数字图像处理中的傅立叶变换

二维Fourier变换的应用

我们之前已经阐述了Fourier变换具备两个显著的优势。具体来说，它不仅能够提供信号的频域特性的信息，并且能够将卷积运算转化为乘积形式。

因此二维Fourier变换的应用也是根据这两个特点来进行的。

在图像滤波中的应用

首先让我们观察一下经过Fourier变换后的图像其中中间区域对应的是较低频率的部分远离中心区域的位置则代表较高的频率基于此分析在处理Fourier变换后的图像时我们可以根据需求选择相应的高频或低频成分以满足特定的信号处理要求

在图像压缩中的应用

变换系数精确地反映了各频率点处的幅度，在小波变换尚未被提出的时候，则常被用作压缩编码的方法

由于高频反映细节、低频反映景物概貌具有特定特性，在实践中通常会将高频系数设为0以规避视觉感知

在卷积运算中的应用

在前面介绍的图像处理算法中，在抽象层面上而言，实际上都可以看作是基于其本质其对图像信息进行基于滤波器的作用进行信息处理的过程。其中所涉及的具体类型包括常见的类型如平滑滤波和锐化滤波等。

当滤波器结构较为复杂时，在时域中完成卷积运算将是难以想象的事情。

通过将卷积运算转换为点乘运算，Fourier变换实现了简化计算。从而使得运算得以简化，并且计算速度得到了显著提升。

对给定文本进行同义改写

处理图像傅立叶变换的过程相对直接：依次对图像的每一行执行一维快速傅里叶变换（FFT），随后对每一列同样进行一维FFT运算。具体而言，在完成所有行的数据转换后，在列方向上再进行一次类似的FFT操作。其中，在处理第0行时（实部具有数值数据而虚部为零），完成其N点FFT后会将结果中的实部和虚部分别反馈至原第0行的位置上。经过完成所有行列的数据转换后，则会得到一个完整的二维频谱图

下面展示了一副图像的二维FFT变换：

在频域中可以包含负数值，在图像处理中通常用灰色（即0）来代表中间亮度水平；而黑色对应负值（较暗的部分），白色则代表正值（较亮的部分）。观察到四个角落处的黑色区域更深、白色区域更为明亮（即幅度较大）。实际上，在四个角落处的主要频率成分主要反映了图像中的低频信息；而位于中心位置则集中反映了高频信息。此外，在进行快速傅里叶变换（FFT）后得到的结果看起来杂乱无章

采用极坐标形式对上述直角坐标进行转换后相对而言较为直观，在幅值方面四个角落呈现白色区域表明该处幅值较大 而在相位方面 高频与低频变化基本没有明显的差异

该种方式展示了图像频谱的不同呈现方法。它实现了低频部分向频谱中心的转移，并提取了以低频为中心的一份图像。这一过程其实并不复杂：经2D-FFT处理后的结果是一个离散图像，并呈现出明显的周期性特征。也就是说，我们通过将原始图像进行周期延拓，并提取了其中一份以低频为中心的部分作为展示对象。虽然将原点放置在中心位置有诸多优势（例如更加直观地反映周期性原理），但在本节内容中我们仍采用未平移前的形式来进行说明。

按照行N/2和列N/2的位置将频域划分为四个区域。对于实部与幅度而言，在右上角与左下角之间呈镜像分布，在左上角与右下角之间也呈现镜像关系；对于虚部与相位而言，则是类似的模式，并且虚部的符号取反；这种具有类似的对称性的情况与一维傅里叶变换是一致的，请你参考前面的内容

为了便于简化起见，请考虑一个4×4像素的小块，并查看其右侧显示的对应灰度级。然后对其进行二维快速傅里叶变换（FFT）计算。

h和k的范围在-N/2到N/2-1之间。

通常I(n,m)是实数，F(0,0)总是实数，并且F(h,k)具有对偶性。

如果写成指数形式，即:

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图像傅立叶变换的物理意义

当仅保留图像中心附近的亮度范围时，则图像中的细节信息将被缺失；然而，在各个区域中依然会呈现出各自独特的亮度。

如果包含的是远离中心部分的信息，则图像中各不相同的部分能够被观察到；然而，在各个不同的区域中所呈现的颜色是一致的。

考虑一个黑色矩形的傅立叶变换，这个黑色矩形的背景为白色。

如果对频域中垂直方向高频分量进行处理，则图像中的黑白界限将变得不够清晰，并表现为振荡现象。

由此可见，在傅里叶变换中，位于中心附近的频率分量主要反映了图像灰度变化平缓的部分（即低频分量），而远离中心的位置则对应着图像灰度分布剧烈变化的区域（即高频分量）。

注

这里再用1维傅立叶变换解释一下：

在一维傅里叶变换过程中可以看到相位编码了边缘出现的时间位置信息！同样地，在二维傅里叶变换中这一特性同样存在——即多个正弦波在相同的时间点完成了上升阶段（也就是它们具有相同的时间位置特征），从而使得我们能够确定边缘的具体位置。因此这也解释了为什么通过观察频谱幅值分布情况我们可以推断出原始图像是如何被构造出来的——因为这种幅值分布情况直接塑造了我们对物体视觉化的感知！