金融数学笔记Chapter01

导论

一、金融数学

金融领域也被称为定量分析学或应用性数学。两次华尔街革命导致现代定量分析技术的发展与应用，并支撑了一门新兴的定量分析学科（Quantitative Analysis），即现代定量分析学。

第一次华尔街变革是由马科维茨提出的资产组合理论体系或框架；而第二次变革则以Black-Scholes模型为核心。

• 数论是由现代代数系统演化而来的重要分支之一，在信息科学领域发挥着关键作用。
• 数学是对现实世界空间形式与数量关系的知识体系。
• 金算术作为一门交叉性学科，在理论与应用层面均具有重要价值。
• 数理统计则专注于数据收集与分析的方法论研究。
• 统计推断则是基于样本数据对总体特征做出推断分析的技术流派。

它们之间的差别并不显著。在风向管理方面,主要依赖定性的分析方法,但在金融市场操作中,则需要将各种工具和策略综合运用在一起。

涉及到的三个方面：

• 设计金融产品
• 对设计出来的产品进行定价
• 对金融产品进行管理

金融数学的内容

金融数学的核心研究领域是风险管理与投资决策的基础性工作（涉及具有不确定收益的投资品——即风险资产以及其衍生金融产品），其核心任务是设计有效的定价机制并制定科学的投资策略以实现财富的最大化配置。其核心理论体系主要包括：

1. CAPM模型
2. 套利定价理论
3. Black-Scholes期权定价模型
4. 现代投资组合理论

金融数学主要内容：资产定价 、风险管理

核心：期权定价理论

结论：金融数学研究的主要内容：资产定价和风险管理 。

金融数学的研究工具

金融数学的主要工具包括随机分析与数理统计（非线性时间序列分析）。掌握金融数学需要具备扎实的随机分析基础。学习随机过程是通向深入理解随机分析的关键环节。尽管两者都涉及概率论体系构建与应用研究领域，在研究重点上存在明显差异：概率论作为数理统计的基础理论支撑系统，在推动统计方法发展方面发挥着不可替代的作用；而随机过程则主要聚焦于动态系统建模与状态演变规律探索方面；在理论推导能力培养方面，则侧重于建立严谨的概率空间与测度体系；模型构建完成后，则需运用数理统计方法对参数进行精确估计等多维度要求

金融市场是一个高度复杂化的系统工程

概率论是数理统计的基础理论支撑系统

模型建立后要靠数理统计进行参数估计

金融市场是一个高度复杂的系统工程

金融数学的研究方法：

• 规范金融数学
• 实证金融数学

规范金融数学体系：作为一门系统性学科，其核心在于着重应用高级数学理论、最优化方法、概率论以及微分方程等工具对金融原理进行严谨推导与分析。其中，华尔街革命可被视为这一理论体系的经典实践。

实证金融数学：主要运用统计学、计量经济学以及时间序列分析等学科知识对相关金融理论进行验证，并以获得一些实际应用的结果。如资产定价模型和行为金融学等领域的实证研究

二、金融数学的发展历程

金融数学大致可分为三个时期：

时期	代表人物
第一个时期：发展初期	K.Arrow、G.Debreu、J.Lintner、H.M.Markowitz、w.Sharp、F.Modigliani
第二个时期(黄金时期)：1969-1979	R.Merton、F.Black、M.Scholes、J.Cox、S.Ross、M.Rubinstein、S.Lekoy
第三个时期：1980至今	D.Duffie、I.Karatzas、J.Cox、C.F.Huang

在1900年之前, 法国学者Louis Bachelier在其一篇关于金融投机的论文中就已经开始运用随机过程工具进行研究, 用于当时缺乏实物支撑的金融衍生资产定价问题, 然而该论文并未引起当时人们的广泛关注.

