空气动力学（笔记自留）-第六章

第六章 黏性不可压流动与边界层

6.1 黏性流体运动特点

首先以两个流动实例考察黏性流体与无黏流体之间的差异，并深入探讨其中粘性效应所导致的不同现象及其影响机制。随后介绍不同条件下粘性流体可能呈现的不同运动形态：层状（层流）与湍急（湍流）。

考察理想流体在平行于无厚度平板方向的均匀稳态流动情况。当理想不可压缩牛顿型粘性流体沿平行于无限薄平板的方向运动时，在平板表面附近会出现特殊的边界条件：即质点必须满足非渗透条件（no-penetration condition），亦即所谓的滑动端条件（no-slip condition）。具体而言，在这种情况下，在靠近壁面的位置质点将无法穿透壁面本身并进入壁体内部区域（通常被称作绝�ppp不穿透条件）。然而，在这种理想情况下，平板对 Flow 运动没有任何阻碍作用（即阻力为零）。然而，在真实情况下——即存在粘性效应的情形下——紧贴壁面处的质点将被粘附在壁面上而无法发生相对运动状态的变化（亦即必须满足滑动端条件）。随着 Flow 离开壁面位置逐渐延伸至远离壁面的位置时，则可观察到速度场发生了显著变化：从紧靠壁面处的速度为零的状态开始逐渐增长至达到来 Flow 的平均速度水平值。因此，在距离壁面足够近的位置上所对应的区域中速度梯度将呈现较大的数值特征值，并且该区域内相邻质点间的切向粘滞应力不能被忽略不计——这即是所谓的边界层区域（boundary layer region）。在这个区域内平板的存在将会引起 Flow 的阻力效应显著提升——即此时平板所承受的阻力不再为零值了！

6.1.2 黏性流体流动的两种状态

黏性流体的运动可划分为两种流动形式（称为流态）：层状流动与 Turbulent Flow；其中 Turbulent Flow 亦被称作 Turbulent Motion

雷诺管路实验

2. 层流与湍流的主要表现在于其流动特性上的显著差异。
   在层流流动中, 各质点沿迹线运动轨迹是平滑且规律性的, 不存在宏观混合现象；相比之下, 湍流中流动形态呈现不规则且弯曲的特点, 并伴随沿主流方向及横向方向均有明显的混合过程。
   从参数变化角度来看, 层流转动属于平稳状态, 其速度场和压力场随时间和空间的变化均表现得非常平滑；而湍流转动则表现出强烈的不稳定性, 其各项参数变化呈现出高度不规则和非光滑的特点。
   从输运能力的角度分析, 湍流对动量传输、能量传递以及物质交换的过程具有显著增强的效果。
   尽管两者均遵循黏性流动的基本方程组——纳维-斯托克斯方程组(NaNv-StokES), 但它们所处的动态行为存在本质区别：层流转动对应确定解状态, 而湍流转动则对应随机解状态（尤其在高雷诺数条件下）。
   从动力学稳定性角度来看, 层流转动是一种稳定的平衡态现象, 只能在较低雷诺数条件下实现；而自然界及工程实践中的常见流动类型主要是以高雷诺数主导的强扰动能驱动下的湍流转动模式。

6.1.3 N-S方程组的求解

基于层流运动有序性和确定性的特点，在理论分析中可以直接从N-S方程组出发进行解析求解以获得流动参数分布信息

在某些简单的案例中，在这些情况下其非线性惯性项要么为零要么呈现极为简单的形态，在这种情况下方程组通常会转化为线性的或者相对简单的非线性形式，并且从而能够精确求解出相应的解析表达式。

2. 近似解
   根据问题的物理特点，略去方程中某些次要项，从而得出近似方程。

6.2 N-S方程层流解析解举例

最基本形式的粘性流动被称为不可压缩流体的平行流动。这种流动仅有一个速度分量不为零，并且所有流体微团沿着同一个方向运动。

6.2.1 不可压平行流的控制方程

选取直角坐标系，并将运动方向定为x轴方向，则只有流速u\neq 0。基于不可压流体的连续性方程\nabla \cdot \mathbf{V}=0可知，在不可压平行流动中速度分量\frac{\partial u}{\partial x}=0。由此可知，在不可压平行流动中压力仅与坐标x和时间t相关。考虑到非线性惯性项为零的情况，则有\rho \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)。上述方程即为不可压平行流动的控制方程，在给定初始条件及边界条件下求解即可确定流体的速度分布情况。

6.2.2 库埃特流动

设在两个无限宽并行放置的平板之间相距2h处。其中上平板以匀速U水平向右方向移动而下平板保持静止状态。在建立坐标系时令x轴沿板间流动方向并位于间距中分线位置；y轴与平板垂直；z轴则与平板长度方向一致并与纸面垂直向外指向。此流动场呈现定常特征。

