[学习笔记-SLAM篇]视觉SLAM十四讲ch4

这一章的数学概念涉及很多，梳理清楚很重要。

注：
1）学习视频：【高翔】视觉SLAM十四讲。

视觉SLAM十四讲

• 第4讲
• • 4.1 理论部分
  • 4.2 实践部分

第4讲

4.1 理论部分

涉及的概念众多，在核心位置上的是李群与李代数。
采用李群与李代数的原因是什么？
由于旋转矩阵带有约束条件导致优化困难；而通过使用SO(3)与SE(3)等特性，则能够将位姿估计问题转化为无约束优化问题。

1）李群&李代数基础

• 一种集合加上一种运算 的代数结构称为群，满足“封结幺逆”性质。之前所提及的特殊正交群SO(3)、特殊欧式群SE(3)，均是一种集合加上一种运算（矩阵乘法，这2个群均对加法不封闭）；
• 由李群引入李代数：首先我们有一个旋转矩阵\pmb{R}(t)，由其正交且行列式为1的性质，可得到\pmb{R}(t)\pmb{R}(t)^T=\pmb{I}，两边同时求导再移相，得知\pmb{R}\dot(t)\pmb{R}(t)^T=\phi(t)\hat{} 为反对称矩阵，变换得\pmb{R}\dot(t)=\phi(t)\hat{}\ \pmb{R}(t)，即旋转矩阵的导数为一个反对称矩阵与它本身的乘法 。随后对\pmb{R}(t)泰勒展开，引入t_0=0,R(t_0)=R_0=I，得\pmb{R}(t)\approx{I}+\phi(t_0)\hat{}\ (t)，令\phi(t_0)=\phi_0，得到\pmb{R}\dot(t)=\phi_0\hat{}\ \pmb{R}(t)，则\pmb{R}(t)=exp(\phi_0\hat{}\ t)（仅说明t=0附近）。\phi 就是对应SO(3)的李代数so(3)；
• 李代数由一个集合、一个数域和一个二元运算 组成。二元运算称为李括号；
• 李代数so(3)的元素是3维向量\phi（或者3维反对称矩阵\pmb\phi=\phi\ \hat{}，两者一一对应，不严格要求可以这么表述）；
• 李代数se(3)的元素是6维向量\xi（3维平移加3维旋转）（或者4维矩阵\xi\ \hat{}，同样矩阵与向量一一对应，但这里的反对称符号仅是扩充，不表示反对称）；
• 李群是具有连续性质的群（与离散相对应），李代数是一个单位元附近的正切空间，每个李群对应一个李代数。简单笼统地说，李群是一个矩阵集合，李代数是相对应的一个向量集合 。

2）指数与对数映射

• 根据前面的推导可知, 李代数求解李群可通过指数映射实现, 反过来, 李群求解其对应的李代数则需采用对数映射. 在简便运算中, 我们可直接利用迹来求取特定类型的李代数, 其相关内容可在第3讲中找到；
  • 李代数 so(3) 的物理意义是旋转向量\textit{[1]}；
  • 李代数 se(3) 的平移部分 \pmb{J\rho} 与对应的 Lie 群 SE(3) 的平移部分 \pmb{\rho} 相比, 前者多了一个雅可比矩阵 \pmb{J} 的缩放因子；
  • 在本书图4-1中对 Lie 群与 Lie 代数之间的对应关系进行了详细阐述.

注：
图片来源：从零开始一起学习SLAM | 为啥需要李群与李代数？。

3）李代数求导

对应公式exp(Δφ exp) R₁ exp(φ exp) = exp((φ + J_l^{-1}(φ)Δφ) exp)

4）相似变换群

• 相似变换群Sim(3)主要应用于单目视觉系统中。
  • 在单目视觉框架内，默认情况下从世界坐标系转换至相机坐标系时所使用的欧氏变换（仅包含平移和旋转）无法充分捕捉缩放信息。因此，在这种情况下通常采用带缩放比例的比例相似变换来进行建模。
  • 李代数sim(3)由七维向量ζ构成，在其前六维与se(3)完全一致的基础上新增了一个标量参数σ。

4.2 实践部分

待续ing