Ross（1976a）在该领域的研究同样具有重要意义。20世纪70年代最重大的事件无疑是Black和Scholes（1973）创立了简单的期权定价公式。此外,Merton（1973b）对该定价公式的进一步发展和完善也做出了重要贡献。

Harrison与Kreps（1979）建立了股价定价模型的鞅价格理论（theory of martingale pricing），这一体系至今仍是金融学领域的研究热点。（此外，另一条主要路径涉及偏微分方程方法的研究。）

第三个阶段虽然成果频出，但真正发展的阶段还是在于第二个阶段。

1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。

金融数学两条路线：鞅理论 和偏微分方程 。

金融数学在我国的发展

我国的金融数学研究始于1993年，在这一年的初春彭实戈教授基于'倒向随机微分方程'理论提出了开创性研究成果，并将其成功应用于金融市场分析与管理中

彭实戈出生于1947年12月8日，并拥有三项主要的研究成果：「倒向随机微分方程」、「非线性Feinman–Kac公式」以及「随机最优控制的一般最大值原理」；

在1984年4月期间，在法国数学家Pardoux教授的指导下共同开拓了「倒向随机微分方程」领域的先驱性研究。

国内在金融数学领域知名人物：

彭先生
姜礼尚先生
宋逢明先生
史树中先生
金治明先生,国防科技大学,学者
三个重要的科技文献检索系统分别为：SCI、EI、ISTP.

在金融数学专业领域内，我国实力较强的高校群体包括北京大学（简称北大）、南开大学（简称南开）、复旦大学（简称复旦）、四川财政学院（简称西南财大）以及西交利物浦大学

金融数学：美国、香港、加拿大

金融数学：金融+数学+计算机

参考书：

1.Yee-Koon Kwok所著的《金融衍生品的数学模型》（第二版）于2010年由Springer出版。

2.Stampfli与Goodman合著的《数学金融学：建模与对冲》于20世纪初由人民邮电出版社出版。

3.张寄洲担任译者，《金融数学教程》一书由人民邮电出版社出版。

4.冉启康担任译者，《数理金融初步》一书由机械工业出版社出版。

5.郑振龙与陈蓉合著，《金融工程》第三版一书由高等教育出版社出版。

6.John·Her（约翰·赫尔）所著的《期权、期货和其他衍生品》第10版于20xx年由清华大学出版社出版。

三、金融数学的结构框架

金融数学结构框架

第一章

第一节 微积分在数理金融中的应用

一、指数和对数函数的应用

(一) 连续复利和实际利率

一年后：
A_1 = P + P\times r=P(1+r)
两年后：
A_2 = P(1+r)^2
m年后：
A_m = P(1+r)^m

每半年计算一次利息：
A = P\left(1+\frac{r}{2}\right)^2
当计息间隔逐渐减小时，则一年内计息m次：
A = P\left(1+\frac{r}{m}\right)^m
求极限过程得出：
\lim_{m\to+\infty}P\left(1+\frac{r}{m}\right)^m=Pe^r
经过t年后：
A=Pe^{rt}

1元, 年利率为r, 一年后：
e^r
t年后：
e^{rt}

t = n 时，1元，则零时刻现值为e^{-rn}

例1：请求出本金为100元，在利率为10%的情况下两年后的终值。（1）每年进行一次复利；（2）每个半年期进行一次复利；（3）持续地进行复利计算。

解答

(二) 实际利率和名义利率

P(1+i_e)^t = P \left (1+ \frac{i}{m} \right )^{mt}
i_e = \left (1+ \frac{i}{m} \right )^m -1
i_e = e^i -1

例2：名义利率为10\%, 期限为2年，求：(1).复利两次 (2).连续复利. 的实际利率。

解答：(1). i_e = \left (1+\frac{i}{m} \right)^m - 1=0.1025; (2).i_e = e^r-1=0.105171.

第三节 随机过程在数理金融中的应用

一 、随机过程的含义

1.当我们对变化全过程进行一次全面的观察时, 我们会获得一个与时间和位置相关联的函数x_1(t). 如果我们再对这个过程进行另一次全面的观察, 将会获得另一个函数x_2(t), 如此类推, 最终形成了一系列不同的函数.

