完成气体压力的急剧提升。这一现象可以通过将整个过程分解为无数个极小的时间间隔内的扰动叠加来解释：每个微小时间间隔内产生的压缩波以声速向外传播，并且由于活塞绝热压缩的特性，在后面的传播过程中声速会因为温度升高而增大从而使得后面的压缩波追赶上前面的波最终形成一个强大的冲击波从而导致气流参数在极窄的空间区域内发生剧烈变化：这种冲击波以速度Vs向右移动并且在其运动过程中右侧区域的压力温度密度均呈现上升趋势同时伴随微团运动形成一个同向的速度V（远小于Vs）。为了维持冲击波的速度必须让活塞以速度V前进如果活塞向左加速到该速度则会导致右侧产生一系列逐渐衰减的膨胀波这些膨胀波不会像冲击波那样聚集因为在膨胀过程中气流的压力温度密度都会降低而且后面的膨胀波传播速度会低于前面的因此不会发生汇聚现象相反当冲击波在直管道中向右移动时右侧区域称为激波后方存在有运动状态而左侧区域称为激波前方则是静止状态：在这两种区域之间存在明显的参数差异即跨过冲击波后气流的状态会发生突变：速度下降温度压力密度均呈现上升趋势
飞行器前方产生的激波
5.3.2 激波的厚度及激波的数学模型
实际流动中，并非所有情况下都是零宽度的理想模型；而是具有一定宽度的实际过渡层，在流场中占据一定的空间位置，并且其厚度大致等于气体分子平均自由程的数量级
5.3.3 研究正激波前后气流关系的基本方程
研究固定位置的正激波时（即定常状态），将流动速度设置为相对于该点静止的状态进行分析（即设定流速为零）。对于一维运动中的强弱激波均可通过转换到冲击Frame来分析其特性：当在冲击Frame中观察时，则一维运动转化为定常状态下的平面运动问题（即驻正激波）。由于在冲击Frame中观察到的现象与实际现象一致（因为坐标系的选择不影响物理规律），因此可以通过研究驻正激波来了解原问题的本质特征（即定常状态下的强弱一维运动）。
因为激波面是不连续的界面，在推导过程中必须采用积分形式的基本方程：对流过一个包含该不连续面的控制体进行积分运算才能得到物理量的变化率（如质量、动量、能量等）。
选取包含正激波的一个控制体，在此区域内气流仅有一个方向的速度分量V。分别用下标1、2表示跨过冲浪前后的参数值：跨过冲浪的过程中会发生哪些变化？例如：密度会发生跃变吗？速度如何变化？压强有什么差异？这些都需要通过求解相应的守恒方程组来进行详细分析（这里暂不展开）。
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恒定流动状态。
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绝热状态下的气体运动。
气体经过激波时，在控制体内未从外界吸收热量；当气体跨过激波时温度的上升并非由于外部加热作用导致的，并因气体部分动能转化为内能而发生。 -
在控制体边界的无粘性特性下。
当采用积分形式建立控制方程时，在这种情况下无需关注内部细节。 -
可略去彻体力。
将第三章得到的积分形式的质量方程、动量方程和能量方程应用于上述包含一维正激波的控制体，并注意到上面分析的激波流动特点，可得到如下基本方程：
质量方程：ρ1V1=ρ2V2=ms·。
动量方程：ρ2V2^2-ρ1V1^2=p1-p2。
能量方程：h1+V1^2/2=h2+V2^2/2。
热完全气体状态方程：p=ρRT。
对量热完全气体，有h=cpT=γ/γ-1·p/ρ。
连续方程中的ms·为单位面积的质量流量。这里的能量方程与一维定常绝热流动的能量方程相等。
当激波较强，激波后的温度较高。
5.3.4 正激波前后的参数关系
-
正激波前后的压力比和密度比关系
改写动量方程，并应用质量方程，得p2-p1=ms·^2(1/ρ1-1/ρ2)。
该式表明，气流越过间断面时的压力增加必然引起速度的减小和密度的增加。再将能量方程改写为h1+ms·^2/2ρ1^2=h2+ms·^2/2ρ2^2。
