信号与系统公式笔记（9）——Z变换
仍然观看齐开悦博士制作的视频资源（https://www.bilibili.com/video/av5868266/?p=20），不过这次没有看完后便自行阅读书籍并进行了总结。（仍然认为阅读书籍比观看视频更为高效。）
重申一下：必须将课本中的例题复习一遍。尤其是其中的例子都配有详细的解析。值得注意的是孙国霞教授编著的相关教材缺乏配套的学习资料（此处应加上具体例子或数据），相比之下吴大正教授编著的相关教材更为推荐其课后习题均附有详细解答。做完这些练习之后能够清晰地发现自己在某些步骤上的疏漏或是思考错误因此这一路上走来的诸多困惑与收获（此处应加上具体例子或数据）。
首先回顾一下前面讲解的拉普拉斯变换：
相比傅里叶变换的应用范围更加广泛，在实际应用中仍然受到收敛域的制约（而傅里叶变换的限制条件是积分函数绝对可积）。为了保证积分结果的存在性，在计算时必须对\sigma施加一定的约束条件这就是收敛域的存在。
计算时必须附加相应的收敛域否则公式将失去意义（可能导致计算结果失效）。
单边拉普拉斯变换因其零状态与零输入解的优势而备受重视。
需要注意正负指数符号对收敛域方向的影响例如单位阶跃函数乘以指数因子e^{-at}并取其正值部分对应的拉普拉斯变换为\frac{1}{s + a}其收敛域为\text{Re}[s] > -a而当指数符号反转时对应的拉普拉斯变换表达式则为-\frac{1}{s - a}但此时其收敛域的方向也会发生反转即\text{Re}[s] < +a。
相对于傅里叶变换而言，拉普拉斯变换增加了初值定理和终值定理等基本性质，在其他方面具有相似性。
两阶导数对应的拉普拉斯域表达式为f^{(2)}(t)=s^2F(s) - s f(0_-) - f'(0_-)。
在进行拉普拉斯反变换时，请掌握部分分式展开法的相关技巧，在处理收敛域时需格外注意其对结果的影响。若题目未给出收敛域，则需逐一讨论不同情况下的逆变换结果。
在电路分析中应用拉普拉斯变换是一种高效的方法，请熟练掌握并应用到实际问题中，在处理不同元件（尤其是串联型元件）时需特别关注它们在s域中的模型表示。
对于周期信号f(t)，其拉普拉斯变换F(s)可表示为F(s) = F_1(s)\frac{1}{1-e^{-sT}} \quad Re[s] > 0，其中F_1(s)是主周期内信号对应的拉普拉斯变换结果。这一形式特别适用于逆向求解具有固定周期T的周期函数。
一些定义
必须牢记定义，在遇到问题时（比如疑惑为何答案如此以及记不清楚公式的困境中），可以通过回归定义/基本原理来进行推演（而这一推演过程亦能加深理解和记忆）。（其实质就是掌握基本原理与各相关公式的内在联系）
必须牢记定义，在遇到问题时（比如疑惑为何答案如此以及记不清楚公式的困境中），可以通过回归定义/基本原理来进行推演（而这一推演过程亦能加深理解和记忆）。（其实质就是掌握基本原理与各相关公式的内在联系）
·连续信号x(t)经过均匀冲激序列进行理想抽象后可以得到抽样信号x_s(t)：
x_s(t) 等于 x(t) 乘以 \sigma_{Ts}(t) ，即 x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sigma (t-nT_s) 。其结果为 x(nT_s)\sigma (t-nT_s) 的无限求和 。
对等式两边同时取拉普拉斯变换 ：
X_s 在时刻 s 的值等于从负无穷到正无穷对 x_s(t) 乘以指数函数 \exp(-st) 进行积分的结果；同样地，在另一个表达式中，从负无穷到正无穷对指数函数 \exp(-st) 和无限求和项进行乘积后再积分得到的结果也等于这一值。其中，在第二个积分中对无限求和进行了展开并进行了详细描述。
该式子需要注意的是其积分变量为t而非T_s；因此，在计算过程中x(nT_s)会被视为一个常数值。接着交换求和与积分运算的顺序，并利用冲激函数的采样特性即可得到以下结果：
X_s(s) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(nT_s)\mathrm{e}^{-snT_s}
随后，在拉普拉斯变换中实施的操作类似：使用一个新的变量来替代x之外的所有内容。
z = \mathrm{e}^{sT_s}
就可以得到
X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(nT_s)z^{-n}
这就是z变换，通常抽样的方式是均匀抽样，所以可以忽略掉T_s：
X(z) \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}
这里的定义主要基于冲激信号的采样特性展开阐述；值得注意的是\sigma(t)在任何变换过程中其结果均为1。该段定义主要基于冲激信号的采样特性展开阐述；值得注意的是\sigma(t)在任何变换过程中其结果均为1。
上面那种公式本质上属于双边Z变换的定义表达；若将其限定为单边情况（现实中通常采用单边形式），则这一定义便具有实际应用价值。
改写内容放在【
X(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}x(n)z^{-n}
考虑到在定义过程中采用了拉普拉斯变换的方法，因此正逆变换都可以用公式表示为：