1. 方程及求解
   因流动定常，速度与t无关；又因平板无限宽，所以速度在z方向的变化率为零。从而u=u(y)，控制方程为μ·d^2u/dy^2=dp/dx，边界条件为y=-h:u=0;y=h,u=U。
   由于p只是x的函数，u只是y的函数，只要上方程有解，dp/dx只能为常数。也就是说，只有dp/dx为常数的情况，才可能出现这样的二维定常平行流动。将上式对y积分，再由边界条件定出积分常数，得到速度分布为u=U/2(1+y/h)+h^2/2μ·(-dp/dx·[1-(y/h)^2]。

2. 两类特殊流动情况
   当上板的速度U=0，就是二维泊肃叶流动，即两静止平行平板间的定常二维流。此时速度分布为u=umax[1-(y/h)^2]。
   可见速度剖面为抛物线。等式右端的负号说明速度指向压力降低的方向。式中，umax为最大速度，位于中线x轴。
   当压力梯度为零时，有u=U/2·(1+y/h)
   这种特殊情况为简单库埃特流动，即流体完全是由运动的壁面通过黏性力而拖动。

3. 压力梯度的影响
   库埃特流动通常由简单库埃特流动和二维泊肃叶流动的组合构成，在其中泊肃叶流动反映了压力梯度的作用。我们定义无量纲压力梯度为B = h²/(μU)·(-∂p/∂x)以便分析其影响。
   当B>0时（即压力沿流动方向下降），称为顺压梯度的情况，在整个流动过程中流体整体呈现正向速度。当B足够大（即压力梯度作用远超过上板速度的影响）时，则会趋近于典型的泊肃叶流状态。
   当B<0时（即压力沿流动方向上升），则被称为逆压梯度的情况。当其小于某个负阈值（即|B|>1/2）时，在靠近静止壁面的某些区域会出现反向运动（即逆流）。这一现象的发生前提是du/dy|y=-h=0。具体而言，在此时上层流体由于速度较大而产生的拖拽力不足以抵消逆向的压力差（即dp/dx > μU/(2h²)），因此会导致静止壁面附近区域出现逆流现象。

6.2.3 哈根-泊肃叶流动

哈根-泊肃叶流动通常被称为直圆管中的平行层流运动。当流体从外部大空间进入均匀直径的直管道时，在入口附近存在显著的变化区域。随着沿着管轴方向的发展，在这一区域中速度场逐渐发展并最终趋于稳定状态。这一变化明显的初始阶段被称为 entry region 或初变区，在初变区内部的流动状态则被视为充分发展的层状运动状态。

速度场特性：将微分方程重新表述为 \mu \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dr}} \left( r \cdot \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dr}} \right) = \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{dx}} , 经过积分运算得到通解形式 u = \frac{1}{4\mu} \cdot \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{dx}} \cdot r^2 + C_1\ln r + C_2 。满足边界条件时得出常数项 C_1 = 0 , 常数项 C_2 = -\frac{1}{4\mu} \cdot \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{dx}} r_0^2 。由此可知该流动呈现轴对称的抛物面形状，并且最大流速出现在流体静止的位置处, 即 u_{max} = -\frac{1}{4\mu} \cdot \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{dx}} r_0^2 。

根据哈根-泊肃叶流的速度分布可求得工程实践中常用的几个参数值。
由哈根-泊肃叶流的速度分布可求得工程实践中常用的几个参数值。
流量计算式G=\frac{π r_0²}{8 μ} \cdot (-\frac{dP}{dx})。
在横截面上的平均流速计算式为U_₀ = \frac{r_₀²}{8 μ} \cdot (-\frac{dP}{dx})。
由此可知最大速度与平均速度的关系是U_₀ = U_{max}/2。
通常取管壁与流体间的摩擦切应力系数值\tau_w = -\tau_{rx}(r=r_₀), 由此可得管壁处的摩阻系数\textit{C}_f=\frac{\tau_w}{(1/2) ρ U_₀²}=16/\textit{Re}。
其中\textit{Re}定义为沿程相对数（或称雷诺数），其计算公式是\textit{Re}=(U_₀ d)/ν。

6.3 边界层概念

首先阐述其性质，并介绍其提出于...背景中的相关内容

6.3.1 大雷诺数下物体绕流的特性

1. 理想无黏理论不适用于壁面附近
   壁面附近，必须考虑黏性力的影响。

极小黏性流体在绕流物体时，在其周围仅有一层薄的区域受到黏性影响；而在这该区域以外的地方可以忽略黏性的影响。用传统的无粘流体力学方程来描述流动状态。普朗特将固壁边界附近的这一薄层命名为边界层，并基于大雷诺数条件下该区域极狭窄的事实进行了方程简化，从而导出了普朗特边界的方程。

在大Re条件下物体周围的流场可划分为边界面附近区域及其延伸部分；具体而言，则需分别求解该区域内以及外域区域的具体流动情况并加以组合

6.3 2 层流与湍流边界区

与圆管内的流动类似，在边界层内也存在层流向与涡旋两种类型。对于光滑平板表面的来流若无显著振荡，则在初始阶段平板边界的流动状态是一片稳定的层流向；随着水流向下延伸，在某一区域逐渐变得越来越厚；随后经过一段过渡阶段，在某一时刻将转变成由涡旋组成的湍 flow边界结构