合并上式，得h1-h2+1/2·（V1/ρ1+1/ρ2）(p2-p1)。
这就是激波前后热力学参数的关系式，它同样适用于非量热完全气体情况。
特别，对于量热完全气体，代入h的表达式，可得p2/p1=(γ+1/γ-1·ρ2/ρ1-1)/(γ+1/γ-1-ρ2/ρ1)或ρ2/ρ1=(γ+1/γ-1·p2/p1+1)/(γ+1/γ-1+p2/p1)。
上述关系称为兰金-雨贡纽关系（R-H关系），根据其绘制的曲线称为激波绝热线。
等熵绝热线：p2/p1=(ρ2/ρ1)^γ。当ρ2/ρ1>1，向同的ρ2/ρ1值下，跨过激波的p2/p1大于等熵过程中的p2/p。但当拍p2/p1=1~2时，两者的差别非常小。激波绝热线具有渐近线：p2/p1→∞时，ρ2/ρ1→γ+1/γ-1。
尽管气流通过激波后，压力可以无限升高，但密度的增加有限，最多只能增加到波前密度的γ+1/γ-1倍。不过考虑到高温空气发生振动激发和化学反应带来的影响后，密度比可到15~16。
只有作为压缩突跃的激波才可能存在。当ρ2/ρ1>1时，有(p2/p1)激波>(p2/p1)等熵=(ρ2/ρ1)^γ。
则当ρ2/ρ1<1时，有(p2/p1)激波<(p2/p1)等熵=(ρ2/ρ1)^γ。
但突跃后熵的变化为s2-s1=cvIn(p2/p1)/(ρ2/ρ1)^γ。
根据熵增原理，必有s2>s1，因此必有p2/p1>(ρ2/ρ1)^γ。
这相当于压缩突跃的情况。反之，如有膨胀突跃，则会出现s2<s1，物理上是不成立的。所以说，跨过激波，气流的压力和密度升高，相应地，速度下降。 -
正激波前后速度间的关系
对量热完全气体，动量方程可改写为V2-V1=a1^2/γV1-a2^2/γV2。
再利用由临界声速表达的能量方程，得a1^2/γ-1=γ+1/γ-1·a*^2/2-V1^2/2，a2^2/γ-1=γ+1/γ-1·a*^2/2-V2^2/2。
将以上两式代入，得V2-V1=γ-1/2γ·(V2-V1)+γ+1/2γ·a*^2(1/V1-1/V2)。
由于激波前后V1=V2，故得V1V2=a*^2或Ma1*Ma2*=1。
该式称为普朗特公式。说明作为压缩突跃的正激波，V1>V2，则激波前Ma1*>1，激波后Ma2*<1。也就是说，在定常正激波中，激波前一定是超声速气流，而激波后一定是亚声速气流。 -
正激波前后气流状态的变化
进一步导出激波前后气流参数比与波前马赫数的关系
由质量方程得ρ2/ρ1=V1/V2=V1^2/a*^2=Ma1*^2。
再根据特征马赫数与马赫数的关系，得ρ2/ρ1=Ma1^2/[1+γ-1/γ+1·(Ma1*^2-1)]。
根据动量方程，利用声速公式和上式得p2-p1/p1=γ·Ma1^2(1-1/Ma1*^2)。
代入特征马赫数与马赫数的关系·后整理得p2/p1=2γ/γ+1·Ma1^2-γ-1/γ+1。
得到激波前后密度和压力比后，根据量热完全气体状态方程可以进一步得到激波前后温度比T2/T1=[2γMa1^2-(γ-1)][(γ-1)Ma1^2+2]/(γ+1)^2·Ma1^2。
通过激波，部分宏观动能耗散为内能，温度升高。不过温度升高的程度比压力弱。
激波前后马赫数关系为(Ma2/Ma1)^2=1/MA1*^4·T4/T2。
整理后得Ma2^2=(1+(γ-1/2)Ma1^2)/(γMa1^2-γ-1/2)。
在经过正激波的情况下，在经过正激波时
5.4 斜激波
5.4.1 引言
