空气动力学（笔记自留）-第七章（文末附彩蛋）

第七章 翼型与细长旋成体起动特性的近似计算方法

本章介绍飞行器典型部件模型的气动特性近似计算方法。

7.1 翼型的几何描述与空气动力系数

当飞机机翼呈翼型构造时

7.1.1 翼型的几何参数

根据飞行速度的不同，在不同飞行状态下机翼形状有所变化。上下表面由特定曲线相连形成有机整体结构，在工程计算中通常采用弦线作为基准线（x轴）。上下表面型线方程分别为上表面：yu=yu(x)，下表面：yl=yl(x)；其中上表面与下表面y坐标差的一半定义为机翼厚度函数yt(x)=1/2·(yu-yl)；而上下面纵向差的最大值即为机翼最大厚度t值，并以弦长c作为基准进行相对化表示t-=t/c=2ytmax/c；同时上下表面沿垂直方向高度中点连线构成了机翼中弧线；当该中弧线与弦线重合时属于对称机翼；若呈曲线则说明存在弯曲程度；其弯度函数定义为yf(x)=1/2·（yu+yl）即上下两型线上各对应点平均后的高度分布情况；特别地，在中弧线上最高位置处对应的y坐标值被称为机翼弯度f值，并同样采用与其弦长的比例关系来表征相对弯度f-=f/c=yfmax/c

7.1.2 NACA系列翼型

常被用作理论及试验分析的参照标准。

7.1.3 翼型的空气动力系数

将翼型周围的气流流动视为平面流动的基础上进行研究

对于给定迎角α的情况下

作用于机翼表面的总升力矩则由这三个分量共同决定

其中俯仰力矩通常用于描述飞机的姿态

2. 压力中心
   若绕参考点产生的合力矩等于零，则称该特定位置为空气动力学的压力中心（亦即翼型所受空气动力合力的作用线通过此位置）。其中xcp代表压力中心至前缘的距离。以翼型前缘作为基准点时（即取参考系原点位于翼型前缘），其空气动力学总合可视为由该作用点施加的法向分量N、切向分量A以及相应的弯矩MLE（即升阻比）。
   根据上述关系可得：-M_{LE} = x_{CP} \cdot N ，因此 x_{CP} = -\frac{M_{LE}}{N} 。
   在小角度攻角情况下（即 \sin \alpha \approx 0 且 \cos \alpha \approx 1 ），则有 x_{CP} = -\frac{M_{LE}}{L} 。

3. 空气动力系数
   工程中常用无量纲的空气动力系数，翼型的空气动力系数定义如下：
   1 . 升力系数：CL=L/q∞c=L/1/2·ρ∞V∞^2c
   式中，ρ∞、V∞分别为飞行器远前方未经扰动的自由流密度和速度；q∞=ρ∞V∞^2/2称为动压，是单位体积的自由来流动能；c为翼型弦长。
   2 . 阻力系数：CD=D/1/2·ρ∞V∞^2c。
   3 . 前缘俯仰力矩系数：CM,LE=MLE/1/2·ρ∞V∞^2c^2。
   对其他参考点的俯仰力矩系数定义类似。
   试验表明，对于给定集合形状的翼型，气动力和力矩是自由流速度、密度、黏度、翼型弦长、迎角的函数。根据量纲分析，可得气动力系数为雷诺数Re、马赫数Ma和迎角α的函数 ，CL=fL(Re,Ma,α)，CD=fD(Re,Ma,α)，CM=fM(Re,Ma,α)
   对于低速翼型绕流，空气的压缩性可忽略不计，空气动力系数实际上是来流迎角α和雷诺数Re的函数。对升力问题又可略去黏性的影响时，升力系数将只是迎角α的函数。对于高速流动压缩性的影响必须计入，因此马赫数Ma也称为主要的影响变量。上式中的函数具体形式可通过试验或理论分析进一步给出。

7.2 低速翼型的薄翼理论与气动特性

翼型升力与绕流环量之间的关系遵循儒科夫斯基定理：F=\rho V_{\infty} \times \tau。
绕翼型的环量由翼型几何形状及自由流速共同决定，并基于将其变换为圆形解析状态的方法确定。
本节将探讨另一种计算低速翼型气动特性的方法，该方法专门针对薄翼型——即厚度与弯度均较小的翼型。
当理想不可压缩均匀流以小角度绕流这类薄翼型时，在整个流场与均匀流动之间存在显著差异。由于薄翼型的存在可以被视作对均匀流动的一种小扰动作用，则可认为绕薄翼型的整体流场是由均匀流动基础上叠加一个小扰动流场所形成的。
由于低速绕流的速度场满足拉普拉斯方程特性以及线性叠加原理，则在小扰动条件下考虑边界条件的变化时也具有线性可叠加性；因此，在分析这种情况下影响因素时可以直接将弯度、厚度及迎角的影响分开处理后再进行叠加。
这种方法统称为"薄翼理论"。
相比之下，在运用保角变换法计算气动特性时，则需综合考虑厚度与弯度的影响而不再单独限制厚度大小的情况；此时被称为"厚翼理论"。

7.2.1 薄翼型绕流的扰动速度势及其分解

将原点定在翼型前缘点处，并使x轴沿翼型弦线延伸，则形成体轴坐标系。记绕流场的速度势函数为Φ，并将其分解为Φ=Φ∞+φ。其中，Φ∞代表速度大小为V∞、与弦线夹角α的匀速直线流的速度势函数：Φ∞=(V∞cosα)x+(V∞sinα)y；而φ则表示该绕流场相对于匀速直线流所引入的速度势变化量（即扰动速度势），因此全速度势Φ=Φ∞+φ也被称为总速度势。由于均匀直线流的速度场是无旋无源的流动状态，在这种情况下拉普拉斯方程成立：∂²(Φ∞+φ)/∂x² + ∂²(Φ∞+φ)/∂y² = 0。另一方面，在均匀直线流的情况下拉普拉斯方程同样成立：∂²Φ/∂x² + ∂²Φ/∂y² = 0；由此可得：∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² = 0。这表明扰动速度势也满足拉普拉斯方程，在这种情况下具有叠加性质特征。具体而言，在无弯度薄板、有厚度对称翼型以及具有迎角平板等典型形状下产生的小扰动速度势均满足拉普拉斯方程条件；因此它们的总和也必然满足同样的条件

2. 翼面边界条件的线性化近似
   薄翼型绕流的速度为：u=∂(Φ∞+φ)/∂x=V∞cosα+∂φ/∂x，v=∂(Φ∞+φ)/∂y=V∞sinα+∂φ/∂y。记∂φ/∂x=u'，∂φ/∂y=v'为扰动速度。则在小迎角下，速度为u≈V∞+u'，v≈V∞α+v'。
   理想无黏假设下，翼面的边界条件为翼面上流体速度与翼面相切且，即dyw/dx=vw/uw=V∞α+vw'/V∞+uw'。式中，下标“w”代表壁面。
   上式整理为：vw'=V∞dyw/dx+uw'dyw/dx-V∞α
   对于薄翼型，翼型的厚度和弯度都很小，上式只保留一阶小量后成为vw'=V∞dyw/dx-V∞α。
   根据各方程及函数可得yw|ul=yf±yt。
   对于翼面边界条件可进一步写为vw'|lu=V∞dyf/dx±V∞dyt/dx-V∞α。
   也可以采用速度势φ的偏导数表达为：∂φ/∂y|yl-yu=V∞dyf/dx±V∞dyt/dx-V∞α