2.当我们选择任意时刻t来进行位置观测时, 观测结果x(t)就是一个随机变量. 因此, 对于每一个特定的时间点t, 都有一个对应的随机变量X(t). 这样一来, 我们便构建了一个随时间发展的随机变量族\{X(t), t \geq 0\}（初始时刻为t=0）, 其中每一个成员都描述了系统随时间演变的过程.

定义1 设给定一个概率试验E其样本空间为\Omega = \{\omega\} 参数集合T \subset (-\infty, +\infty) 对于每一个\omega\in\Omega 都存在一个对应的具体实例即确定的时间函数X(\omega, t) 这样当遍历所有可能的\omega\in\Omega时 就会形成一个时间t上的函数族 我们将其称为随机过程 而这个函数族中的每一个成员则被称为该随机过程的具体实现或者样本路径（一次实现）。

定义2 设称概率空间为(Ω,F,P)是一个随机实验，则其样本空间记作\Omega = \{\omega | ω ∈ S\},其中参数域T⊆(−∞,+∞).若对于任意t∈T,存在定义在样本空间\Omega上的可测函数（或称为随机过程变量）, X(ω,t)，使得对于每一个固定的t, X(ω,t)都是一个随机变量，则称族{ X(ω,t), t∈T ) | ω ∈ Ω }构成一个随机过程.为了简便起见,该族常被简记为{ X(t), t∈T ) },其中t∈T.有时也会直接写作单变量形式的表示方法,即写作{ X(t) | t∈T }$

1.随机现象 X(t) 基于 \Omega \times T 这一域域进行建模，在理论分析中主要遵循定义2这一原则，在实际应用操作中则采用定义1作为基础依据。

通常将随机过程X(t)视为一个物理系统，在时间点t时能够描述系统所处的状态阶段。所有可能的状态集合即为状态空间I；对于任意指定的时间点t_0

可以通过下图来直观的理解随机过程的概念：

以下作为例子，投掷一枚硬币的实验定义如下：
X(t) ≜ \begin{cases} \cos(\omega t), & e ∈ H \\ t, & e ∈ T \end{cases}

latex等号

二、随机过程分类

• 根据 I 和 T 的属性是否为可数集或连续集进行划分方法：持续性随机序列（当I或T为连续集）、分立性随机序列（当I和T皆为可数集）。
  • 根据其分布特征进行划分：
    • 独立增量模型
    • 马尔科夫性质体现
    • 平稳状态

三、随机过程的概率分布

1. n维分布函数

称\{X(t),t\in T\}为一个随机过程，并给定任意整数n\geq1以及参数集T中的n个不同取值t_{1},t_{2},\cdots,t_{n}时，则定义此概率关系为该随机过程在时刻t_{1},t_{2},\cdots,t_{n}处的状态不超过x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}的概率分布函数，并将其记作：

F_{X}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};t_{1},t_{2},\cdots,t_{n})=P\left(X(t_{1})\leqslant x_{1}),X(t_{2})\leqslant x_{2}),\cdots,X(t_{n})\leqslant x{n}\right)

特别地，在文献中通常将由这些有限维分布函数共同构成的整体则定义为该随机过程的有限维分布族

2.随机过程的数字特征

1. 均值函数：\mu_X(t) = E[X(t)]
2. 均方值函数：\varPsi_X^2(t) = E[X^2(t)]
3. 方差函数: \sigma_X^2(t) = D_X[X(t)]
4. 协方差函数: C_X(s,t) = Cov(X(s),X(t)) = E\{[X(s) -\mu_X(s)][X(t) - \mu_X(t)] \}
5. 自相关函数:R_X(s,t) = E[X(s)X(t)]

期望：均值; 方差: 波动程度.

3.诸数字特征的关系

\varPsi_X^2(t) = R_X(t,t),C_X(s,t)=R_X(s,t) - \mu_X(s)\cdot \mu_X(t)

令随机过程 X(t) = Y\cos(\omega t) + Z\sin(\omega t) 定义于t \ge 0时域内。其中随机变量Y和Z相互独立，并且满足期望值均为零、方差均为\sigma^2. 并求解该随机过程的均值函数\mu_X(t)及其自相关函数R_X(s,t).