激波面与来流形成一个角度，在穿过斜激波层后，压力、密度以及温度发生突变，并偏转为与物面平行的状态。当线扰动源位于超音速气流中时，在其扰动区域内会形成由两个马赫锥组成的楔形域。当该区域内的扰动强度超过简单声波时，则会产生一个与气流方向呈β角（β > η）的超音速斜激浪面；其中β即为此处形成的冲击角。超音速气流在点A遇到一块向外倾斜θ角度的固定壁面时（θ > 0），也会产生一种特定类型的斜激浪；这种情况下，在壁面上会发生角度向上偏转的现象，并被称为向内倾斜的情况。在此情况下，在斜激浪前面处于超音速状态的压力-速度气流经过该界面后会均匀地发生方向偏转并平行于物面向外流动；这一过程中各物理量都会发生突变：速度降低、马赫数减小；而温度、压力以及密度则会出现相应的增加变化。曲线型冲击浪可视为由无数微小平面冲击浪组合而成；在其中心位置附近的一个微小范围内则表现为正冲击线。
正冲击线和平坦型冲击线各自具有明显特征：前者是平直光滑的一条直线；后者则是具有明确夹紧角度α（α = θ）的空间曲线。
5.4.2 斜激波与正激波的关系
核心控制方程组描述了超音速流动中斜激波的特性及其影响因素。已知斜激波与波前气流之间形成夹角β，在此情况下气流偏转角度θ被定义为斜激波后的速度矢量相对于其上游状态的变化程度。选取一个包含斜激波及其相关区域的控制体，并将其上下边界平行于流动方向以消除质量流量变化（无质量通量），左右边界则平行于冲击波方向以便分析流动参数的变化规律[1]。将速度矢量分别沿着和垂直于冲击波方向进行分解处理后可得：通过应用积分形式的质量守恒定律，在法向和切向方向上的投影分别为ρ₂V₂² - ρ₁V₁² = p₁ - p₂以及ρ₂V₂ᵗ V₂ - ρ₁V₁ᵗ V₁ = 0等关系式建立起来[2]。
结合质量守恒关系式可得V₁ᵗ=V₂ᵗ这一结论表明：气体穿过冲击壁时其切线分量保持不变而法线分量会发生突变性变化这一现象可以通过引入冲击线来进一步简化分析[3]。
基于上述分析可知：在能量守恒框架下不仅能够获得气体物性参数与流动参数之间的关系而且还能揭示冲击线位置的变化规律这一特性对于理解超音速流动的基本机制具有重要意义。
- 控制方程分析
对比斜激波的质量方程、法向动量方程和能量方程与正激波的相应控制方程，可见只要用斜激波前后的法向分量V1n、V2n代换正激波方程中的V1、V2，两组方程就完全一样。这说明斜激波前后气流在激波面法向上的分量符合正激波的规律，或者说，斜激波流场就是由正激波流场与一个流速为Vt的均匀气流叠加完成的。所以它与正激波流场在本质上是一样的，可以说是站在一个沿激波切向向下速度为Vt的动坐标系上观察上的流动。
将正激波关系式中的V1和V2分别换为V1n和V2n，就可以直接导出斜激波关系式。从几何关系中，有V1n=V1sinβ，V2n=V2sin(β-θ)或Ma1n=Ma1sinβ，Ma2n=Ma2sin(β-θ)。
斜激波的特点引入了激波角β和气流偏转角θ两个新参数。
根据几何关系和斜激波前后切向速度不变的特点，可得Vt=V1ncotβ=V2ncot(β-θ)。
而由于跨过激波法向速度减小，所以V1n>V2n，从而有β>β-θ，即θ>0。
这说明气流通过斜激波后，向贴近激波面一侧偏转。这与产生斜激波的原因也是一致的：因为内折拐角的存在而在超声速气流中形成斜激波，气流跨过斜激波后转为平行于物面流动，向内折，即向贴近激波面一边偏转。
5.4.3 斜激波的基本关系式
如前所述，在应用适当的坐标变换后可将斜激波转化为等效的正激波状态；因而其前后相关的热力学参数分别与对应的正激波情况一致。此外，在斜激波现象中压力比与密度比之间同样具有兰金-雨贡纽关系。
遵循与正激波相似的普朗特关系
-
斜激波前后气流状态的变化
利用斜激波和正激波的关系，将正激波前后参数比与波前马赫数Ma1的关系式中的Ma1换为斜激波的波前法向马赫数Ma1sinβ，即可得到斜激波前后参数比如下公式。
导出关系式后，只要把斜激波转换为正激波，就可以解决问题。 -
激波角β与气流偏转角θ的关系
由速度三角形可得tanβ=V1n/V1t，tan(β-θ)=V2n/V2t。