3. 薄翼型绕流的分解
   无厚度弯板形状yf(x)，由具有厚度且对称分布的翼型±yt(x)以及迎角为α的平板所产生的小扰动速度势场分别为φf、φt、φα，在各自翼面的边界条件分别为：
   \left.\frac{\partial \phi_f}{\partial y}\right|_{y=y_f} = V_\infty \frac{dy_f}{dx}, \quad \left.\frac{\partial \phi_t}{\partial y}\right|_{y=y_t} = \pm V_\infty \frac{dy_t}{dx}, \quad \left.\frac{\partial \phi_\alpha}{\partial y}\right|_{y=0} = -V_\infty \alpha
   当yf、yt以及α均为较小量时，在yu和yl处满足：
   \left[\frac{\partial (\phi_f + \phi_t + \phi_\alpha)}{\partial y}\right]_{y=y_l - y_u} = V_\infty \frac{dy_f}{dx} \pm V_\infty \frac{dy_t}{dx} - V_\infty \alpha
   通过比较可以看出，在薄翼型物面上（即具有相同弯度、厚度和迎角），上述三个流动产生的总扰动速度势场（\phi_f + \phi_t + \phi_\alpha）与具有相同几何特性的薄翼型绕流所对应的扰动速度势场\phi满足相同的边界条件。同时已知\phi_f + \phi_t + \phi_\alpha满足拉普拉斯方程，则可确定该叠加即为薄翼型物面的扰动速度势场：

\phi = \phi_f + \phi_t + \phi_\alpha

这样就将总扰动速度势场分解成了无厚度弯板流动、具有厚度对称分布翼型流动以及具有迎角平板流动三种不同流动形式的叠加结果。相应地其总扰动速度场也分解成了这三种不同流动形式所产生的扰动速度场叠加的结果。

对压强系数Cp的线性化近似及其分解进行分析，在理想流体、不可压缩且无旋的情况下

5. 小结
   综上所述，在分析小迎角薄翼型不可压绕流时，基于扰动速度势方程的线性叠加特性以及y方向扰动速度和翼面压强系数的线性叠加特性等原理的基础上，我们可以将复杂的问题分解为三个基本势流的问题：即
   薄翼型绕流=中弧线弯曲问题+平板厚度问题+平板迎角问题
   其升力和力矩都可以通过线性叠加的方式进行计算。
   作用在薄翼型上的升力和阻力特性由弯度、厚度以及迎角等因素共同作用产生。其中由于翼型对称性原因，在平板厚度影响下不会导致升力和阻力的变化。而弯度和平板迎角的影响则会导致上下表面存在静压差从而产生升阻比的变化情况。
   因此，在分析小迎角的薄翼型绕流时：首先将复杂的问题拆解为三个基本势流；分别分析各势流的影响；最后综合考虑各因素对升阻比的影响即可得到结论

7.2.2 迎角-完蛋问题及其求解

儒科夫斯基定理表明，在机翼表面产生的升力与其周围的流动环量之间存在直接关系。同时可以看出，在能够产生升力的情况下必然伴随有流动中的环量存在。具体来说，流动中的环量可以通过引入点涡模型来描述。进一步而言，在应用基本解叠加法时可以简化计算过程，并且在这种情况下我们就可以通过若干点涡流场的线性叠加模拟出相应的机翼绕流场

在薄翼理论中,能够产生升力的曲面体（具有角度朝向的表面）或具有角度朝向的平板,采用中弧线上分布的小型旋涡来模拟其作用效果。其中,设γ=γ(s)表示局部单位长度上的环量强度,ds段上的总环量则为γ(s)ds。当弦高较小的时候,可以在中弧线上分别设置旋涡,使得其对弦线上的旋涡分布的作用效果与实际相同。因此,此时可简化为γ=γ(ξ),而整个机翼的整体环量则由积分τ=∫(0-c)(γ(ξ)dξ)给出,c代表机翼弦长。一旦确定了环流量就可以计算出升力值,由此可见,核心问题在于确定沿弦线分布的环量强度γ(ξ)的具体数值分布情况。

2. 确定涡强γ(ξ)分布的积分方程
   ∫(0-c)[γ(ξ)dξ/2π(ξ-x)]=V∞(dyf/dx-α)
   此即关于涡强γ(ξ)的积分方程。

3. 确定涡强γ（ξ）在不同条件下的分布情况
   通过三角级数方法解决积分方程问题。首先进行变量替换，设定ξ = c/2·（1 - cosθ）。
   在此基础上，在x上也进行了类似的变换：x = c/2·（1 - cosθ）。
   进而得到关于γ（θ）的积分方程：-∫（0到π）[Γ（θ）sinθ dθ / 2π（cosθ - cosΘ）] = V∞(dyf/dx - α）。
   假设Γ（θ）可以展开成傅里叶级数形式：Γ（θ）= 2V∞[A0cot（θ/2） + ∑An sinnθ]。
   将上述展开式代入后得到系数An的表达式：A0 = α - 1/π · ∫（0到π）dyf/dx · dΘ；
   An = 2/π ∫（0到π）dyf/dx · cosnΘ dΘ

7.2.3 薄翼型的升力和力矩

设定一个轻质叶片均布弧线数学模型：y_f = y_f(x)。通过求解该方程得到旋流强度分布\gamma(\theta), 进而计算该叶型产生的升力系数和矩量特征。

通过计算环量来确定升力是一种常用的方法，在流体力学中对此进行了详细研究并得出了相关结论

基于涡强分布计算前缘俯仰力矩时（定义抬头方向为正），其计算公式可表示为M_{LE} = -\frac{\pi}{4}\cdot \rho V_{\infty}^2 c^2 (A_0 + A_1 - \frac{A_2}{2})；相应的俯仰力矩系数则可表示为C_{M,LE} = -\frac{\pi}{2} \cdot (A_0 + A_1 - \frac{A_2}{2})；通过引入升力系数表达式，则可将俯仰力矩系数进一步简化为C_{M,LE} = -\frac{C_L}{4} + \frac{\pi}{4} \cdot (A_2 - A_1)；其中\frac{\pi}{4}\cdot (A_2 - A_1)这一项仅与翼型弧线形状有关而不受驻流角变化影响；当升力为零时仍存在该部分作用量（称为零升情况下的余阻），其余阻系数C(M, L=0)可由下式计算：C(M, L=0) = \frac{1}{2}\int_{-π}^{π}\frac{dyf}{dx}\cdot (\cos 2θ - cosθ)dθ；因此，在考虑迎角（或升力量）影响时有以下关系成立：C(M, LE) = C(M, L=0) + (-\frac{C_L}{4})；特别地，在某个特定点处取距时（此处定义翼型气动中心位置），其距值仅与零升情况相关而不随迎角变化；具体而言，在位于弦长四分之一处的位置取距得到的距值系数记作C(M, c/4}；此时有关系式：C(M, c/4) = C(M, LE) + \frac{C_L}{4} = C(M, L=0)；由此可见，在四分之一弦长点处取距所得的结果即等于零升情况下的余阻作用量，并且与迎角无关；这表明薄翼理论分析结果表明：翼型气动中心位于四分之一弦长位置处