6.3.3 边界层厚度

在边界层与外部无黏流之间界限不明确，在平板边界层外缘处，流向速度u逐渐逼近外流速度Ve。实际上，在y超过某个临界值时（即当y>δ时），u与Ve之间的差异微乎其微。因此通常采用u趋近于Ve的程度作为衡量边界层厚度δ的标准。沿着法线方向向外延伸一定的距离后所确定的点（即流向速度达到外流速度一定百分比的位置），并将其与壁面间的距离定义为边界层的名义厚度。例如，在δ995的情况下（即壁面上流动速度达到外流速度的99.5%的位置），该距离被称为边界层的名义厚度。

随着沿物面流动距离的增加, 边界层厚度逐步增强。这一现象源于流体在沿物面流动时, 接触边 layer内粘性作用的一分子一层流体会持续受到粘性阻力的影响而减速, 因此随着流动路程的增长, 边界 layer会随之变厚。基于这一物理机理, 我们可以通过比较惯性力项与粘性力项的数量级来估算边 layer的厚度范围。具体而言, 惯性力项与粘性力项的数量级分别为ρu·∂u/∂x≈ρV∞^2/l 和 ∂(μ∂u/∂y)/∂y≈μV∞/δ^2 。其中,l 表示沿物面流动的距离参数。当ρV∞^2/l≈μV∞/δ^2 时, 可得δ≈\sqrt{μl/(ρV∞)}=l/\sqrt{Re} 或者 δ/l≈1/\sqrt{Re} 。对于定常层状边 layer, 通过数学推导和实验结果证实了该关系式的准确性; 而对于复杂流动中的湍动边 layer, 其厚度要比定常边 layer大得多, 但相对于流动特征尺度仍然是一个小量, 并且雷诺数对其比值的影响趋势一致: 雷诺数越大, 边 layer与特征尺度的比例越小

3. 边界层位移厚度和动量亏损厚度
   边界层名义厚度δ形象地表明了边界层的存在范围。
   1 . 位移厚度（排挤厚度）
   边界层存在的主要影响之一是将理想无黏流的流线向离开物体壁面的方向推移。这是因为靠近壁面的边界层中流体因粘滞作用而缓慢了，为满足连续方程，流道得扩张，才能让一定量的流体通过，因此无黏流流线向外偏斜。
   对于二维平面流动，从y=0到y=h之间通过x=const的任一站所流过的质量流率为∫(0-h)ρudy。
   若不存在边界层，则有u=Ve和ρ=ρe（下标e代表边界层外缘处），质量流率为∫(0-h)ρeVedy。
   因此，由于边界层的存在所引起的从y=0到y=h间的质量流率的减少为∫(0-h)(ρeVe-ρu)dy。
   该减少的流率在外部无黏流中对应的厚度为δ*=∫(0-h>δ)(1-ρu/ρeVe)dy。
   δ*称为位移厚度或排挤厚度，就是理想无黏流流线被外推的距离。可以说，由于边界层的存在而排挤了厚度为δ*的无黏流体的流量。定义中，由于在边界层之外被积函数接近于零，所以积分上限的选取并不重要，只要保证h>δ就行。
   不可压流的位移厚度为δ*=∫(0-h>δ)(1-u/Ve)dy。
   2 . 动量亏损厚度
   为反映由于边界层的存在而引起的动量流率的变化，人们定义了动量亏损厚度（简称动量厚度）。动量流率为质量流率与单位质量的动量（即速度）的乘积，因此动量亏损为：实际的质量流率与单位质量的动量亏损（=Ve-u）的乘积，而动量厚度则定义为具有此亏损的动量大小的理想无黏流的厚度，即θ=∫(0-h>δ)[(ρu/ρeVe)(1-u/Ve)]dy。
   可见θ的物理意义为：由于边界层的存在而损失了厚度为θ的理想无黏流的动量流率。不可压流的动量厚度为θ=∫(0-h>δ)[(u/Ve)(1-u/Ve)]dy。
   动量厚度反映动量的损失，应与壁面摩擦阻力有直接关系。其实平板受到的摩擦阻力Df就可用动量厚度表示为Df=ρeVe^2θ。
   Df表示从平板前缘（x=0）到x=x1之间平板单位宽度（z方向尺度为1）上所受到的总摩擦力，θ为x1处的动量亏损厚度。
   边界层各种厚度的定义式，既适用于层流也适用于湍流。边界层各种厚度值都是随着流体沿物面流过的路程增长而增加的。

6.4 二维不可压流边界层微分方程

在大Re的情况下（即雷诺数很大），我们可以观察到边界面区域非常狭窄。对于这种情形下的两种不同类型的边界面区域——第一类边界面区域和第二类边界面区域——它们各自具有不同的特性：前者满足δ/l~1/sqrt(Re)的关系式；后者则同样表现出δ/l值较小的特点。进一步地，在这些情况下（尤其是当δ/l远小于1时），N-S方程中的一些项变得极其微小以至于可以忽略不计；这样一来我们就可以直接推导出一种比全规模的N-S方程更为简单的边界面方程式来描述问题的本质特征了）。普朗特最初通过基于雷诺数的无量纲分析来建立边界面方程式；他假设在这一过程中雷诺数是一个主导因素并且将相对较小的部分视为次要因素（例如满足δ/l~1/sqrt(Re)的关系式）。这种方法对于分析确定型的、有序的流动（如第一类边界面区域）是非常适用的；但对于无序的、随机性质较强的第二种流动形式则并不适用