V1t=V2t，再利用质量方程和斜激波前后密度比式，得tan(β-θ)/tanβ=[2+(γ-1)Ma1^2sin^2β]/[(γ+1)Ma1^2sin^2β]。应用三角关系式后可继续整理为tanθ=2cotβ[Ma1^2sin^2β-1]/[Ma1^2(γ+cos2β)+2]。
在波前马赫数一定时，激波角越大，激波越强。在正激波的情况下和当激波若华为马赫波时，气流偏转角为0。而当β从马赫角μ变为π/2时，θ总是正值，在这个范围内，θ有一极大值。该极大值和其对应的激波角可以对上式求导求极值得出：tanθmax=f(βm)。
当β从马赫角μ变为π/2时，θ先增加后减小。当楔角θ>θmax时，无斜激波解，出现脱体激波。这是因为当楔角很大时，依靠斜激波使气流转折已不可能，只有形成脱体激波，利用正激波后的亚声速流动来实现气流的转向。上式可改写为以下形式tan^3β+Atan^2β+Btanβ+C=0。
式中，A,B,C是Ma1、γ、θ的函数。该方程有三个解，其中一个无意义，对应一个θ有两个有物理意义的β值，较小的β对应波后马赫数Ma2>1（或略小于1），是弱激波解；较大的β对应Ma2<1，是强斜激波解。
下面对β于θ的关系进行小结：
1 . 对于给定的Ma1，存在θmax，tanθmax=f(βm)，当θ>θmax时，激波脱体，无斜激波解。
2 . 在某一给定的θ角，有一个最小的马赫数Ma1,min，Ma1<Ma1,min时，无斜激波解。
3 . 一个θ对应两个β，一个强解，一个弱解。
4 . θ=θmax时，Ma2<1，斜激波后一定是亚声速流。
具体问题中要由产生激波的具体条件——气流的来流马赫数和边界条件来确定。
在超声速气流中产生激波有下列三种情况：
1 . 由气流的偏折角所规定的激波。
2 . 由压力条件所决定的激波。
3 . 由壅塞所决定的激波。
探讨的是马 Da 之间的关联。
如上所示：
\text{马}_\text{a}^\text{b} = \left[ \frac{\text{马}_\text{a}^\text{b} + \frac{2}{\gamma - 1}}{\left( \frac{2\gamma}{\gamma - 1} \cdot \text{马}_\text{a}^\text{b} \sin^{\text{b}} \beta - 1 \right)} + \frac{\text{马}_\text{a}^\text{c} \cos^{\text{c}} \beta}{(\gamma - ½) \cdot (\text{马}_\text{a}^\text{b} \sin^{\beta}) + ½}
可以看出：
当马 Da 恒定时，
如果 β 增大，
则马 Db 就会降低。
而当 β 非常小时，
则有马 Db 大于 ½；
而若 β 超越了一定数值，
则有马 Db 小于 ½。
令 β* 和 θ* 分别代表使得
\mathrm{s}_{\mathrm{i}} = (\mathrm{s}_{i})_{0},
此时，
θ 和 θ*, β 和 β* 都较为相近。 ##### 5.5 普朗特-迈耶膨胀波 直管中活塞往复运动时，在一个冲程内分别发生两种不同类型的波动现象：当活塞向右内压时会生成压缩脉冲并造成激波效应；而当活塞向左外扩时则会产生一系列膨胀脉冲依次向右移动，在此过程中由于后续阶段的脉冲速度较慢因而无法形成连续的行进状态。类似地，在超声速气流经历内部折转角时也会出现斜体结构下的激波现象。 ###### 5.5.1 超声速定常气流绕凸角的平面流动的图像 考虑马赫数为Ma1且沿壁面AO方向运行的超音速气流。在O点处因墙壁发生转向而形成了一个凸起区域。因为边界层中的气体必须贴附于墙而运动，在这种情况下，在拐角后的边界层中的流动方向将相对于拐角前的速度分布发生θ角度的变化。 