4.5 自行车模型的横向动力学（第四章 车辆的动态建模）
4.5 自行车模型的横向动力学
（Lateral Dynamics of Bicycle Model）
在之前的课程中深入探讨了汽车纵向运动学，在本次课程中我们将详细研究基于自行车模型构建四轮车辆的动力学分析
学习目标：
- 基于自行车运动学模型的起始点，构建汽车的动力学模型
- 将汽车动力学模型表述为适合于横向控制设计的标准状态空间形式
- 利用运动学自行车模型作为基础开发汽车动力学模型，并将其表示成适用于侧向控制设计的标准状态空间形式
我们希望通过放宽运动学模型中的无滑移条件及施加力来实现从运动学向动力学模型的延伸，在全面的动力学自行车系统中维持了两项核心维度: 首先是纵向航向上的动态平衡状态, 其次是横向垂直于航向的方向性动能维持。
就而言之，在分析横向车辆模型时, 我们关注着基于运动过程中对车辆施加的影响力矩来构建其旋转速度（angular velocity）的一阶动态模型.
为了开始对自行车模型进行横向动力学建模，需要做以下假设:
首先，在假设正向纵向速度为常数的基础上进行建模分析。这种设定有助于将横向与纵向动态模型之间相互独立化处理，并显著简化了建模过程。然而，在加速或减速过程中遇到曲线时，则会导致建模精度受到影响。
其次，在与运动学自行车模型相仿的情况下，“前后车轴左右两边的轮子被集中到同一个位置”。这种简化处理使得四轮自行车模型得以转换为两轮自行车模型进行分析研究。
最后，在实际应用中，“其他非线性影响因素如悬架运动、道路倾斜以及空气动力学效应等都可以被简化处理而不影响结果”。例如悬架运动可能会对轮胎力产生显著影响，在某些特殊工况下这是一个合理的简化假设；但对于大多数应用场景而言这一假设已经能够满足工程计算的需求。
采用车辆重心作为动力学模型的参考点，并由于该选择简化了牛顿第二定律的应用。惯性坐标系中的总加速度定义为其a_y值，则包含有车身坐标系中的横向加速度：即y坐标的二阶导数值及其因车辆旋转而产生的向心加速度项：ω²乘以半径R。
这些表达式由滑移角的导数以及航向变化率构成：β的一阶导和ψ的一阶导数。根据滑移角的定义V = ω·R，并且有ω = dψ/dt这一关系式来进行表示。
横向动力学模型的基础方程源自影响动力学的因素包括前后轮施加的横向力。车辆在纵向方向的速度保持不变，并仍用V表示。质量则被定义为m。
角加速度即ψ的二阶导数值。由反向作用于车轮的动力所导致之合力矩与惯性效应相结合后，则形成一个关于\psi''（即\psi的二阶导数）的一元二次方程。其中参数L_f与L_r分别代表从前轴中心至前轮与后轮的距离。
在车辆动力学建模或轮胎系统中作为核心元素的一环。
轮胎的动力学特性往往难以精确预测。
大多数轮胎模型具有非线性特征，并且通常基于经验进行参数识别。
本模块的最后一讲将深入分析几种常见的轮胎力学模型。
值得庆幸的是，在正常的驾驶条件下……
这种线性近似方法通常仅在滑移角较小的情况下有效。
轮胎力被视为以slip angle为自变量的linear variation函数，并且这种建模关系在特定的应用场景下具有显著的有效性。在控制系统设计中采用线性轮胎模型时，必须确保所施加的steering inputs不超出这个small slip angle assumption。为了实现基于这些linear tire models的analysis和simulation目标，在定义前轮和后轮的side slip angles α_f和α_r时必须满足严格的条件。
这些相关参数在定义上与车辆滑移角β一致,但具体来说,则基于车辆相对于车轮方向以及车轮中心的速度参数来进行定义。
轮胎的转弯刚度取决于其在转弯过程中对抗变形能力的能力。这张图表表明轮胎侧向力与滑移角之间的关联性。这条曲线在零点处的斜率被称为转弯刚度系数，并标记为C_y。
从较小侧滑角（通常在8度以下）的测试图表中可见的是这一关系几乎呈线性变化。我们定义C_f和C_r分别代表前轮和后轮在自行车模型中的线性化转弯刚度参数。
由此可见，在前后轮上所作用的侧力之间的关系与各个轮胎的转弯刚性相关联：即C_y与滑移角\alpha相乘的结果形成了这种关系。从而可以通过车辆自身的滑移角\beta、转向角\delta、纵向速度V以及偏航率等参数来重新确定轮胎上的滑移角\alpha。
采用轮胎的力滑移方程进行代入后，则可更新先前建立的自行车侧移模型的动力学方程。从而导出一对耦合的常微分方程来描述动力学行为主要由左侧变量决定——这些变量分别代表了车辆滑动角随时间的变化速率以及偏航角速率。请注意这些左侧变量的具体定义。基于上述推导过程中所做的若干近似与假设,由此建立的动力学模型呈现线性特性
我们可以通过状态向量X_{\text{lat}}来描述系统的运动参数y、滑移角\beta、偏航角\psi以及偏航率\dot{\psi}等动态参数。该系统的动态行为遵循如下标准状态空间方程：其中X_{\text{lat}}的时间导数等于矩阵A_{\text{lat}}与状态向量X_{\text{lat}}的乘积再加上控制输入b_{\text{lat}}与δ_ψ的一阶导数项。
当正向速度V恒定时，在系统的动力学模型中A_lat与B_lat均为固定值。此时系统的主变量为驾驶员转向指令δ delta。该动态模型便于开发多种侧向运动控制方案如PID或MPC等方法。该模型的线性属性使其适用于卡尔曼滤波器的状态估计，在课程二中将详细讲解
在本节课中, 我们主要学习了如何将运动型自行车转变为动态型自行车, 接着推导出其横向动力学, 并采用状态空间形式进行建模. 在下一节内容中探讨汽车驱动系统建模, 并涵盖油门、刹车及转向机制.