7.2.4 实用低速翼型的气动力特性

该理论未考虑气体粘性的影响，在特定几何条件下（如薄而平滑的形状），将流场扰动简化为小扰动模型。该理论无法直接表征飞行器阻力特性，在实际应用中需根据计算结果进行适当调整。

1. 升力特性
   翼型的升力特性通常指升力系数与迎角的关系曲线。
   在小迎角下升力线斜率dCL/dα近似为常数，升力系数与迎角呈线性关系：CL=dCL/dα(α-α0)
   升力系数达到最大值后，迎角继续增大引起升力系数下降，这一现象称为翼型的失速。CLmax对应的迎角称为失速迎角。因此，确定升力特性曲线的三个参数是升力线斜率、零升迎角和最大升力系数（失速迎角）。
   升力线斜率与Re数关系不大，主要与翼型的形状有关。对翼型的理论值为2π，厚度的理论值>2π（随厚度和后缘角的增加而增大）。由于未计入黏性的影响，试验值小于理论值。对于平板，有dCL/dα=0.9×2π。
   NACA翼型的升力线斜率与理论值较接近。经常用到的一个经验公式为dCL/dα=0.9×2π(1+0.8t-)
   零升迎角主要是与翼型弯度有关，NACA四位数字翼型的零升迎角为α0=-f-×100(°)
   最大升力系数主要是与边界层分离有关，取决于翼型的集合参数、Re数、表面光洁度。常用低速翼型的最大升力系数为1.3~1.7。

2. 翼型的纵向力矩特性、压力中心与气动中心
   翼型纵向力矩特性可用表示为迎角或升力系数变化时的力矩系数曲线来描述。例如，在小迎角范围内，如CM,LE-CL曲线所示，在小迎角下CM,LE-CL曲线的斜率大致保持恒定：CM,LE=CM,L=0 + (dCM,LE/dCL)·CL
   正弯度翼型具有零升力点前缘力矩系数小于零的特点，则可见其压力中心位置相对靠后。
   气动中心被定义为其对应产生的俯仰力矩与迎角α无关的那个参考点，并被称为焦点。以弦长无量纲化后的气动中心位置记作xac，则其对应的无量纲化气动中心位置可由以下公式计算：CM,ac = CM,LE + xac·CL
   进一步推导可得：CM,ac = CM,L=0 + (xac + dCM,LE/dCL)·CL
   由于气动中心所受之总升力不影响其位置，则可知其对应的升阻比恒等于零：CM,ac = CM,L=0 = 0
   由此可得无量纲化气动中心位置坐标值：xac = -d(CM,le)/d(α)
   基于此可知：在考虑升阻比影响的情况下，正弯度翼型的压力中心位置位于气动中心之后的位置上。

3. 翼型的阻力特性与极曲线
   翼型阻力包括摩擦阻力和压差阻力，二者均起因于空气的黏性。摩擦阻力直接来源于作用在翼面上的摩擦切应力，压差阻力则是承受逆压梯度的边界层引起了流动分离从而改变翼面压强分布造成的。
   低速翼型的摩擦阻力几乎不随迎角和升力变化，失速前的压差阻力近似与升力系数的平方成正比。因此阻力系数可表示为CD=CD,0+kCL^2
   式中，CD,0称为零升阻力系数，也是摩擦阻力系数。KCL^2则是压差阻力系数。
   翼型的阻力特性可用CD-α表示，但在飞机设计上常用CL-CD表示翼型的升阻特性，称为极曲线。另外，翼型的升阻比定义为K=CL/CD，表征了翼型的气动效率，是一个重要的气动特性参数。性能好的翼型，最大升阻比可达到50以上。

4. 若干NACA翼型的气动特性数据与曲线

7.3 无黏定常等熵可压缩流动的速度势方程

无旋流动具有速度势函数，在不可压缩的无旋流动中，该函数符合拉普拉斯方程。解决一个具体的无旋流问题等价于在给定边界条件下求解相应的拉普拉斯方程。

7.3.1 全速度势方程

二维定常流动的连续性方程具有两种不同的数学表达形式：其一是\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} = 0；其二是\rho \left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\right) + u\frac{\partial \rho}{\partial x} + v\frac{\partial \rho}{\partial y} = 0。在等熵过程中满足关系式dp = a^2 d\rho。经过推导得到的速度势函数\Phi满足以下偏微分方程：

\left[1 - \frac{1}{a^2}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right)^2\right]\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \left[1 - \frac{1}{a^2}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right)^2\right]\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} - \frac{2}{a^2}\cdot \frac{\partial \Phi}{\partial x}\cdot \frac{\partial \Phi}{\ partial y}\cdot \frac{\ partial ^{ } }

7.3.2 线化的扰动速度势方程

如采用气流坐标系，即x轴与来流方向一致，来流只在x方向有分量，y方向无分量。物体的存在是流场上每一点的流速都相对于来流有了扰动速度u’,v’，这时流场上各点的速度分量分别为u=V∞+u'，v=v'。
所谓小扰动，指扰动速度相对于来流的V∞来说很微小：u'/V∞远小于1，v'/V∞远小于1
在这个前提下，可以引入扰动速度势φ，扰动速度势φ的方程比全速势Φ的方程可大大简化。
定义扰动速度势：∂φ/∂x=u',∂φ/∂y=v',Φ=V∞x+φ,u=V∞+∂φ/∂x,v=v'=∂φ/∂y
代入上式并由扰动速度与声速的关系得(a∞^2-V∞^2)∂^2Φ/∂x^2+a∞^2∂^2Φ/∂y^2=2(V∞v'+u'v')∂^2Φ/∂x∂y+[(γ+1)V∞u'+γ+1/2·u'^2+γ-1/2·V'^2]∂^2Φ/∂x^2+[(γ-1)V∞u'+γ-1/2·u'^2+γ+1/2·V'^2]∂^2Φ/∂y^2
上式是关于扰动速度势φ的方程，方程左端关于φ是线性的。右端的系数中有扰动速度，它们又分别是φ的偏导数，所以说右端是非线性项。上式和全速度势方程是等价的，因为导出式的过程中并未任何近似。
下面进一步考察在小扰动、非跨声速、非高超声速的条件下的扰动速度势方程。