解答：
\mu_X(t) = E[X(t)] =E[Y\cos\omega t + Z\sin\omega t] =\cos\omega t \cdot E(Y) + \sin\omega \cdot E[Z]=0
R_X(s,t)
=E[X(s)X(t)]
=E\{ [Y\cos \omega s +Z\sin \omega s][Y\cos \omega t + Z\sin \omega t] \}
=E\{ Y^2\cos\omega s \cos \omega t +YZ[\cos\omega s \sin \omega t +\cos\omega t \sin \omega s] + Z^2\sin\omega s \sin \omega t \}
=\cos\omega s\cos \omega t E(Y^2) + \sin \omega s\sin \omega t E(Z^2)
=\sigma^2[\cos \omega s \cos \omega t +\sin \omega s \sin \omega t]
=\sigma^2 \cos\omega (s-t)

分析随机过程 X(t) = a\cos(\omega t + \Theta) 在时间域 t \in (-\infty,+ \infty) 内的行为特性。其中a与\omega被视为常数参数，在区间(0,2 \pi)上遵循均匀分布的随机变量\Theta对该系统施加影响。一般而言，这类随时间推移而变化的过程通常被描述为具有确定性成分与随机波动性的结合体。本题要求计算该类过程的时间平均统计特征及其自相关特性。

证明：随机变量\Theta的概率密度函数为
f(\theta) = \left \{ \begin{array}{l} \frac{1}{2 \pi},\theta \in (0,2 \pi) \\ 0,\theta \notin (0,2 \pi) \end{array} \right.
接下来计算期望值\mu_X(t)：
\mu_X(t) = E[X(t)] = E[a\cos(\omega t + \Theta)]
根据概率密度函数f(\theta)可得：
\mu_X(t) = a\int_0^{2\pi} \cos(\omega t +\theta)\cdot\frac{1}{2\pi} d\theta = 0

计算相关函数R_X(s,t)：
R_X(s,t) = E[X(s)X(t)]
= E[ a^2\cos(\omega s +\Theta )\cos(\omega t + \Theta)]
利用三角恒等式展开后可得：
R_X(s,t)=a^2\int_0^{2\pi} [\frac{\cos[\omega(s-t)] + cos[ω(s+t)+2θ]}{2}] · \frac{1}{2π} dθ
其中交叉项积分为零，则有：
R_X(s,t)=a^2/2·cos[ω(s-t)]

最后计算方差\sigma_X^2(t)：
σ_X²(t)= R_X(t,t)-μX²(t)=a²/2

案例3：考虑随机过程X(t) = Y + Zt其中时间参数t∈T=(-∞,+∞)，变量Y,Z相互独立且均服从标准正态分布\mathcal{N}(0,1)，求解该随机过程在任一时刻$t∈T的一维概率密度函数

解答：
对于所有t \in T ，基于正态分布的特性可知：随机变量X(t)服从正态分布。
其期望值为零：

E[X(t)] = E[Y] + tE[Z] = 0

其方差等于一加$t平方乘以方差Z：

D[X(t)] = D(Y) + t^2 D(Z) = 1 + t^2

由此可得：

f(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi (1 + t^2)}} e^{-\frac{x^2}{2(1 + t^2)}}

四、二维随机过程

称X(t),Y(t)是在同一个样本空间\Omega和参数集T上定义的随机过程。对于任意t\in T及其对应的值(X(t), Y(t))

二维随机变量的数字特征

• 互相关函数：R_XY(s,t) = E[X(s)Y(t)]
  若互相关函数为零, 称两个随机变量是正交的.

几类随机过程

严平稳随机过程 : 设随机过程X(t), 若对所有值h和任意正整数n, 使得这两个n维向量\left(X(t_1),\cdots,X(t_n)\right)和\left(X(t_1+h),\cdots,X(t_n+h)\right)的概率分布相同, 则称该随机过程具有严格的平稳性, 并被称为严格平稳的过程.