6.4.1 边界层方程的导出

研究二维定常状态下的无外力作用下的不可压流体运动。连续方程为 \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 ；动量方程分别为 u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + v\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\�u^2}{\partial y^2} \right) 和 u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\�p}{\�y} + v\left( \frac{\�^2 v}{∂x^2} + \frac{∂v^2}{∂y^2} \right) ；通过与能量方程分离求解的方式处理了速度场和压力场的问题。

2. 量级分析

3. 平壁面的二维边界层方程组
   根据以上量级分析，将上述方程中具有δ/l量级及更高阶的小量项忽略，得∂u/∂x+∂v/∂y=0、u∂u/∂x+v∂u/∂y=-1/ρ∂p/∂x+v∂u^2/∂y^2、∂p/∂y=0。
   上式及平壁面的定常二维不可压流动的边界层方程组。
   由于∂p/∂y=0，所以可将x向动量方程中的∂p/∂x=0用dp/dx代替以强调p与y无关。并且∂p/∂y=0意味着边界层内某点的压力与同一x位置的壁面处和边界层外缘处的压力均相等，即p(x)=pw(x)=pe(x)。
   pw(x)可以通过试验测得的壁面压力分布数据给出，pe(x)可由边界层外部的无黏流解给出。进一步对外部无黏流体应用伯努利方程，可得dp/dx=dpe/dx=-ρVedVe/dx。
   代入上式可得u∂u/∂x+v∂u/∂y=VedVe/dx+v∂^2u/∂y^2。
   也可将上式联合作为平壁面的定常二维不可压边界层方程组。

4. 曲壁面的二维边界层方程组
   在实际问题中经常遇到物面具有弯曲特征的情况，在这种情况下也可以将平壁面附近的边界层理论推广至曲壁面绕流的问题中。需要注意的是，在分析曲壁面上的边界层时，在x方向上（沿流动方向）建立的动量方程与平壁面的情形完全相同。然而，在y方向上（垂直于流动方向）的情况则有所不同：当物面对应的方向尺度l与该处边界的曲率半径Rc处于同一数量级时，在y方向上的动量平衡方程中会出现由于流体运动引起的离心力影响即∂p/∂y=ρu²/Rc]；
   但是当Rc远大于l即物面对流动方向仅发生微弱弯曲变形时，则可忽略离心力的影响而采用∂p/∂y=0这一简化假设。也就是说，在微弯表面的情况下其边界面附近流动所遵循的基本规律与平直表面的情形具有相似性只是采用了更适合曲线坐标系下的边界面坐标系统进行描述

6.4.2 边界层流动的求解

边界层方程组的主要定解条件如下：
该边界层方程组主要涉及速度分量u和v，并由二阶偏微分方程构成。
具有抛物型的数学特性。
具体而言：
在表面绝对不渗透且无滑移现象的情况下，在y=0处规定u和v均为零值。
在y趋近于δ时设定u等于Ve，在y趋向于无穷大时同样适用。
需要注意的是：
尽管严格意义下y=δ处并不满足u=Ve这一条件，
但根据边界层理论，
我们通常会在y趋向于无穷大时提出此边界条件，
因为此时流体已经渐近地过渡为外部无黏流状态，
因此在y=δ附近与无穷远处的速度差值非常小，
所以两种提法本质上没有本质区别。
此外：
在特定起始截面上设定速度分量u的具体数值，
即x=x₀截面上给出u=f(x₀,y)。

2. 边界层流动求解步骤
   第一步，在忽略边界层及其后迹的影响下，计算出物体表面附近无粘性流的速度分布Vw(x)。由于边界层非常薄，在计算过程中可将其视为边界层外缘的速度分布状况Ve(x)=Vw(x)。
   第二步，在已知外部无粘性流的速度场基础上（即Ve(x)），通过求解由上述方程构成的边界层方程组组成了内部流动的运动学特征：速度场u=u(x,y)，v=v(x,y)。
   第三步，在获得速度场u=u(x,y)后，在壁面处（y=0）计算得到剪切应力分布τw(x)=μ(∂u/∂y)|_{y=0}。
   有了τw(x)随x变化的分布特性后，则可以通过积分运算得出物体所承受的总摩擦阻力值。需要注意的是：在实际应用中必须明确以下几点：
   第一，在求解边界层方程时需要预先知道外部无粘性流在边界面处的压力梯度特征；
   第二，在此过程中所采用的理想流体绕流模型实际上已经转化为一个等效物体（其比原物厚了一个δ*量级），因此必须考虑到这种修正带来的影响；
   第三，在应用过程中必须严格遵守适用范围的要求：当雷诺数较小时（即δ/l较大时），由于误差积累可能导致结果失准；而在发生流动分离现象后，则完全无法应用该方法。

