数学系的数字信号处理：傅立叶变换

本专栏：数学系的数字信号处理 的前置知识主要有：数学分析（傅立叶级数的部分），泛函分析（L^p空间的部分）

傅立叶变换

定义：Fourier 变换
设 f(x) 连续可微，且 \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\mathrm{d}t<\infty，则函数
\mathscr{F}(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-ixt}\mathrm{d}t 称为 f(x) 的傅立叶变换
\mathscr{F}^{-1}(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\lambda)e^{i\lambda x}\mathrm{d}\lambda称为 f(x) 的傅立叶逆变换

注：

1. 有的书上定义的傅立叶变换的系数可能有所不同，比如说 \mathscr{F} 的系数为1，而 \mathscr{F}^{-1} 的系数为 \frac{1}{2\pi}，无论如何，这两者之积始终为 \frac{1}{2\pi}
2. 若 f(x) 存在间断点，则间断点处的函数值用 \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} 代替
3. 条件\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\mathrm{d}t<\infty 是为了 \mathscr{F}(f)(x) 有意义：
   \begin{split} |\mathscr{F}(f)(x)|&\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)e^{-ixt}|\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\mathrm{d}t但这个条件稍强，多数情况下可减弱为积分条件收敛，也可保证 \mathscr{F}(f)(x) 有意义

性质

• \mathscr{F} 是可逆线性算子：\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}(f)=f
• \mathscr{F}^{-1} 和 \mathscr{F} 互为伴随算子，即<\mathscr{F}(f),g>=
• 多项式可以从变换中取出：\mathscr{F}[t^nf(t)](x)=i^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}[\mathscr{F}(f)(x)]\mathscr{F}^{-1}[t^nf(t)](x)=(-i)^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}[\mathscr{F}^{-1}(f)(x)]
• 微分算子可以从变换中取出：\mathscr{F}[f^{(n)}t](x)=(ix)^n\mathscr{F}(f)(x)\mathscr{F}^{-1}[f^{(n)}t](x)=(-ix)^n\mathscr{F}^{-1}(f)(x)
• 做线性代换：\mathscr{F}[f(t-a)](x)=e^{-iax}\mathscr{F}(f)(x)\mathscr{F}[f(bt)](x)=\frac{1}{b}\mathscr{F}(f)(\frac{x}{b})
• 等价形式：\mathscr{F}(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathscr{L}(f)(ix)其中 f(t)=0(t<0)
  \mathscr{L}(f)(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-ts}\mathrm{d}t称为Laplace（拉普拉斯）变换

定义：卷积
设 f,g\in L^2，则 \begin{split} (f*g)(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-x)g(x)\mathrm{d}x\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(t-x)\mathrm{d}x\\ \end{split}称为 f 和 g 的卷积

卷积与傅立叶变换
设 f,g\in L^2 ，则
\mathscr{F}[f*g]=\sqrt{2\pi}\mathscr{F}(f)\cdot \mathscr{F}(g)\mathscr{F}^{-1}[f\cdot g]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathscr{F}^{-1}(f)*\mathscr{F}^{-1}(g)

注：记住其中一个可以推出另一个

Plancherel 定理
傅立叶（逆）变换具有 L^2 空间上的保范性，即 \forall f,g\in L^2，有
<\mathscr{F}(f),\mathscr{F}(g)>=<\mathscr{F}^{-1}(f),\mathscr{F}^{-1}(g)>=特别地，||\mathscr{F}(f)||=||f||

证明
只需利用 \mathscr{F}^{-1} 和 \mathscr{F} 互为伴随算子这一点