傅立叶变换在图像处理中的作用

傅里叶变换在图像处理中具有重大的理论意义和广泛的应用价值。其理论基础涵盖了图像处理的关键领域，并为其提供了强有力的数学工具。其改进型算法则进一步提升了分析效率和精度。

比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。

记得傅立叶变换在图像处理领域占据着非常重要的地位，在多个关键点上发挥着不可替代的作用：
1.图像增强与去噪
大部分的噪声都集中在图像的高频分量中，在这种情况下我们可以通过低通滤波器去除高频噪声分量；同时由于边缘也属于高频分量的一部分，在增强原始图像细节的过程中可以通过强化高频分量的方式来提升边缘效果；
2.图像分割之边缘检测
为了实现有效的边缘检测功能，则需要通过提取高频分量来进行操作；
3.图像特征提取：
其中形状方面的特征我们采用的是傅里叶描述子这一方法；而纹理方面的特征则是直接基于傅里叶系数来进行计算；此外还有其他类型的特征，在这里则需要将提取到的特征值经过傅里叶变换处理后才能实现对平移、缩放和旋转等变换下的不变性需求；
4.图像压缩技术
在实际应用中我们可以通过直接利用傅里叶系数来进行数据压缩工作；而离散余弦变换作为一种实数域内的正交变换，则是传统傅立叶变换的一种重要变形方法

傅立叶变换
傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;

时移性：当函数在时间域中发生时间平移时，在频率域中会产生相应的相位偏移效果；然而，在这种情况下，幅度频谱保持完全不变；

频移特性：信号在时域中乘以指数函数e^{jwt}后，在频率轴上会使整个频谱向频率轴正方向移动w个单位。这一过程也被称为调制过程，在通信系统中被广泛应用于实现多路信号的频率分复用（即通过将不同信号分别调制到不同频率区间后同时传输）；
卷积定理：在时域中的卷积运算对应于频域中的乘法运算；反之，在时域中两个信号的乘积累加对应于频域中的卷积运算，并需考虑归一化因子的影响。（这一概念在图像处理领域同样具有重要意义）

信号在频率域的表现
在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。
在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是，傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言，以下概念非常的重要：

高频成分通常对应于图象中的细节区域，在特定条件下可能代表边界细节或干扰信号，并常表现为这两者的混合。

**模板运算与卷积定理
**在时域内做模板运算，实际上就是对图像进行卷积。模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程，比如增强/去噪（这两个分不清楚），边缘检测中普遍用到。根据卷积定理，时域卷积等价与频域乘积。因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。
比如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。

图像去噪
去除图像中的噪声部分进而实现降噪功能。进而从频域角度分析可知，在频率空间处理时需要应用低通滤波技术以消除高频干扰成分。使用低通滤波器能够有效抑制高频分量然而需要注意的是，在此方法中可能会导致边缘信息被抑制为了提高降噪效果通常会选择局部区域内的平均或高斯型降噪模板这类线性滤波方法通常会在局部区域抑制高频分量同时会模糊图像边缘并减少噪声强度此外还有一种非线性降噪方法即中值滤波技术该方法特别适合于去除脉冲型噪声因为脉冲点在排序后会被替换成中间值从而消除最大和最小异常点然而该算法对于高斯型噪声却表现欠佳

椰盐型噪声：通过中值滤波方法能够有效地消除椒盐型噪声污染。虽然用算术平均也能获得一定的去噪效果，但会伴随边缘模糊现象的发生。
高斯白噪音：在频域内分布广泛的情况下去除高斯白噪音较为困难。
坎萨雷斯版图像处理P185：算术平均数滤波器与几何平均数滤波器（尤其是后者）更适合于处理高斯或者均匀分布的随机型噪音；而谐波平均数滤波器则适合抑制脉冲型噪音。

图像增强
有时会认为图像增强与图像去噪是相互对立的过程，在实际应用中为了获得更好的显示效果通常需要增强图像的边缘细节即增加高频分量以突出图像特征而消除噪声则需抑制高频分量两者在某种程度上可能表达相同的概念例如同时实现降噪并改善显示效果则说明两者的目的是统一的。
常用的图像增强方法包括对比度调整直方图平移以及频域运算其中前两种是在空域基于像素变换完成而后一种是在频域通过运算实现的锐化处理可理解为将经过高通滤波后得到的高频分量直接叠加到原始图像上从而强化边缘效果对比度调整和直方图平移都是为了提升对比度使不同区域之间的差异更加明显经过这些处理后不仅能够强化高频分量从而突出细节差异同时也可能导致一些噪声被引入到图像中