1. 假设自由流速度和声速不是太接近，即a∞^2-V∞^2不是小量。
2. 流动不是高超声速，且同量级，即∂^2Φ/∂x^2~∂^2Φ/∂y^2~∂^2Φ/∂x∂y，则有u'^2-v'^2远小于V∞u'远小于a∞^2-V∞^2，(u'/v')/(V∞/a∞)远小于1
   可见在上述条件下，上式左端的线性项属于一阶小量，右端的非线性项都可以作为二阶或二阶以上的小量略去，从而得(a∞^2-V∞^2)∂^2φ/∂x^2+a∞^2∂^2Φ/∂y^2=0，整理得(1-Ma∞^2)∂^2φ/∂x^2+a∞^2∂^2Φ/∂y^2=0
   这就是在小扰动、非跨声速、非高超声速条件下的扰动速度势方程。比一般情况下的扰动速度势方程有很大简化，是一个线性的二阶偏微分方程。

7.3.3 线化的边界条件

对某个特定问题，方程的求解应在特定的边界条件下进行。通常边界条件包括物面和远场两类。在物面上，无黏流的边界条件是流动应与物面相切；在远场，速度为自由来流速度，扰动速度为零。
物面边界方程：∂φ/∂y|(y=±0)=V∞tanθu,l
远场边界方程：u'∞=0，v'∞=0或φ∞=const
由于速度势的具体数值不影响速度场，故可将上式中常数取为零。
方程和边界条件都是线性的情况下，方程的解就是可叠加的。与低速薄翼绕流类似，可压缩薄翼绕流的扰动速度势也可以分解为无厚度弯板、有厚度对称翼型和有迎角的平板三个流动的扰动速度势的叠加。

7.3.4 线化的压强系数

在可压缩流动中，在等熵条件下，压强系数C_p可表示为C_p=2/\gamma M_a^\infty\left(\frac{p}{p_\infty}-1\right)。此外，在等熵条件下，则满足\frac{p}{p_\infty}=\left(\frac{T}{T_\infty}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}。通过能量方程可以建立当地温度与附加的扰动速度之间的关系。经整理得C_p=-\frac{2u'}{V_\infty}。可见，在小扰动假设下，忽略二阶及以上高阶小量后，在无量纲x方向上的扰动速度与压强系数成比例关系这一特性与不可压缩流具有相同特性。类似地，在翼面上的压强系数也可以近似分解为弯曲、厚度以及迎角三方面贡献的线性和

7.4 亚声速线化流动的相似法则

对于亚声速流动的情况，我们引入无量纲数β定义为√(1 - Ma_∞^2) ，从而可以将线性化的速度势微分方程进行重新表述；具体来说，则可以将其转化为： β^2 ∂^2 φ / ∂x^2 + ∂^2 φ / ∂y^2 = 0 的形式；进一步观察可知，在这种情况下所得出的结果是一个椭圆型偏微分方程式；其数学特性与不可压缩流体中的相应问题具有相同的性质；通过简单的仿射变换处理后，在形式上与后者相一致

7.4.1 戈泰特法则

在亚声速度量的小扰动理论模型中采用的是速势法，在实现这一目标的过程中（即将亚声速度量的线性化流动转化为不可压缩无旋运动），必须同时处理相应的数学表达式以及边界条件设定。

1. 方程和边界条件的变换
   引入坐标变换：ξ=x，η=βy。上式中，（ξ,η）表示相应的不可压流场中的空间坐标。记（ξ,η）平面的不可压流场的扰动速度势为φ1（下标1代表不可压），令φ1=kφ。
   式中，k为待定系数，代入上式得∂^2φ1/∂ξ^2+∂^2φ1/∂η^2=0，可见k取任何常数均可实现将亚声速流小扰动速度势方程变换成不可压流扰动速度势方程形式的目的。
   下面讨论边界条件的变化以及如何选择k以使两流动中的边界条件均得到满足。亚声速流动的扰动速度与变换后的不可压流动的扰动速度间的关系为u'=u1'/k，v'=βv1'/k。
   亚声速和不可压流动的远场边界条件均是要求远场扰动速度为零。由上式可知远场条件对k的取值无要求。
   经过放射变换后，（ξ,η）平面不可压流场的物面应为上翼面：ηu=βyu=βhu(ξ)，下翼面：ηl=βyl=βhl(ξ)
   再令两仿射流场的自由流速度相等，即V∞,l=V∞
   则不可压流场的物面边界条件要求：v1'|η=ηu=(∂φ1/∂η)η=ηu=V∞·dηu/dξ=V∞·β·dhu/dx
   亚声速流场的物面边界条件在上翼面为v'|y=yu=(∂φ/∂y)y=yu=V∞·dyu/dx=V∞·dhu/dx
   为满足物面边界条件的仿射变换，必须有k=β^2
   综上，亚声速流场和其仿射的不可压流场的变换关系为：ξ=x,η=βy
   物面方程：
   亚声速流场：yu=hu(x)，yl=hl(x)
   不可压流场：ηu=βhu(ξ)，ηl=βhl(ξ)
   扰动速度势：φl(ξ,η)=β^2φ(x,y)
   扰动速度：u'=u1'/β^2，v'=v1'/bβ

2. 压强系数的变换
   将亚声速流场和其仿射相似的不可压流场的扰动速度关系式分别代入亚声速和不可压流动的线化压强系数公式，令V∞,l=V∞，得到两流场的压强系数间关系为Cp=Cp,l/β^2，式中，Cp和Cp,l分别表示亚声速和不可压流场相应点的压强系数。
   由此，戈泰特法则可叙述如下：亚声速线化流场的参数可由一个仿射变换的不可压无旋流场的相应参数间接求出，两流场的空间关系和相应点的流动参数分别由上式给出。
   戈泰特法则的适用范围和线化的小扰动速度势方程一致，因为在导出该法则时，没有引入新的限制条件。

3. 戈泰特法则适用于分析亚声速薄翼型的特性

7.4.2 普朗特-葛劳渥特法则

戈泰特法则建立了亚声速六中一翼型与不可压流中迎角、相对弯度、相对厚度均为其β倍的另一翼型的压强系数间以及气动力系数间的关系。根据不可压流的薄翼理论可知，在线化条件下，物面压强系数近似与相对厚度、相对弯度和迎角成正比。联立此性质和戈泰特法则，就可导出亚声速流中一翼型与不可压流中同一翼型的压强系数与气动力系数之间的关系。
设翼型的迎角、相对弯度和相对厚度分别为α、f-、t-，在亚声速流中的压强系数、升力系数和力矩系数分别记为Cp,Ma∞、CL,Ma∞、CM,Ma∞，在不可压流中的则记为Cp,0，CL,0，CM,0。根据戈泰特法则，亚声速流中该翼型的压强和气动力系数应为迎角、相对弯度和相对厚度分别为βα、βf-、βt-的翼型在不可压流中的压强和气动力系数（记为Cp,l、CL,l、CM,l）的1/β^2倍，即Cp,Ma∞=Cp,l/β^2，CL,Ma∞=CL,l/β^2，CM,Ma∞=CM,l/β^2。
而根据薄翼理论压强和气动力系数均近似地与相对厚度、相对弯度和迎角成正比，又有Cp,l=βCp,0···，联立上式可得：
Cp,Ma∞=Cp,0/sqrt(1-Ma∞^2)，CL,Ma∞=CL,0/sqrt(1-Ma∞^2)，CM,Ma∞=CM,0/sqrt(1-Ma∞^2)
上式就是普朗特-葛劳渥特法则，说明如果得到了某翼型不可压绕流的压强系数分布和翼型的气动力系数，那么在相同迎角下，绕相同翼型的亚声速流动的压强系数分布和亚声速条件下翼型的气动力系数就可由上式得到，它们相当于在亚声速条件下对不可压流结果进行的压缩性修正。普朗特-葛劳渥特法则表明二维亚声速薄翼的可压缩修正因子为1/β。