1. 流动特点分析 将扰动源产生的扰动视为无数个小扰动的叠加，即向外发出无数小扰动波，超声速气流中小扰动波传播的边界就是马赫线，扰动波也就是马赫波。对于向外折的绕凸角流动，这些马赫波是膨胀波。由于膨胀过程是经历一系列膨胀马赫波完成的，而通过每个马赫波，气流的熵增ds=0，因此整个膨胀过程是等熵过程。 经过膨胀后气流压力降低，根据等熵关系式：`p/p1=(ρ/ρ1)^γ=(T/T1)^γ/γ-1`。 可知膨胀后气流压力降低，根据定常绝热沿流线的能量方程，有`cpT+V^2/2=cpT1+V1^2/2`。 可知膨胀后气流是加速的。另一方面，膨胀波后气流的温度、压力和密度的降低，意味着累积发出的膨胀波其波速（声速）是依次降低的，于是膨胀后气流的马赫数增大。 由于每一道波后马赫数都增大，因而马赫角逐渐减小，据此可推知一道道膨胀马赫波的分布式逐渐散开的，由于Ma2>Ma1，所以`μ2=arcsin(Ma2^-1)<μ1=arcsin(Ma1^-1)`。 可见对于任意向外转折角θ：`μ2>μ1-θ`总成立。超声速气流向外偏转时，会出现扇形膨胀区。 各区域气流参数中： - OL1前方是第1区域域：气流沿着壁面AO方向流动，在该区域内参数均匀且恒定。 在OL1与OL2之间形成扇形L1-O-L2的膨胀区（标记为区域Ⅰ）：气体经过一系列的激波作用后， 其通路发生光滑而连续的角度转向，并伴随马赫数逐渐增大， 同时伴随压力、密度及温度逐步降低直至达到最低值。 经过这一膨胀过程后， 流动方向相对于来向的角度变为θ， 并最终平行于壁面OB进入第Ⅱ个区间域。 ###### 5.5.2 普朗特-迈耶膨胀波关系 P-M流动不受径向尺寸的影响，在气流转折dθ这一扰动下形成膨胀马赫波，并导致波后各流动参数的变化。基于极坐标形式的无黏定常等熵流基本方程体系可求解该自相似流动的精确解。 基于关系式可知：sinμ = 1/Ma， cosμ = 1/√(Ma² - 1)。 由此可得P-M膨胀流动所遵循的微分方程为：
\frac{d\theta}{\tan μ} = \frac{dV}{V} = \sqrt{Ma² - 1} · \frac{dV}{V}
当角度增量趋近于零时，
上述等式精确成立，
并且适用于所有气体类型，
包括非理想气体。
计算积分时设定起始点位于θ=0、Ma=1的位置，则有：
θ = ∫_{1}^{θ} sqrt(Ma² - 1) dV/V。
通过引入变量替换将dV/V表示为dMa/Ma + da/a的形式。
对于量热完全气体，在定常绝热条件下：
a = a₀(1 + γ - ½ Ma²)^{-½}。
对上式两边取自然对数后进行微分运算：
da/a = -[γ - ½ Ma²] / [1 + γ - ½ Ma²] · dMa/Ma。
将其代入积分表达式：
θ = ∫_{1}^{Ma} [sqrt(Ma² - 1) / (1 + γ - ½ Ma²)] · dMa/Ma。
经过精确求解得到P-M膨胀波的关系式：
θ = v(Ma) = sqrt[(γ + ⅟γ) - ⅟] · arctan[(γ + ⅟γ) - ⅟ · (Ma² - 1)]
- arctan[sqrt(Ma² - 1)]。
此关系式给出了超声速气流经过转折角θ后的马赫数与θ之间的对应关系，
注意该结果仅适用于量热完全气体的情况。
P-M膨胀波关系式的应用范围及其实现方法
###### 5.5.3 超声速气流绕二维曲面的流动
当不计气体的黏性时
同样的结论同样适用于
类推可知，在绕缓慢变化的二维凹曲面上
##### 5.6 激波-膨胀波理论对超声速翼型的应用
当超音速流动经过翼型时，在其表面会产生激扰与扩散型波动（即所谓的激扰与扩散型波动系）。该方法基于绕流特征图，并利用斜击爆及扩散型波动理论对二维超音速机翼表面的压力场进行计算得到。计算得到了压力分布之后，则可通过积分计算得到升力、总阻力及力矩等参数值。应用斜击爆理论存在极限条件：确实在能够产生斜击爆的情况下（即气流折线角不超过对应马赫数下的最大折线角θmax）。