3. 边界层方程求解方法

6.5 边界层相似即平板边界层的相思解

流动相似即指两种不同的流动具备相同的无量纲解特征。
某些特殊的边界层流体会表现出自相似特性，在经过适当坐标变换后同一流体在不同位置处的解分布呈现出类似模式。
例如，在平板边界层中观察到的现象就属于这类自相似现象的一种实例。

6.5.1 边界层相似的概念

以二维定常不可压流的层流边界层方程为例分析，在已知运动粘度ν以及给定外缘速度分布Ve(x)的情况下研究边界层内流动特征时发现：其解u和v通常会随x和y方向的变化而呈现不同的空间分布规律，并且在同一固定x值对应的流动截面上测得的速度分布呈现差异性特征即对于任意两个不同的x位置点如x₁与x₂而言有u(x₁,y)≠u(x₂,y)等性质成立

所有情况下，在壁面处速度为零并同时满足在边界层外缘处达到外流速Ve的要求这一共同特点表明这些流动场具有类似的起点条件

基于不同x位置处的局部边界层厚度δ(x)，我们可以通过无量纲化处理对y方向进行尺度标准化从而定义出一种新的无量纲法向坐标变量η=C·y/δ(x)，其中C是一个常数参数

6.5.2 法沃克纳-斯坎变换

边界层厚度随着沿流动方向的发展，在距前缘距离x的位置其值为δ(x)~x/sqrt(Rex)=x·sqrt(v/Vex)=sqrt(vx/Ve)。
定义相似参数η为η=y·sqrt(Ve/vx)并引入无量纲坐标ξ=x。
前两式即构成法沃克纳-斯坎变换（简称F-S变换）的基本关系式。该变换在二维流动分析中具有重要意义。
应用F-S变换可将原始偏微分方程组转换为关于(ξ,η)的一阶偏微分方程组。对于满足特定条件的流动问题，在转换后的坐标系中其解仅依赖于η变量而与ξ无关，从而可将其转化为仅含一个自变量的常微分方程进行求解。这类自相似流动的例子包括当速度分布满足Ve=Cx^m（其中C,m为常数）且壁面处法向速度为零时的情形。
对于一般情况下的流动分析，在应用F-S变换后仍需处理偏微分方程组；尽管如此，在新的坐标系中解的变化速率较慢（即满足|∂/∂ξ|η<|∂/∂x|y），这使得数值求解时在ξ方向上的步长选择具有一定的自由度。

6.5.3 平板边界层方程的相似变换

无限延伸的平面平板上形成的层状边界层流动是最简单的自相似解，在应用Ferrari-Salvetti变换后，在(ξ,η)平面中建立了平板边界层方程

基于物理平面的流动情况

对平板边界层流动的问题进行分析时发现：当考虑边界层外缘速度为Ve=V∞的情况，则基于F-S变换的两个坐标系(x,y)与(ξ,η)之间的转换关系被重新定义为ξ=x而η=y√(V∞/vx)。在此新坐标系下需定义一个无量纲化的流函数g(ξ,η)，以便实现原始流函数方程组的转换过程。由于原始流函数Ψ(x,y)的存在及其物理量纲属性[速度][长度]的影响，则可构造出一个无量纲化的流函数g(ξ,η)=Ψ(x,y)/(V∞√δ)，其中δ代表边界层厚度并满足δ~x/sqrt(Rex)=sqrt(vx/Ve)的关系式。通过这种转换关系式即可将原始的速度场(u,v)与流函数Ψ(x,y)间的偏微分方程组转化为仅依赖于无量纲化变量f(η)的一阶常微分方程组形式：2f''' + f·f'' = 0即为著名的布拉休斯方程。根据固壁边界条件以及新的坐标转换关系式可得出该问题对应的边值条件即为：当y=0时u=v=0对应于f'(0)=0及f(0)=0；而当y=δ时u=Ve对应于f'(η→∞)=1等约束条件得以满足

6.5.4 平板边界层的布拉休斯解

因方程的非线性特性，布拉休斯方程至今尚未获得严格的解析解。早期学者采用级数展开的方法进行求解研究；随后Runge-Kutta方法被用于获得数值解。

布拉休斯展开式f(η)=A0+A1η+A2/2!·η²+···+An/n!·ηⁿ+···中定义了函数形式（其中Ai为待定常数）。将其代入方程组及边界条件后可获得数值表格。

平板的切应力及摩擦系数即摩阻系数可通过f''(η)计算∂u/∂y，并得出平板壁面处的切应力值：τ_w(x) = 0.332μV_∞·√(V_∞/v_x)
其中，在该处表面所对应的摩阻系数定义为C_f = 0.664/sqrt(R_e,x)，
其中R_e,x定义为基于局部x坐标的雷诺数R_e,x = V_∞x/v称为局部雷诺数。
将局部壁面处的切应力沿流动方向积分，则可获得长度为L且单位宽度下平板所承受的总摩擦阻力D_f = 0.664√(μρLV_∞³).
其中L是从平板前端开始测量的有效长度参数。由此可计算出平板表面处的平均摩擦阻力系数：C_D,f = 1.328/sqrt(R_e,L).
其中R_e,L是基于整个板长所定义的整体雷诺数。