7.5 超声速二维翼型的线化解

在超声速流动情形下，线性化的微小扰动速度势方程（一个二阶线性偏微分方程）呈现出双曲型特征，并呈现出波动型结构。由于达朗贝尔解的存在使得解析解能够被有效构建，在该解析解的基础上分析可以得出：在超声速条件下的薄翼型绕流问题及其气动力特性均能得到系统而精确的结果

7.5.1 物理模型和数学模型的建立

超声速气流经过物体时，在物体头部较为圆钝的情况下，在物体会前形成一道脱离式的激波。由于该处出现一段强度较高的正激波区域的存在性问题，则会导致物体会受到较大的激波阻力。
以下选取双弧形机翼为例展开分析其超音速绕流特性，并对其进行必要的简化处理以提出合理的物理模型基础问题，在此基础上构建正确的数学模型体系即微分方程组和边界条件方程组。

物理模型
在均匀超声速气流中的给定翼型上进行分析研究，在此条件下考虑非线性问题时必须采用精确解法；但由于超声速气流是非线性的特性，则需要用特定的方法进行求解。具体而言，在分析这类复杂流动时通常会采用小扰动理论方法；这种方法的核心思想是将非线性问题转化为可解析求解的形式；其适用条件是当被研究物体对周围流动的影响相对微小时才能有效应用；因此，在应用这一理论时必须满足以下基本假设：即物体表面产生的扰动强度较小，并且物体形状应具有薄壁、小角度的特点；同时为了保证计算结果的有效性还应确保物体表面不存在过大的曲率变形；这些条件共同构成了应用小扰urbation理论的前提条件。
因此，在这种情况下我们通常会假设所研究对象是一个薄壁、小迎角、尖前缘（仍保持尖后缘）的设计形状；这种设计特点使得perturbation引起的流动变化较为简单和平坦；通过这样的假设简化了原始复杂的nonlinear flow equations从而使得问题得以简化并能够找到解析解；
综上所述该模型的基本假设条件包括以下几个方面：

1. 被研究物体表面产生的perturbation强度较小

2. 物体具有薄壁结构

3. 物体表面的角度较小

4. 物体前缘仍保持尖锐形状
   这些前提条件共同决定了只有在这种特殊情况下才能使用small perturbation method来解决原问题；

5. 数学模型
   对超声速流动，引入B=sqrt(Ma∞^2-1)，将小扰动速度势方程改写为B^2∂^2φ/∂x^2-∂^2φ/∂y^2=0
   可见该方程是一双曲型的波动方程，方程中B=cotμ∞，μ∞为马赫角。
   首先看翼面边界条件。上下翼面型线方程分别为yu=hu(x)和yl=hl(x)，当翼型很薄时，在y=±0处给出翼面边界条件，即∂φ/∂y|y=±0=V∞dhu/dx，∂φ/∂y|y=-0=V∞dhl/dx
   关于远场条件，由于超声速流动中小扰动是在扰源的后马赫锥(对平面流动是后马赫楔)，故只需要考虑来流条件。又按照简化的物理模型，用平行的马赫波代替弱激波或膨胀波，因而来流条件是指前缘处马赫波前的扰动势速度φ值为零。翼型前缘上下两道马赫波的方程分别为x-By=0和x+By=0，所以来流条件可写为φ|x±By≤0=0。

7.5.2 线化方程的求解

1. 方程解的形式
   B^2∂^2φ/∂x^2-∂^2φ/∂y^2=0是一波动方程，具有达朗贝尔解。其通解形式为φ(x,y)=f(x-By)+g(x+By)
   式中，函数f和g的具体形式有边界条件确定。
   翼型的小扰动是一不变的形式沿着这些直线传播出去进入流场的，这个条件也满足无穷远处的条件。若φ中只有f(x-By)部分，意味着沿x-By=const的直线，流动参数是常数，这些直线是一族相互平行的由Ma∞确定的左伸马赫线。类似地，若φ中只有g(x+By)部分，意味着沿x+By=const的直线，流动参数是常数，这些直线是一族相互平行的由Ma∞确定的右伸马赫线。
   假定流动由左向右，薄翼型是扰动源，二维小扰动应在翼型的后马赫楔内传播。对上翼型以上的翼型上部流场，φ中的g(x+By=0)，即φ+(x,y)=f(x-By)。而下翼面以下的翼型下部流场，φ中的另一部分f(x-By)=0，即φ-(x,y)=g(x+By)。
   由上式可知，在每一条左伸马赫线x-By=const上，φ+保持不变；而在右伸马赫线x+By=const上，φ-保持不变。

该特定翼型的特解即函数f和g的具体形式必须由相应的边界条件来确定。在上翼面部分 将上翼面上的扰动势函数代入线性化的翼面边界条件得到：
∂φ+/∂y在y=+0处等于-Bf’(x)，即V∞h u’(x)
由此可得：
f’(x) = -(V∞ / B) * h u’(x)
进而积分得到：
f(x) = -(V∞ / B) * h u(x) + 常数项
其中常数项可取为零 这一设定不影响对上部流场的速度场描述。
因此 对于上部流场有：
f(x - By) = -(V∞ / B) * h u(x - By)
类似地 对下部流场则有：
g(x + By) = (V∞ / B) * h l (x + By)
需要注意的是 上述方程仅适用于满足0 < x ± By < c的区域 而在尾流区内的扰动场为零。
流动线性化处理后 扰动场的变化仅沿由马赫数Ma∞所决定的一系列平行马赫线传播 因此其传播范围也仅限于从翼型前缘至后缘发出的所有马赫线之间的区域。

7.5.3 翼面压强分布和翼型气动力系数

1. 翼面压强系数
   由扰动速度势函数φ的解式可得上、下部流场的x向扰动速度为u'+(x,y)=V∞/B·hu'(x-By)，u'-(x,y)=V∞/B·hl'(x+By)，则在翼型上表面有u+'(x,y)|y=hu(x)=-V∞/B·θu。
   翼型下表面有u-'(x,y)|y=hl(x)=V∞/B·θl。
   式中，θu、θl分别为翼型上下表面的当地迎角，亦即气流与当地物面切向的夹角。
   根据可压缩流的线化压强系数公式，即得翼型上下部流场的压强系数分别为：Cp+=-2u+'/V∞=2/Bhu'(x-By)，Cp-=-2u-'/V∞=-2/Bhl'(x+By)。
   特别地，上下翼面的压强系数分别为Cp+,w=2/B·θu，Cp-,w=-2/B·θl。