严平稳随机过程的数字特征. (略过)

弱平稳过程 : 设X(t)为二阶矩过程（即满足E[X^2(t)] < +\infty），其均值函数为常数\mu_X（与时间无关），即对所有t \in T及任意\tau \in T有t+\tau \in T。

独立增量过程 : 令X(t)是一随机过程, 当\leq s < t时, 我们将随机变量X(t)-X(s)定义为此随机过程在时间区间s,t上的增量.

给定任一正整数n和满足t_0 < t_1 < \dotsb < t_n条件的一系列时间点，在该时间序列上定义的随机变量序列\{X(t_i)\}_{i=0}^n被定义为一个独立增量过程的前提条件是：对于所有的i=1,2,\dotsc,n-1值，在区间(t_{i-1},t_i)上的增量\Delta X_i = X(t_i) - X(t_{i-1})都是相互独立的随机变量

独立增量过程X(t) 在 X(0)=0 的条件下, X(t) 的协方差函数为 C_X(s,t) = D_X( \min (s,t)).

维纳过程(布朗运动) : 给定二阶矩过程\{ W(t), t \ge 0 \}, 如果:

• 1.遵循平稳独立增量特性;
• 2.对任意的 t > s \ge 0 , W(t) - W(s) 服从正态分布 \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s));
• 3.W(0)=0

则称此过程为维纳过程. 当\sigma^2 =1时, 过程称为标准布朗运动.

维纳过程的性质:

处处连续, 处处不可导.

维纳过程W(t) 是正态过程（每一个有限维子过程均为正态分布）。\alpha W(t) \sim \mathcal{N}(0, \alpha^2 \sigma^2 t)

维纳过程的期望函数、自协方差与自相关系数分别为其期望函数恒等于零；在任一时刻s和t上其自协方差与自相关系数相等；并且它们都等于\sigma^2 \min(s,t)

鞅过程

\left (\Omega, \mathscr{F},P \right )

• 基本事件空间\Omega
  • 信息域\mathscr{F}
  • 概率分布P
  • 到t时刻为止的信息集合\mathscr{F}_t

定义：随机过程 X_{n} 被称为关于 Y_{n} 的下鞅（submartingale），其满足以下条件：对于所有整数 n \geq 0，随机变量 X_{n} 是可测于 \sigma(Y_{0}, Y_{1}, \dots, Y_{n})} 的；并且期望值 \mathbb{E}[|X_{n}^{+}] < +\infty}；此外还满足条件 \mathbb{E}[X_{n+1} | Y_{0}, Y_{1}, \dots, Y_{n}] \geq X_{n}}}，其中 X_{n}^{+} = \max(0, X_{n})}。类似地，随机过程 X_{n} 被称为关于 Y_{n} 的上鞅（supermartingale），其满足类似的可测性条件以及 \mathbb{E}[|X_{n}^{-}] < +\infty}；但同时满足 \mathbb{E}[X_{n+1} | Y_{0}, Y_{1}, \dots, Y{n}] \leq X{n}}}（其中 X{n}^{-} = -\min(0, X{n})}）。

设随机过程{X_n, n \geq 0}既是{Y_n, n \geq 0}的上鞅又是其下鞅，则称{X_n, n \geq 0}关于{Yn,n≥0}是一个鞅。此时有期望值关系式满足E[X_{n+1}|Y_0,Y_1,…,Yₙ] = Xₙ

• 伊藤(Ito) stochastic integral:
  \int X(\tau)\,\mathrm{d}B(\tau)
  令增量 \Delta B_t(j)=B_{t_{j+1}} - B_{t_j} ，其中 j=0,1,2,\dots,n-1 。
  定义微分元素 \mathrm{d}B_t(j)\overset{\Delta}{=} \lim_{{\Delta t}\rightarrow 0}\,\Delta B_t(j) ，其中 {\Delta t}=t_{j+1}-t_j 。