3. 平板边界层厚度
   通过分析f(η)及其导数f’(η)和f''(η)，可以得出平板边界层不同位置的厚度参数。
   1 . 边界层名义厚度为\delta_{995} = 5.3\sqrt{\dfrac{vx}{V_\infty}} = \dfrac{5.3x}{\sqrt{Re_x}}。
   可以看出\delta(x)与\sqrt{x}呈正比关系，并随着x的增长而增大。
   2 . 位移厚度为\delta^* = \dfrac{1.72x}{\sqrt{Re_x}}。
   3 . 动量亏损厚度为\theta = 0.664 \cdot \dfrac{x}{\sqrt{Re_x}}。

6.6 动量积分方程及平板边界层的近似解

动量积分方程是一种在工程领域被广泛应用的边界层方程近似解法；这种分析方法适用于一般性的边界层流动问题，并无需考虑流动相似性。

6.6.1 卡门动量几份方程

动量积分方程的推导

2. 动量积分方程的解法
   因导出过程未引入任何假设，所以方程的精度没变。但动量积分方程中含有三个未知量，只能将动量积分方程法归于近似解法。该近似解法并不要求边界层内每一点都满足边界层方程（原偏微分方程组），而是只要在积分意义上满足边界层方程（动量积分方程）。
   给定边界层的速度分布：u/Ve=φ(y/δ)。
   动量积分方程就只是一个未知量δ的常微分方程，很容易求解。
   动量积分方程法的近似精度，依赖假定的速度分布式和实际速度分布之间的符合情况。在选取速度剖面时，首先要满足严格规定的边界条件，此外还要尽可能反映真实速度剖面的主要特性，亦即边界处的各处导数。
   在不可渗透壁面上，首先要满足无滑移条件，即y=0：u=0，v=0。
   一阶导数为∂u/∂y|y=0=τw/μ(未知)。
   二阶导数可根据边界层的动量方程及无滑移条件得∂^2u/∂y^2|y=0=-Ve/v·dVe/dx。
   还可将上式对y微分，并联合连续方程进一步得∂^3u/∂y^3|y=0。
   在边界层外边缘上，黏性流与外部无黏流衔接，它们的速度函数和各阶导数都相等，则y=δ：u=Ve，∂^nu/∂y^n|y=0，n=1,2,3···。
   在上述边界条件中，y=0：u=0，v=0和y=δ：u=Ve，∂^nu/∂y^n|y=0，n=1,2,3···是必须满足的严格边界条件。此外，越靠前的低阶导数条件，应该首先满足。如果选定的速度剖面满足上式中的主要边界条件，就表明它在物体壁面和边界层外缘附近都和真实的速度分布接近。

6.6.2 平板边界层的动量积分方程解法

考虑最简单的情况：在平板上分析其流动特性。阐述其求解过程，在该情况下，在整个平板区域中边缘速度分布函数Ve(x)恒等于自由流速V∞且其沿平板方向的速度梯度处处为零。动量积分方程表示为dθ/dx=τw/(ρ V∞²)。式中所涉及的动量亏损厚度θ和壁面切应力τw均为未知函数

在边界层理论中, 速度分布剖面通常通过多项式近似来描述. 例如, 我们可以假设速度剖面形式为: u/V∞ = A₀ + A₁·(y/δ) + A₂·(y/δ)² + A₃·(y/δ)³. 这一表达式包含4个待定系数, 它们必须满足严格的边界条件方程组. 具体来说, 这些条件分别为: A₀ = 0；A₁ = 3⁄₂；A₂ = 0；A₃ = -1⁄₂. 因此, 速度分布最终确定为: u/V∞ = (3⁄₂)·(y/δ) - (1⁄₂)·(y/δ)³. 在这种情况下, 动量亏损厚度 θ 的计算结果为 θ = 39 δ / 280. 同时, 表面切应力 τ_w 可表示为 τ_w = (3⁄₂) μ V∞ / δ. 可见，在该速度分布模型下, 动量积分方程中的 θ 和 τ_w 均可用位移厚度 δ 来表示.

通过动量积分法进行求解
对于常微分方程组13/140δdδ=μ/ρV∞·dx而言，在初始条件下当x=0时, δ值为零。
对上述方程进行积分运算后得到δ(x)=4.64x/sqrt(Rex)，这一结果与布拉休斯精确解之间的差异较小。
在此基础上, 计算出单位宽度且长度为L的一侧平板所受的摩擦力大小为Df=1.296/(sqrt(ReL))×½ρV∞²L。
由此可得该平板的摩阻系数CD,f=Df/(½ρV∞²L)=1.296/sqrt(ReL)。
将其与布拉休斯精确解进行对比分析后发现, 在大多数工程应用中, 采用动量积分法所得的结果具有较高的准确性。