###### 5.6.1 超声速气流绕流平板翼型
超声速气流绕流平板是一个典型实例来说明激波与膨胀波理论的应用过程。当气流绕过具有攻角的平板翼型时，在上表面由于流动方向发生外折现象而形成稀疏区域，在前缘处会产生明显的膨胀波，并导致上表面压力值p₂低于来流压力值p₁（即p₂ < p₁）。相反，在下表面由于内折现象而形成压缩区域，在前缘处会出现斜激波，并使下表面压力值p₃高于来流压力值p₁（即p₃ > p₁）。在后缘部位，则上下翼面的超音速气流流动方向趋于一致性但存在压强差异：上翼面压强较低而下翼面压强较高。因此在后缘处会发生压强差驱动下的流动偏折现象：上翼面气流会跨过斜激波并发生内折偏转；下翼面气流则会经历膨胀波并发生外折偏转。经过激波与膨胀波作用后的上下翼面气流最终达到相同的压力值并具有相同的方向性与流动一致性，并与自由来流方向趋近一致的状态
平板上下翼面上的压力分布情况均为均匀分布状态：即上下翼面上的压力值分别为均匀且稳定的数值表现形式
###### 5.6.2 超声速气流绕流菱形翼型
分析具有迎角且对称的菱形机翼绕流的情况，并观察其周围的波阵特性。将机翼分为上下共七个流动区域，并观察每个区域内流动参数的变化情况
在上翼面区域中，在小来流角的情况下（即迎角α小于菱形半顶角ε），首先，在点A处的气流内折形成了斜激波。经过该斜激波后流动线与AB表面保持平行。随后，在B点处的表面发生了外弯折（即外折拐角），其转角大小为2ε。当气体穿越扇形膨胀波区后（即跨过这一区域），流动线再次与CD保持平行状态。
2. 下翼面
A点气流内折，且折角比上翼面大，为ε+α，斜激波更强，因此气流压力高、马赫数低：p3>p2，Ma3 h = \frac{\gamma}{\gamma-1} \cdot \frac{p}{\rho} = \frac{\gamma}{\gamma-1} RT
###### 5.7.2 等熵条件下流动参数与截面积的微分关系
在管路截面变化的过程中进行的质量流量恒定的运动，在没有粘性效应的情况下进行绝热过程，并且在连续运动下不发生激波或突然中断，则属于等熵状态
流体动力学中流动参数与管径变化之间的微分关系
2. 流动参数随截面积的变化规律分析
上式表明了变截面管道流动中，速度随管道面积的变化规律在超声速和亚声速情况相反：亚声速是速度的增加与面积的减小相联系，即随管道收缩速度增大，管道扩张则速度减小，与不可压流在定性上相同；而超声速时随管道收缩速度减小，管道扩张则速度增大。
气流热力学参数随管道截面积的变化规律在超声速和亚声速情况的变化规律也是相反的。亚声速时管道的收缩和气流的膨胀相关联，随着管道收缩流动加速，压力、温度和密度减小；管道的扩张和气流的压缩相联系，随着管道扩张流动减速，压力、温度和密度增大。超声速时管道的压缩和气流的压缩对应，随管道收缩流动减速，压力、温度和密度增大；管道的扩张和气流的膨胀对应，随管道的扩张流动加速，压力、温度和密度减小。
由面积-速度微分关系式可知，在Ma=1处，如果速度仍有变化，即dV≠0，则dA=0，即截面积变化率为零。由此可推断，声速必然出现在最小截面积处（管道喉部）。反过来，在管道的最大或最小截面处，即dA=0处，如不出现声速，Ma≠1，dV=0，即在该处的速度出现极值。
要想产生超声速气流，管道的截面形状在亚声速段应该是收缩的，超声速段应该是扩张的，以声速处的截面积为最小具有这种形状的管道称为拉瓦尔喷管。
下面选定特殊的临界截面（气流速度达到声速的最小截面），以它为参考量，导出各截面的面积膨胀比（截面积与临界截面的面积之比）和该截面上气流马赫数的关系。