2. 深入分析线化图像
   流场的压强系数公式表明，在该处扰动是由翼型斜率决定的，并与超声速翼型的线化流动图像一致。在线化超声速流动中，在来流参数上翼型扰动视为各局部置于来流中的影响叠加而成：在每条马赫波前后的参数变化基于当地扰动情况；而同一马赫波后的参数值保持一致。因此每条马赫波的作用将孤立的一系列、具有特定强度并延伸至无限远范围内的波叠加起来形成流场分布。
   由翼面压强系数公式可知，在翼面上各点的压力系数值取决于该处附近的翼型斜率（在气流系下即迎角）。上翼面若斜率为正值，则C_{p}^{+}为正值；表明来流在此区域被压缩；若斜率为负，则C_{p}^{+}为负值；表明来流在此区域膨胀；下翼面则呈现相反现象。对于翼型上的任意一点来说；其局部斜率的变化仅影响该点附近的参数分布；这与亚声速流动中的情况不同，并非像亚声速一样影响整个流动场的所有区域的变化规律。
   值得注意的是：超声速翼型线化解所呈现的真实流动图像存在偏差，并未完全反映真实情况；但这种线化解却揭示了一个基本而重要的特性：即超声速来流中可压缩效应的存在及其对流动的影响机制是不可忽视的关键因素。因此在特定条件下；其结果仍能较好地接近真实情况的表现特征并可作为工程设计的重要参考依据之一

已知翼型表面的压力分布情况后,可以通过进一步分析确定其升力、阻力以及力矩的具体数值.为了分别研究迎角和翼型形状（包括厚度和曲率）对升阻及力矩的影响,可将翼型在气流坐标系下的局部倾角θu、θl和迎角α,以及在体轴坐标系下的倾角σu、σl进行比较.根据关系式θu = σu - α 和 θl = σl - α,可以看出上下表面的局部倾角与迎角之间的差异.其中,θu 和 θl 分别表示上表面和下表面某一点M1、M2处切线方向与弦线方向之间的夹角.需要注意的是,所有角度均采用逆时针方向为正向定义.将这些角度代入压强分布公式后,可得到上下表面压力差值相关的升阻公式: Cp+,w = 2/sqrt(Ma∞^2-1)·(σu - α), Cp-,w = -2/sqrt(Ma∞^2-1)·(σl - α).

升力大小与上下翼面的压力分布变化有关.通过积分计算压力差的空间累积效应,最终可获得升力系数CL = 4α/sqrt(Ma∞^2-1).这一结果表明,在忽略粘性效应的情况下,超声速二维薄片机翼所受升力与迎角成正比而与其形状无关.

7.6 细长旋成体理论

7.6.1 旋成体的集合参数即绕流图

旋成体是由一条母线（曲线或折线）绕轴旋转而形成的一种几何体。在旋成体结构中，包含轴线的平面被称为子午面；轴线则被称为子午线。

在研究旋成体时，柱坐标系通常被采用作为主要的数学工具。其中包含以下几点：

1. R(x)，表示旋成体母线沿轴向的半径分布情况；
2. RM，则代表最大截面处的半径值；
3. L则表示整个旋成体的有效长度；当R(x)表示为x的不同区间函数时（如L头、L柱和L尾），分别对应着旋成体头部、圆柱段和尾部的有效长度；
4. S(x)，描述各横截面上面积的变化情况；
5. SM=πRM^2则是代表最大横截面积；
6. λ = L/(2 RM)，即所谓的长细比，在此定义下长细比较大的旋成体会被认为较为细长；
7. η = Rd²/RM²，则是衡量尾部收缩程度的一种度量方式（即选成套尾部截面积与最大截面积之比）。

这里主要研究均匀来流下的轴对称绕flow情况。我们将迎角定义为来flow方向与旋成body轴线之间的夹角角度。当均匀来flow在零迎角状态下绕过旋成body时，在任何子午面上的流动情况均完全一致。具有低、亚声速特性的旋成body轴对称绕flow其around图形与相同条件下的二维对称翼型around图形相似性较高，在相同厚度和来flow马赫数情况下旋成body所导致的气flow扰动程度低于二维对称翼型这种现象可以通过数值模拟加以验证对于超sonic气flow而言在其around过程中会形成激波和膨胀波区域当头部呈圆锥形时会产生圆锥激波这种三维效应使得圆锥激波强度较同样马赫数及顶角条件下相应的楔形体会弱同时圆锥激波后的气flow线轨迹会发生弯曲变化对于细长型旋成body的小迎角around情况我们可以将其视为在基线axisymmetricaround上叠加一个横向扰动来进行分析

7.6.2 柱坐标系下的小扰动线化方程、边界条件和压强系数

在恒定粘性不存在的速度场中存在速度势的前提条件是运动状态必须是非涡流状态（irrotational）。当考虑较低马赫数范围内的流动情况时，在理想来流条件下粘性特性意味着系统的总机械能守恒（即等熵过程），从而实现了非涡流状态。然而，在超音速范围内由于激波现象的存在会导致能量散失（即出现正向绝热效应），这通常会导致系统无法维持严格的等熵和平流特性（irrotational）。不过，在细长机翼以较小角度入射飞行的情况下，在跨过激波所伴随的能量损失可以忽略不计时，则可以近似认为该区域依然满足等熵和平流条件，并且仍可引入速度势函数描述该区域的运动状态

1. 柱坐标系下的速度势方程
   经整理后得(a^2-Vx^2)∂^2Φ/∂x^2+(a^2-Vr^2)∂^2Φ/∂r^2+(a^2-Vθ^2)∂^2Φ/r^2∂θ^2-2(VxVr∂^2Φ/∂x∂r+VθVr∂^2Φ/∂θr∂r+VθVx∂^2Φ/∂θr∂x)+Vr/r(a^2+Vθ^2)=0
   上式即为柱坐标系下无黏、定常、等熵可压缩流动的速度势方程，方程中的速度还可以继续根据势函数的偏导数表达，声速也可以根据绝热流的能量方程采用速度进一步用势函数的偏导数表达。但虽然全速度势方程只包含一个未知函数Φ，却仍是一个复杂的非线性方程。

2. 柱坐标系下的线化小扰动速度势方程
   针对细长体在小迎角飞行时对流场的扰动为小扰动的特点，引入扰动速度势，在略去小量后可得到线化的扰动速度势方程。
   小扰动指扰动速度相对于来流的V∞很微小，即(Vx'/Vr'/Vθ')/V∞远小于1。
   定义扰动速度势：∂φ/∂x=Vx'，∂φ/∂r=Vr'，∂φ/r∂θ=Vθ'
   设扰动速度势即其偏导数均为一阶小量。扰动速度势和全速度势之间及其偏导数之间的关系经整理得(1-Ma∞^2)∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂r^2+∂^2φ/r^2∂θ^2+1/r·∂φ/∂r=0
   适用于小扰动、非高超声速、非跨声速条件。