6.7 边界层分离

在非流线型物体周围流动的流体中，在其后方通常会形成尾涡区并导致显著的旋涡阻力

6.7.1 圆柱绕流的分离过程及物理解释

以圆柱体等非流线型物体的绕流为例阐述边界层分离现象发生的机理。在理想流体的情形下，在OM区间内微团经历了加速伴随降压的过程；而在MF区间则经历的是相反的过程：即在这两个区间的对应位置上所测得的压力值相仿。根据已知条件指出，在物面邻近区域（即OB面上）的速度场中存在明显的分层特征：速度梯度较大且方向指向物面内部。具体而言，在OM区间内壁面附近底层的速度场呈现逆时针旋转特征；而到了MF区间则呈现出顺时针旋转的特点。

6.7.2 逆压力梯度与速度剖面的关系

以曲面上的边界层流动为例。根据层流边界层的动量方程，在物面上（u=0, v=0）处有：μ·∂²u/∂y²|_{y=0} = dp/dx。

1. 顺压力梯度区，dp/dx<0。压力梯度推动质点加速作用强于物面和流体的黏性滞止作用，整个边界层内的质点沿正x方向（主流方向）运动，速度剖面是一条没有拐点的向下游凸出的光滑曲线。
2. 压力极小值区，dp/dx=0。外部无黏流速度的极大值点，边界层速度剖面在壁面上形成一个拐点，速度剖面保持为凸的。
3. 逆压力梯度区，dp/dx>0，边界层内部出现拐点。在逆压梯度的起始阶段，壁面附近的流体质点还能保持沿正x向运动，仍有壁面附近速度剖面的形状出现内凹。若沿流动方向压力继续增大，逆压力梯度和壁面摩擦都使质点进一步减速，有可能产生S点。S点就是分离点，物面上切应力为零的点，紧邻壁面的顺流和倒流流体的分界点。
   普朗特将∂u/∂y|y=δ=0作为二维定常绕流边界流动分离的判据，并推断出分离只能在逆压梯度区发生。

6.7.3 分离发生的必要条件

边界层分离是由逆压力梯度与壁面邻近的黏性阻滞相互作用所导致的结果。两者缺一不可。如果仅有壁面附近的黏性阻滞而无逆压力梯度，则无法实现流动分离而导致流体不发生反推运动。另一方面，在仅有逆压力梯度作用而缺乏壁面邻近粘性阻力的情况下也不会形成流动分离现象。

6.8 湍流的雷诺方程和相关概念

6.8.1 湍流平均运动及平均运算

在湍流运动中，流体的速度、压力等物理量在时间和空间维度上呈现高度不规则、剧烈波动的特性

注：改写过程中仅对语言表达方式进行了调整包括：

1. 将"因为准确描写..."改为"雷诺首先转而研究..."
2. 调整了"确定均值的办法有..."语序
3. 将"点r处变量q的时间..."表述更为规范
4. 增加了"满足条件"的具体说明
5. 使用了更专业的术语如"统计平稳状态"
6. 保持了数学公式的原样并适当扩展了相关解释

6.8.2 不可压湍流平均运动的质量方程和动量方程

质量方程
不可压连续性方程为incompressible continuity equation is represented by ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0。这种方程适用于层流与湍流两种情况。对于湍流流动，在瞬时速度中加入均值速度与脉动速度分量之和的关系式后得到(∂U/∂x + ∂u'/∂x) + (∂V/∂y + ∂v'/∂y) + (∂W/∂z + ∂w'/∂z)的形式。
对上述等式取平均值，并应用脉动量平均运算的基本关系式，则进一步简化为∂U/∂x + ∂V/∂y + ∂W/∂z = 0的形式。
所得结果即为不可压缩湍流流动中均值运动所遵循的质量方程。

以x方向的动量方程为代表来进行推导

3. 雷诺 应力
与真实流动（瞬时状态）所具有的动量进行比较，在湍流平均运动 的 动 量 方程 中 新增 了一 主要 项 ，这 个 主 要 项 可 表示 为 张 亮形 式 ，并 拥有与 剪 切 应 力 相 同 的 通 性 ， 因此 得名 雷 小 应力 。从这一角度来看，在微团表面除了压力以外，在微团表面还作用着两种类型的表层力：分子粘性力 和 雷 小 应力 。通常在大多数流动区域中 ， 雷 小 应力 的 数值远高于分子粘 性 应力量级 ， 这使得 分 子 粘 性 力 在 许 多 实际 情况 下 可以 忽略 不 计 。

按照雷诺将瞬时运动分解为平均运动与脉动运动之和的方法,确实能够将平均运动从瞬时运动中分离出来,或者说将脉动运动对平均运动的影响分离出来。然而,这种分解方法也带来了新的挑战,即方程组的封闭性问题。原本保持良好状态的方程组,在经过这种分解后不再保持良好的封闭状态。为此,必须在雷诺应力与平均速度之间建立补充的关系式。为此,可采用两种不同的方法来实现:一是基于湍流统计理论的方法;二是基于半经验型理论的方法。