X(z) = L[x(n)]\\ x(n) = L^{-1}[X(z)]
大写的X就是变换之后的像函数 ，小写的x对应的是原函数 。
所以可以看出，在拉普拉斯变换中出现的一些解题技巧同样可以在Z变换中应用。例如其中一种常用的方法是部分分式展开法不过需要注意的是，在使用这种方法时我们需要先对原函数x(n)进行适当的处理此外还可以考虑使用Z变换的一些特殊性质来简化运算过程。
z平面与s平面的映射关系
从上面定义的公式里面可以看出来z和s之间有这样的关系：
z = \mathrm{e}^{\sigma T_s}\quad s = \frac{1}{T_s}\mathrm{ln}z
将s采用直角坐标系进行表示，并将z采用极坐标系进行表示，则有s = \sigma + \mathrm{j}\omega, z = |z|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}。
z = \mathrm{e}^{sT_s} = \mathrm{e}^{(\sigma + \mathrm{j}\omega)T_s}
由于复数z表示为模与指数形式，因此：
模|z|等于指数函数\mathrm{e}^{\sigma T_s}。
由此可得：模的对数等于时间常数乘以采样周期，并进一步等于频率除以采样频率。
这表明数字角频率\Omega为模拟角频率\omega相对于采样率f_s的归一化结果。
上面这两张图片来自这里。
在本处的映射关系会在后续课程《数字信号处理》中被应用到。然而我们只需掌握基础知识就可以了。
收敛域
同一个X(z)可能与多个x(n)相对应。因此必须明确其收敛域以确定具体是哪一个x(n)。仅当明确了收敛域才能使公式保持有效意义。
收敛域的特性：
- 它们之间相互连通，在其内部不会有任何极点存在；这些区域是由极点所界定。
- 因此在整个复平面中通常成立；但在某些特殊情况下可能会出现例外。
- 因此在整个复平面中通常成立；但在某些特殊情况下可能会出现例外。
- 其余情况下的系统函数在单位圆之外具有良好的稳定性和频率响应特性；这种特性在单位圆之外具有良好的稳定性和频率响应特性。
- 其余情况下的系统函数在单位圆之外具有良好的稳定性和频率响应特性；这种特性在单位圆之外具有良好的稳定性和频率响应特性。
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
- 在这种情况下其收敛范围会缩小；
常用公式
上图来自孙国霞老师的《信号与系统》。
常用性质
上图来自孙国霞老师的《信号与系统》。
z反变换
反变换公式定义：
x(n) = \frac{1}{2\pi \mathrm{j}}\oint_{c}X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z
除非万不得已，通常不用定义式，而是：1. 长除法；2. 部分分式法（重点）
长除法
长除法很简单，直接给个例子自己体会：
部分分式法
部分分式法借鉴之前拉普拉斯变换内部的部分分式法，并且它们是相同的；因此，在这里仅举一例。
差分方程的变换解
其实在这里与拉普拉斯解微分方程类似, 主要区别在于有时需要运用迭代法来进行计算, 即, 在求解过程中需将原方程中的变量y(n)替换为具体的数值以计算相应时刻系统的输出. 但题目已经提供了所有必要的初始条件和边界值.
系统函数和冲激响应h(n)
其零状态响应等于激励与冲激响应进行卷积的结果。在Z变换中Zero-Response State（零状态响应）等于输入信号与其Impulse Response（冲激函数）之间的卷积结果，在数学上表示为：y_{zs}(n) = x(n) * h(n)其中该系统的System Function（系统函数）被定义为Zero-Response State与Input Signal的比值，在数学上表示为：H(z) = \frac{Y_{zs}(z)}{X(z)}需要注意的是，在所有Z变换分析中Zero-Response Transfer Function仅由System Characteristics决定，在本例中也是这样适用
此外需要注意的是，在解题过程中也需要特别注意以下几点：一是要在零初始状态下对差分方程两边进行单边z变换；否则可能会因为操作不够严谨而导致失分；因为在使用系统函数分析时通常已经假设初始条件为零（即处于静止状态），并且激励信号是因果性的（参考公式表中的相关内容）。如果不按照要求进行操作可能会导致分数扣减。
此外, 基于系统的固有属性决定了其功能基础, 因此, 可以通过其功能来识别其属性: 在分析时应依据其功能特征选择合适的分析手段.
参考资料
《信号与系统》孙国霞（基本上这篇博文里面的公式都是从这里来的，但就算是这样，贫僧还是要说，用吴大正的吧。。。目前这本书还没有习题解析之类的辅导书，所以自学用的话会比较麻烦，网上又不一定能找得到答案）
《信号与线性系统分析（第 4 版）》吴大正（贫僧其实是拿这本书当参考书来用了，看上面那一本书看不懂的时候就会看下面这一本，因为上面那一本总结的挺好，但是不适合初学者。贫僧觉得想要找到比较详细的解析的话还是看吴大正这本比较好）
齐开悦博士的视频（超有用。。。然而并不能代替刷题，如果是要考试的话该刷的还要刷，如果只是自学的话还是挺推荐的）
§4 Z 变换与拉氏变换的关系