假设气流在喉部处达到声速。对定常绝热流动，气流速度等于当地声速时的参数就是临界参数。记该处截面积A*、速度V*、声速a*、马赫数和特征马赫数均为1，其他参数也加上标 _表征。
根据质量方程`ρVA=ρ*V*A*=ρ*a*A*`，应用等熵关系式及温度关系后，有`A/A*=(T*/T)^(γ+1/2(γ-1))·1/Ma`，再根据等熵基本关系式将T_/T用马赫数Ma表达，得`(A/A*)^2=1/Ma^2[2/γ+1·(1+γ-1/2·Ma^2)]^(γ+1/γ-1)`。
上式称为面积-马赫数关系式，指出`Ma=f(A/A*)`，即管道内任一截面处的马赫数是当地截面积与声速喉部（临界截面）面积之比的函数。
一个给定的A/A*值对应两个马赫数，一个亚声速值和一个超声速值，具体取决于管道前后的压力比。
确定各截面上气流马赫数后，可以通过进一步应用等熵流基本关系，求得截面上气流参数与总参数的比值。
###### 5.7.3 喷管的流速与流量的计算
使用喷管的两个目的：获得一定的气流速度或得到一定的质量流量。
1. 流速计算
设喷管驻室参数为p0,ρ0,T0，出口处压力和界面积分别为pe和Ae，可以根据压力比，确定等熵流动情况下的出口流速Ve和马赫数Mae。
改写能量方程`γ/γ-1·pe/ρe+Ve^2/2=γ/γ-1·p0/ρ0`，再根据等熵条件下`pe/p0=(ρe/ρ0)^γ`可得`Ve^2/2=γ/γ-1·p0/ρ0·[1-(pe/p0)^γ-1/γ]`，于是有`Ve=sqrt{2γ/γ-1·p0/ρ0·[1-(pe/p0)^γ-1/γ]}`。
可见出口速度和驻室压力、密度（总温或总焓）的绝对数值与压比、比热容比都有关。
马赫数为`Mae=Ve/ae=sqrt(2/γ-1·[(pe/p0)^(γ-1/γ)-1])`。
上式导出用了声速公式`ae=sqrt(γRTe)`和等熵条件。可见无量纲的流速（马赫数）只与压比和比热容比有关。
从流速和马赫数和压比的关系发现，随着压比的连续增大，流速连续增大。
2. 流量计算
应用等熵关系式和声速公式后，可得到等熵流动的质量流量为`m·=ρeVeAe=p0/sqrt(T0)·sqrt(2γ/R(γ-1))·sqrt((pe/p0)^(2/γ)-(pe/p0)^(γ+1/γ))Ae`。
p0、T0、Ae一定时，m·在pe/p0=1时值为零；随pe/p0从1开始减小，m·首先增大，在`pe/p0=[2/γ+1]^(γ/γ-1)=0.528`时达到极大值，之后m·随pe/p0减小而减小，在pe/p0为无穷小时m·降为零。
实际喷管流动中流量的增加有限。对等熵流动，pe/p0=0.528对应气流速度到达声速，只能出现喷管的喉部。当pe/p0从1降到正好使喉部气流达到声速，喷管流量到达最大值。此时喉部下游全是亚声速气流。可以根据喉部截面的临界参数计算喷管流量的最大值。
`mmax·=ρ*a*A*=ρ0a·ρ*a*/ρ0a0·A*=p0·sqrt(γRT0)/RT0·(2/γ+1)^1/γ-1·(2/γ+1)^1/2·A*=(γ/R)^1/2·(2/γ+1)^[γ+1/2(γ-1)]·p0/sqrt(T0)·A*=K·p0/sqrt(T0)·A*`。
由上式可知，对于一定形状的喷管，允许的最大质量流量正比于气流总压，反比于总温的平方根，对空气，式中的比例系数为K=0.04042。
喷管喉部处气流达到声速后再继续降低pe/p0，喉部下游会出现超声速流动，但喉部及其上游的流动参数和喷管的质量流量都保持不变，因为下游的压力扰动无法通过超声速气流向上游传播。也就是说，一旦流动在喉部处达到声速，喷管的质量流量就被给定的p0、T0以及喉部面积大小所限定，之后不管pe/p0怎样降低，都无法增大流量，称这种流动为“壅塞”流。壅塞之前的流量可根据压比计算。
