信号与系统公式笔记（2）
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这只是贫僧对一些比较难用的公式的记录。
LTI（线性时不变）系统的零状态响应被激励信号与单位冲激响应的卷积积分所等价地表现出来。数学上表示为：y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau。
卷积的时候可以套用的公式：
| 序号 | x_1(t) | x_2(t) | x_1(t) * x_2(t) = x_2(t) * x_1(t) |
|---|---|---|---|
| 1 | x(t) | \sigma(t) | |
| 2 | \sigma'(t) | x'(t) | |
| 3 | \mathrm{u}(t) | \int_{-\infty}^{t}x(\tau)\mathrm{d}\tau | |
| 4 | \frac{\mathrm{d}_1x(t)}{\mathrm{d}t} | \int_{-\infty}^{t}x_2(\tau) | x_1(t) * x_2(t) |
| 5 | \mathrm{e}^{\lambda t}\mathrm{u}(t) | \frac{1}{\lambda}(\mathrm{e}^{\lambda t} - 1)\mathrm{u}(t) | |
| 6 | t\mathrm{u}(t) | ||
| 7 | \mathrm{e}^{\lambda_1 t}\mathrm{u}(t) | \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\mathrm{u}(t) | \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2}(\mathrm{e}^{\lambda_1 t} - \mathrm{e}^{\lambda_2 t})\mathrm{u}(t), \lambda_1 \neq \lambda_2 |
| 8 | t\mathrm{e}^{\lambda t}\mathrm{u}(t) | ||
| 9 | \sigma_T (t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}\sigma(t - kT) | x_T(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}x(t - kT) | |
| 10 | t^n\mathrm{u}(t) | t^m\mathrm{u}(t) | \frac{m!n!}{(m+n+1)!}t^{m+n+1}\mathrm{u}(t) |
| 11 | \mathrm{sinc}(t) | ||
| 12 | \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} | \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}} | \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sigma_1 \sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \mu = \mu_1 + \mu_2, \sigma^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 |
其实最常用的还是\sigma做微分器和做积分器。
求冲激响应的补充：
其实，在计算冲激响应时我们实际上是在处理零状态响应问题。此时输入信号为冲击函数h(t),因此我们需要采用与求取特解相关的方法进行计算（但需要注意的是，在设定特解形式时应乘以单位阶跃函数\mathrm{u}(t),这具有明确的物理意义即表示信号仅在t=0时刻开始作用）。然而，在解决微分方程的过程中我们只需关注t>0的情况（即(t > 0)），因此在代入特解时不需在其末尾附加相应项（若不清楚相关内容可参考孙永宽等著《信号与系统》P72例2-11或郑君里等著《信号与系统》P54例2-5，并与P65例2-9对比）。最终目标在于通过代入零状态下的特解形式并求取齐次方程两边的系数来完成整个过程（这一关键步骤才是我们需要重点掌握的部分）。至于特征方程等基础工作则只是为了解决问题所做的前期准备工作而已。
备忘：
这个公式在求解的时候特别有用，必须要记得。
重点：LTI系统的零状态响应等于激励信号与单位冲激函数的卷积积分。
这一理论不仅能够用于计算系统在各种激励下产生的输出（实际上，在这种情况下直接解微分方程虽然可行但不够高效；相比之下使用卷积的方法更为便捷）。
我们可以将这一思路具体化：将输入分解为无数个冲激函数进入系统进行分析。
P80 例2-16
整理出所有要背的表格
例2-9
重要的例题：孙氏P90，例2-26
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