[学习笔记-SLAM篇]视觉SLAM十四讲ch3

一鼓作气哈。
还学了一点latex编写技巧，技能max。

注：
1）学习视频：【高翔】视觉SLAM十四讲。

视觉SLAM十四讲

• 第3讲
• • 3.1 理论部分
  • 3.2 实践部分

第3讲

3.1 理论部分

本步骤的关键点主要在于以下几点：首先涵盖的是第3至第5步主要涉及欧式几何变换的相关方法。此外，在应用过程中可能会遇到非欧式几何的情况（例如6中所述的几种特定的变换类型），这种情况下可能会导致刚体形状的变化。

本步骤的关键点主要在于以下几点：首先涵盖的是第3至第第5步主要涉及欧式几何变换的相关方法。此外，在应用过程中可能会遇到非欧式几何的情况（例如6中所述的几种特定的变换类型），这种情况下可能会导致刚体形状的变化。

1）线性代数基础

• 点积运算：对于任意两个三维列向量\mathbf a和\mathbf b有：

\mathbf a \cdot \mathbf b = \begin {pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end {pmatrix}

其等于：

\sum_{i=1 }^{ 3 } a_i b_i = |\mathbf a||\mathbf b|\cos \theta

其中θ为两向量之间的夹角；

• 叉乘运算：对于任意向量的叉乘运算定义为：

\boldsymbol a \times \boldsymbol b = \boldsymbol{\hat a}\wedge \boldsymbol{\hat b}

其中，

\boldsymbol{\hat a}

代表三维反对称矩阵的一种表示方式。

2）刚体运动&坐标系间欧式变换

• 刚体运动：通过旋转和平移操作来描述世界坐标系与相机坐标系（或机器人坐标系）之间的转换关系；这种变换用欧氏变换的形式来表示；
  • 欧式变换：由旋转和平移两部分组成。其中旋转部分是一个3×3维度的旋转矩阵\pmb{R}（也被称为方向余弦矩阵），该矩阵满足行列式为1且具有正交性质；所有n维空间中的旋转变换矩阵集合定义为SO(n)；平移部分则是一个3×1维度的平移向量\pmb{t}。

3）变换矩阵

• 为了方便描述多次欧式变换的情况, 我们采用齐次坐标方法将旋转与平移操作结合在一起, 构造出一个T型矩阵\pmb{T}, 其维度大小为4×4。
• 变换矩阵\pmb{T}被用于表示位姿信息, 所有n维刚体运动的集合被定义为SE(n), 这被称为特殊欧式群. 在本案例中, 虽然所使用的\pmb{T}是一个4×4阶矩阵, 但SE(3)仍然用于表示三维空间中的刚体运动.
• 其中旋转变换属于刚体运动范畴.

4）旋转向量和欧拉角

• 为了消除描述上的冗余，在描述三维空间中的旋转时通常采用单一旋转轴及其对应的角度参数来进行刻画。进而将其表示为旋转向量（也称为角轴或轴角），其转换关系可借助罗德里格斯公式来实现。同样地，在齐次坐标中使用旋转向量与平移向量结合的方式，则能有效表征任意的空间位移算子；
• 欧拉角常被用来提供一种直观的描述方式。然而这种表示方法存在明显的奇异性问题（也称为万向锁现象）。例如当俯仰角达到±90°时会出现此现象。此时不仅会使 roll 和 yaw 参数失去物理意义而且会导致系统仅失去一个独立的自由度。

5）四元数

• 四元数是一种无奇点性且避免了过度冗余的描述方式，并被用作描述三维空间中的旋转运动；它能够实现与其旋转向量之间的相互转换。
• 当处理时，在计算中将空间中的三维点表示为一个纯虚四元数形式\boldsymbol{p}。对其进行用单位四元数\boldsymbol{q}所定义的旋转操作，则通过应用该等式运算： \boldsymbol p' = \boldsymbol q \cdot \boldsymbol p \cdot \boldsymbol q^{-1} 来获得变换后的点坐标。

6）非欧式变换

• 相似变换：允许物体进行等比缩放操作，其比例因子s位于变换矩阵T中与旋转矩阵R相乘的位置。三维相似变换集合被称为相似变换群Sim(3)；
• 仿射变换：仅保证各面之间的平行性不变，并具有12个自由度。其中旋转矩阵R仅需满足可逆性条件即可；
• 射影变换：保留接触平面间的相交关系及切线属性不变。

3.2 实践部分