伊藤型随机过程：基于概率空间(\Omega,\mathscr{F},\mathscr{P})上构建的随机过程（s.p.）。当X(t)=X(0)+\int_0^t U(s) \mathrm{d}s + \int_0^t V(s) \mathrm{d}B(s)时, 该过程可表示为上述形式；此外还可以通过以下方式表示:

\rm{d} X(t) = U(t)\rm{d} + V(t)\rm{d}B(t), 其中B(t) 为布朗运动.
称为随机微分方程(SDE)

结论: \rm{d} B(t) \rm{d} B(t)=dt, \rm{B(t)} \rm{d}t = 0

鞅: 公平赌博. 可以参考高等概率论.

作业: 简述金融数学的发展历程.

伊藤定理

假设随机过程X_t满足微分方程dX_t = b(X_t,t)\,dt + \delta(X_t,t)\,dB_t,其中函数y = f(X_t,t)具有连续的偏导数f'_t, f'_x, f''_{xx}。定义新的变量Y_t = f(X_t,t),则其微分dY_t可表示为$$
dY_t = \left(f'_t(X_t,t) + b(X_t,t)f'x(X_t,t) + f''{xx}(X_t,t)\right),dt + \delta(X_t,t)f'_x(X_t,t),dB_t

**伊藤定理的另一个版本** 设$dX_t=U(t)dt+V(t)dB_t$且$g(\cdot)$具有二阶连续偏导数，则定义$Y_t=g[t,X_t]$时有： $dY_t=\left[\frac{\partial g}{\partial t}+U\cdot\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{1}{2}V^2\cdot\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}\right]dt+V\cdot\frac{\partial g}{\partial x}dB_t$ 或者 $dY_t=g_{t,t}dt+g_{t,x}dx+\frac{1}{2}g_{x,x}(dx)^2$ > > > 例1：设$g(t,x)=1/2 x^2,X = B(t)$, 计算$\rm{d}Y(t)$ > > > 设$g(t,x)=\frac{1}{2}x^2$， > 其中$g_t=0$， > $g_x=x$， > $g_{xx}=1$。 > 根据伊藤公式： > > > $\mathrm{d}Y(t) = \mathrm{d}\left(\frac{1}{2}B^2(t)\right) = g_t\,\mathrm{d}t + g_x\,\mathrm{d}x + \frac{1}{2}\,g_{xx}\,(\mathrm{d}x)^2$ > > > 即： > > > $0\times\mathrm dt + x\,\mathrm dx + \frac{\!1}{\!2}\,(\mathrm dx)^{\!2} = B(t)\,\mathrm dB(t) + \frac{\!1}{\!2}\,\mathrm dt$ > > > 例2: $Y(t) = exp(B(t) - \frac{t}{2})$, count $\rm{d}Y(t)$ > > 解答 例子3：股票价格 $S_t$遵循随机微分方程$\rm{d}S_t = S_t \mu \rm{d}t + S_t \sigma \rm{d}B(t)$求解其分布情况。其中$\mu$代表收益率, $\sigma$表示波动率 > > > 解答：$set g(t,S) = \ln S,we have g_t = 0,g_S = \frac{1}{S},g_{SS}=-\frac{1}{S^2}$ > 由伊藤定理: > $\rm{d}g = g_t \rm{d}t + g_S\rm{d}S + \frac{1}{2} g_{SS}(\rm{d}S)^2 = (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)\rm{d}t + \sigma \rm{d}B(t)$ > 积分有： > $\ln S_t - \ln S_0 = \int_0^T (\mu -\frac{\sigma^2}{2})\rm{d}t + \int_0^T \sigma \rm{d}B(t) = (\mu - \frac{\sigma^2}{2})T + \sigma B(T)$ > $\Rightarrow S_T =S_0 exp \left [(\mu - \frac{\sigma^2}{2})T + \sigma B(T) \right]$ > > $\mathscr{A,B,C,D,E,F,G.H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z}$ $\mathcal{A,B,C,D,E,F,G.H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z}$