3. 边界条件
   远场处，扰动流动速率为零；有∂φ/(∂x/∂r/r∂θ)=0；可取φ∞=0。
   旋成体物面上，在子午面内规定物面边界条件即可：因为将旋成体的体轴取为x轴，则无需在子午面内规定法向边界条件。对于细长型物体来说，在子午线切线方向上定义流速方向即满足切线条件：即Vr/Vx|r=R=dR/dx
   当物体呈细长状时,dR/dx远小于一,因此上式可简化为略去高阶小项后得到线性化物面边界条件：即(V∞αcosθ+∂φ/∂r)|r=R=V∞dR/dx

4. 压强系数
   在研究小迎角的细长旋成体绕流时，在略去三阶及以上小项的前提下进行分析。进一步简化为以下形式：
   Cp=-2\frac{V_x'}{V_\infty} - 2α\left(\frac{\cosθ V_r' - \sinθ c}{V_\infty}\right) - \frac{(V_r'^2 + V_t'^2)}{V_\infty^2}
   其中压强系数属于二阶小量，并且与扰动速度之间并非简单的线性关系。
   当方程和边界条件均为线性情况下，在满足特定条件下可以将流动分解为多个部分进行分析。特别地，在处理非线性的压强系数Cp,w时，在特定条件下可以通过特殊的分解方式实现叠加求解。

7.6.3 细长旋成体的轴向绕流

1. 扰动速度势方程，边界条件和压强系数
   对于绕细长旋成体的轴对称流动，即α=0，每一个子午面内流动相同，∂/∂θ=0，线化的小扰动速度势方程为(1-Ma∞^2)∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂r^2+1/r·∂φ/∂r=0
   对低速不可压流动，上式即拉普拉斯方程。亚声速来流是，方程为β^2∂^2φ/∂x^2-∂^2φ/∂r^2-1/r·∂φ/∂r=0
   式中，β=sqrt(1-Ma∞^2)。超声速来流时，方程为B^2∂^2φ/∂x^2-∂^2φ/∂r^2-1/r·∂φ/∂r=0
   式中，B=sqrt(Ma∞^2-1)。
   将α代入线化的物面边界条件式，得∂φ/∂r|r=R(x)=V∞dR/dx
   对压强系数式应用轴对称条件：α=0、Vθ’=0，则有Cp=-2/V∞·∂φ/∂x-1/V∞^2·(∂φ/∂r)^2

2. 亚声速点源和超声速点源
   细长旋成体轴对称绕流的小扰动速度势方程和边界条件都是线性的，故可采用基本解叠加法求解。流动不可压时，小扰动速度势方程为拉普拉斯方程，有空间点源、点涡等基本解。由于点源对气流有撑开作用，并且各个方向一致，因此可沿旋成体轴线分布合适强度的空间点源，模拟细长旋成体对直匀来流的扰动。
   对亚声速流动，可通过坐标变化：x0=x，r0=βr。
   将小扰动速度势方程变换为拉普拉斯方程，推知上式有以下形式的基本解：φ(x,r)=-Q/4π·sqrt((x-ξ)^2+β^2r^2)
   上式即位于旋成体轴线上某点（ξ，0）、强度为Q的亚声速点源在空间某点（x，r）引起的速度势。
   对于超声速流动，可通过坐标变换：x0=x，r0=iBr
   将小扰动速度势方程变换为拉普拉斯方程，推知上式有以下形式的基本解：φ(x,r)=-2Q/4π·sqrt((x-ξ)^2-β^2r^2)
   上式为强度为Q的超声速点源在空间某点（x,r）引起的速度势。需要说明，超声速流动的小扰动速度势方程为双曲型方程，数学性质与拉普拉斯方程不同。上式的变换引入了虚数，无明确物理意义。

3. 确定源强度分布的方程
   1 . 亚声速流动
   设在旋成体轴线上分布亚声速点源，记(ξ,0)处单位长度轴线上源的强度为f(ξ)，则dξ微段上分布的源在空间任一点P(x,r)产生的扰动速度势为dφ(x,r)=-1/4π·f(ξ)dξ/sqrt((x-ξ)^2+β^2r^2)
   对亚声速绕流，点源的扰动可以传播到四面八方。整个旋成体轴线上分布的所有源都会对p点产生影响，p点的扰动速度势为φ(x,r)=-1/4π·∫(0-L)f(ξ)dξ/sqrt((x-ξ)^2+β^2r^2)
   源强分布函数f(ξ)的具体形式需要根据流动边界条件确定，将上式代入边界条件式，得到1/4π·β^2R·∫(0-L)f(ξ)dξ/[(x-ξ)^2+β^2r^2]^3/2=V∞·dR/dx
   上式即为亚声速零迎角绕流细长旋成体时确定亚声速点源强度分布函数的积分方程。
   2 . 超声速流动
   由于超声速流动中小扰动仅在扰源的后马赫锥内传播，所以P点只能受到位于其前置马赫锥内“超声速点源”的影响，P点前置马赫锥与x轴交点的坐标为x-r/tanμ∞=x-Br
   上式中，μ∞为马赫角。P点只能受到位于ξ=0和ξ=x-Br之间的“超声速点源”的影响，其扰动速度势为φ(x,r)=-1/2π·∫(0-x-Br)·f(ξ)dξ/sqrt((x-ξ)^2-B^2r^2)
   同样，源强分布函数f(ξ)需由边界条件确定。
   经整理后得到超声速零迎角绕流细长旋成体时确定“超声速点源”分布强度的积分方程1/2πR·∫(0-x-Br)f'(x-ξ)(ξ)dξ/sqrt((x-ξ)^2-B^2R^2)=V∞dR/dx
   上面对亚声速和超声速绕流，分别得到了确定源强度分布函数f(ξ)的积分方程。