拉瓦尔喷管在工程中应用广泛。采用拉瓦尔喷管的目的是在其出口处获得所需的气流参数。出口处的气流参数不仅取决于喷管的截面积的变化情况，也取决于喷管出口下游环境压力（又称为背压pB）与入口上游总压p0之比。
###### 5.7.4 拉瓦尔喷管的设计工况
根据上述工况设定的要求可知，在喷管喉部必须形成临界截面状态；而从喉部向后的扩张区域则应维持超声速等熵流动状态而不产生激波现象。
只有当背压pB与计算得到的工作压力比对应的出口静压pe_1数值完全一致时，在实际应用中才能准确实现预期的超声速流动状态。
###### 5.7.5 亚声速工况
当背压等于静压（pB=p0），此时喷管入口与出口处不存在静压差。若降低背压至pB=0.99p0，则微小的压力梯度会导致喷管内产生极其微弱的速度场。沿喷管轴线方向从收缩段入口开始逐渐增大，在roat（喉部）处达到最大值；而在roat下游区域，则随着管道直径的扩大化而逐步减小。整个喷管内部的所有点都处于亚声速流动状态。相应地，在不同截面上的压力分布情况可以通过以下公式进行计算：(A/Ae)^2=(Mae/Ma)^2·[1+γ-1/2·Ma^2/1+γ-1/2·Mae^2]^(γ+1/γ-1)。
###### 5.7.6 管内或管口出现正激波的工况
在某个压力比范围，拉瓦尔喷管的出口处或管口的扩张段某处会出现一道正激波。设管口产生正激波对应的喷管工作压力比为pe,3/p0。
当pB/p0=pe,2/p0时，气流在喷管喉部达到声速，而在扩张段内完全是亚声速流，当喷管工作压力比满足`pe,2/p0>pB/p0>pe,3/p0`时，扩张段内会局部出现超声速气流，在扩张段内某处产生正激波，气流通过正激波后压力突增，激波后的亚声速气流随着管道的扩张再等熵地减速增压，直至出口处与外界压力pB匹配。激波在管内的位置是随着pB不同而变化的。当pB稍小于pe,2时，激波很弱，位置很接近于喉部；随着pB逐渐降低，激波位置越来越像出口截面靠近。pB=pe,3时，激波正好发生在出口。截面上，而出口截面之前的流动和设计工况完全相同。pe,3就是设计工况下出口超声速气流（马赫数Mae,1，压力pe,1）经过正激波后的压力，利用正激波关系式即可得到`pe,3/pe,1=1+2γ/γ+1·(Mae,1^2-1)`。
对于管内发生正激波的情况，已知出口面积比Ae/A _和压力比pB/p0时，可以确定激波出现的位置。喷管流动中，无论是否等熵，出口面积比与压力比的乘积均满足以下关系：`pe/p0·Ae/A*=1/Mae·(2/γ+1)^(γ+1/2(γ-1))·(1+γ-1/2Mae^2)^(-1/2)`。
可以利用数据表确定管内激波位置，具体步骤如下：
1 . 首先根据给定的(pe/p0)·(Ae/A_)值，直接查等熵流函数表确定对应的出口马赫数Mae，并确定pe/p0e。
2 . 根据pe/p0e和pe/p0算出p0e/p0，亦即激波前后总压比p02/p01。
3 . 正激波的总压损失是由波前马赫数唯一确定的，所以根据p02/p01可得波前马赫数Mas1。
4 . 再根据Mas1或从等熵流函数表查得As/A*，代入给定A*后，就定出了激波所在位置的截面积As。
###### 5.7.7 管外出现斜激波或膨胀波的工况
当pB等于pe,1时，则喷管处处于设计工况。
当pB等于pe,3时，则管口会出现正激波。
随着pB比pe,1增加了但未超过pe,3时，在喷管出口处的压力平衡条件下，在出口附近形成超声速流态下的背压增强所引起的扰动将无法传递至上游区域，在这种情况下只能在管口外产生斜激波现象。
如果pB小于pe,1的时候，则气流在管内会发生不足程度上的膨胀，在这种情况下为了满足出口压力平衡条件而只能在管口外产生膨胀波从而将气流压力从pe,1降低到当前的压强值。