6.8.3 雷诺应力的物理意义及混合长度理论

雷诺应力所代表的意义

雷诺应力与平均变形关系之间存在涡粘性系数这一特定关系。在流体动力学中，分子粘度与剪切应力之间的关系如下所示：采用τ_l = μ ∂u/∂y = ρv ∂u/∂y的表达方式。其中下标l代表层流状态。布森涅斯克首次提出了一种假设性的涡粘性系数εm，并根据平均速度来推导湍流应力（即后来通称的雷诺应力）：τ_l=-ρu'v'=-ρεm·∂U/∂y=μt·∂U/∂y。其中下标l代表层流状态。εm称为涡粘性系数或层流修正粘性系数（英语中常用μ_l表示），其具有与分子运动黏度相同的量纲维度（ν）。需要注意的是，在流动分析中区分清楚两种不同概念：一个是物理上的流动特性参数——涡粘性系数εm；另一个是反映物质物理特性的基础参数——分子运动黏度ν=μ/ρ（或是运动粘滞系数）。对于大多数实际流动情况来说，在不同位置上都会有不同的εm值出现。

3. 普朗特混合长度理论
   普朗特混合长度理论是最初处理雷诺应力的理论。仍以湍流的脉动运动为例。
   由于湍流旋涡作用，流体微团将上下跳动。由于微团的流向速度不会立即改变，到达新位置后它会低于当地周围的平均速度，此即流向脉动速度：u'=U(y1)-U(y0)。
   显然此速度差取决于当地的平均速度梯度与微团y向跳动的距离l，即u'=l∂U/∂y
   此l即为混合长度，它表示这样的距离，在此距离内微团沿y向跳动时基本不会丧失其原有速度，而在移动距离l后，微团便与其他流体微团相混合，改变了原有的流速。
   单位时间内进入单位面积y=y0界面的质量为|ρv'|。实际测量表明，流向脉动速度和横向脉动速度有相同量级，即可设|u'|≈|v'|，因此有|v'|≈lc
   结合上文，有-ρu'v'-=ρl^2|∂U/∂y|∂U/∂y
   这就是按混合长度理论计算雷诺应力的公式。
   由此可算出涡黏度为εm=l^2εm。
   由上式可见，若假设l不随速度变化，则可得出雷诺应力与平均速度平方成比例的结论。
   实际上，混合长度l仍是与流动有关的未知量，不过基本上是当地状态的函数。
   对于二维壁面剪切湍流，混合长度l有以下经验公式：
   1 . 非常靠近壁面区：l~y^2
   2 . 适度靠近壁面区：l~κy，κ=0.4~0.41
   3 . 远离壁面区：l≈0.075~0.09δ，δ为边界层厚度

6.8.4 平板湍流边界层流动特性介绍

基于湍流模型解决封闭性问题时，则可以通过数值模拟或近似方法对雷诺方程进行处理以获得湍流状态下的流动特性分析。本文将简要阐述平板湍流边界层的相关流动特性，并提供近似解的经典结果作为参考依据。

研究不可压定常流动在光滑平板表面附近的特性时发现：当雷诺数足够大时，在平板表面形成三个不同的流动区域。从平板前端开始第一个区域（当Re_x处于0到 Rex_tr之间时）呈现为层流状态或带有微小不稳定性波的层流向状态；随着流向下游发展第二个区域（当 Rex处于 Rex_tr到 Rex_t之间时）并最终完成从层流向完全湍flow状态转变的过程；第三个区域（当 Re_x超过 Rex_t时），流动状态已完全转变为完全turbulent状态。

2. 平板湍流边界层特性估算结果
   通过对平板湍流边界层微分方程沿边界层厚度方向积分，可以导出与层流边界层形成完全相同的动量积分方程：dθ/dx=Cf/2。
   只是计算式中的动量亏损厚度和摩阻使将层流情况的速度改为湍流运动的平均速度即可。引入湍流边界层平均速度分布关系式后，即可求解动量积分方程得到近似解。基于速度剖面的指数律假设式和壁面切应力的布拉休斯经验关系式的方法介绍如下：
   架设速度分布式为U/V∞=（y/δ)^(1/n)。
   n为常数，通常取为7。根据位移厚度δ*和动量厚度θ的关系式δ*/δ=1/n+1=1/8，θ/δ=n/(n+1)(n+2)=7/72。
   壁面摩阻也可以由布拉休斯得到的关于光滑圆管湍流的经验关系式导出：Cf/2=0.0225(v/V∞δ)^1/4。
   将θ/δ=7/72代入动量积分方程，得7/72·dδ/dx=0.0225(v/V∞δ)^1/4。
   上式为边界层厚度δ(x)的微分方程。假定从平板前缘开始即为湍流边界层，当x=0时，δ=0，积分此式得δ/x=0.37/Rex^(1/5)。
   从而得θ/x=0.036/Rex^(1/5)，Cf=0.059/Rex^(1/5)
   进一步对Cf积分求得长度为L、单位宽度平板的平均摩擦阻力系数CD,f=0.074/ReL^(1/5)。
   由上式可见，边界层的各种厚度比层流边界层厚度增长速度快得多。