4. 极细长旋成体轴向绕流的渐近解

5. 亚声速流动

6. 超声速流动

7.6.4 小迎角细长旋成体绕流

当来流的入射角α不等于零时

1. 扰动速度势和物面压强系数的分解
   1 . 边界条件的分解
   将φ=φ1+φ2代入边界条件式，有(V∞αcosθ+∂φ1/∂r+∂φ2/∂r)|r=R=V∞dR/dx。由于轴向绕流扰动速度势φ1的边界条件为∂φ1/∂r|r=R=V∞dR/dx和∂φ2/∂r|r=R=-V∞αcosθ
   上面两式是φ1和φ2的物面边界条件，无穷远处有φ1,∞=0，φ2,∞=0。
   2 . φ2的物理含义
   φ2满足来流速度为V∞α的旋成体横向绕流的边界条件。由于小迎角细长旋成体绕流的扰动速度势φ和轴向绕流的扰动速度势φ1均满足线化的扰动速度势方程，所以φ2=φ-φ1也满足扰动速度势方程：(1-Ma∞^2)∂^2φ2/∂x^2+∂^2φ2/∂r^2+∂^2φ2/r^2∂θ^2+1/r·∂φ2/∂r=0，说明φ2对应的流动其自由来流方向仍是接近x轴，自由流速度为V∞，而非自由流速度为V∞α的旋成体横向绕流。再由φ2=φ-φ1可知，φ2实际上是速度为V∞的直匀流中旋成体迎角由零变为非零引起的扰动速度势的增量，即φ2=φα≠0-φα=0
   此处φα≠0就是小迎角旋成体绕流的扰动速度势，φα=0就是原旋成体轴向绕流的扰动速度势。
   为方便，称φ2为旋成体的“横向绕流”扰动速度势。小迎角细长旋成体绕流的扰动速度势可以分解为迎角为零的轴向绕流和横向来流速度为V∞α的“横向绕流”得扰动速度势之和。
   3 . 物面压强系数的分解
   由于非线性，流场中的压强系数通常包含交叉项，不能采用叠加原理。也即，虽然小迎角细长旋成体绕流的扰动速度势可分解为轴向绕流和“横向绕流”的扰动速度势之和，但压强系数不是两者之和。
   小迎角旋成体绕流的物面压强系数可由二者叠加得到：Cp,w=Cpa|r=R+Cpc|r=R，其中，前一项为轴向绕流的物面压强系数，后一项为“横向绕流”的物面压强系数。

2. φ1与φ2之间的内在联系
   已知φ₂是在旋成体轴向绕流的基础上增加了恒横流后所引发的扰动速度势增量。从旋成体的横截平面来看，则是增加了来流速度为V∞α的圆柱横向绕流。在不可压流动中，圆柱横向绕流可由偶极子模型模拟，并且其势函数可以通过对点源势函数沿源汇连线方向求偏导数的方式得到；在此处采用了基于旋成体轴向绕流并采用轴线上分布亚声速点源或"超声速点源"来进行模拟的方法进行处理。
   轴向绕流引起的扰动速度势Φ₁满足以下方程：
   (1 - Ma_{\infty}^2)\frac{\partial^2 \Phi_1}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi_1}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\cdot\frac{\partial \Phi_1}{\partial r} = 0
   整理后得到：
   \Phi_2 = c \cdot \frac{\partial \Phi_1}{\partial r} \cdot \cos\theta
   其中c为常数。

3. “横向绕流”的扰动速度势
   1 . 亚声速流动
   2 . 超声速流动

4. 极细长的旋流体“横向流动”的渐近解
   1 . 亚音速流动
   φ2(x,r,θ)=V∞αcosθ(x)/πr=V∞αcosR²(x)/r
   2 . 高速流动
   φ2(x,r,θ)=V∞αcosθ(x)/πr=V∞αcosR²(x)/r（此处与前文内容一致）
   3 . 压强系数定义式

7.6.5 极细长旋成体的气动特性

确定物面上的压力分布情况后

计算法向力系数CN的方法如下：旋转曲面所受的法向力是其上压强垂直于体轴方向上的合力。对于极细长且处于小扰动线性化范围内的旋转曲面，在沿着轴线方向每单位长度所受的法向力与其来流迎角α以及局部截面面积变化率S’(x)呈正比关系。其中，在特定条件下（如尖头型旋转曲面），当满足条件时（例如当S(0)=0时），其总压力可表示为N=ρ∞V∞² S(L)，其中S(L)代表旋转曲面底部横截面积；取该旋转曲面的最大横截面积SM作为基准参考，则可得出其法向力量系数CN = 2 α S(L)/ SM 。进一步地，在具体应用中（例如当旋转物呈现既具有尖头又具有尖尾特征时），当满足条件（如当 S(L)=0时）则会导致其所受总压力降为零；然而，在实际工程应用中需考虑空气动力学阻尼效应的影响：此时即使是在极细长型旋转物情况下也可能会出现微弱逆压力现象。

2. 俯仰力矩系数CM的计算
   取抬头力矩为正，仅横流的压强系数对俯仰力矩由贡献。
   Mz=-ρ∞V∞^2α[LS(L)-Ωw]，式中，Ωw为旋成体体积。俯仰力矩系数为CM=-2α[S(L)/SM-Ωw/SML]
   旋成体的压力中心为xcp=[1-Ωw/S(L)L]L或xcp-=1-Ωw/S(L)L
   另外，对于尖头尖尾细长旋成体，由上式知总法向力为零，且仍有一抬头力矩作用于其上，与迎角α成正比。起作用是使旋成体不稳定。

3. 轴向力系数CA的计算
   旋成体表面沿轴向分布的压强合力即为轴向力。
   CA=Aa+Ac/1/2·ρ∞V∞^2SM=Aa/2·ρ∞V∞^2SM-α^2·S(L)/SM=CA,0-α^2·S(L)/SM
   式中，CA,0则代表零升波阻系数，在超声速流动中由绕流产生的轴向力Aa所造成。

4. 升力和阻力系数
   升力系数为CL=CNcosα-CAsinα约等于CN-CAα≈2αS(L)/SM-CA,0α
   通常CA,0远小于2。升力系数可以进一步近似为CL=2αS(L)/SM
   阻力系数为CD=CNsinα+CAcosα
   来流为亚声速时，有CD≈CNα+CA=α^2S(L)/SM
   来流为超声速时，有CD≈CNα+CA=α^2S(L)/SM+CA,0
   阻力系数中与迎角有关的部分称为诱导阻力系数，用CD,i表示。
   应当指出，实际流动中的阻力系数计算还应计及黏性引起的摩擦阻力。（The End）

霹雳天机

天地之机始,万象更新造奇才,
血流成河承,宇宙劫难自太始,
风云变幻转,星斗运行谁能敌？
且让逍遥共忘怀。

「看经典重角震撼回归，再写全新故事」

霸雳天机系最新作品系列中，《霸雳天机》由两位杰出演员分别担任两大主角——天迹与地冥。两条主线剧情完美交织，在新的故事篇章中展开。观望着迹凭借逆境崛起，在against来自太曦神族的巨大威胁中带领一众侠士直面挑战。相比之下，在失联已久的地下势力地冥却暗中集结了若干实力派成员展开行动。他的行踪为何如此隐秘？他的动向又将掀起怎样的波澜？

「看新人鹊起引领风骚，谱写恩怨情义」

霹雳天机推出了全新一代偶像阵容，在武林中群星熠熠生辉的时代背景下

「看枭雄叱吒并起，播弄乾坤扑朔迷离」

这部作品以其强大的反派阵容闻名，在吸收融合的基础上广纳各方能人。该角色能否独创霸业？作为父子双雄的父亲与儿子为何会陷入‘父杀子’的困局？他们兄弟之间因‘父杀子’而陷入混乱？他们又将如何突破困境？他们兄弟之间因‘父杀子’而陷入混乱吗？他们又将如何突破困境以改变命运？

「看剧情崭新编排，四大篇章高潮迭起」

裂界

裂界

魔熵

众多期待者齐聚一堂，在本年度由霹雳国际多媒体所呈现的一系列精彩活动中，请您千万别错过黄文择布袋戏带来的最新力作——霹雳天机 subtitle。