UA OPTI570 量子力学26 无自旋的氢原子
UA OPTI570 量子力学26 无自旋的氢原子
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- 哈密顿量与本征函数
- 氢原子能量本征态
哈密顿量与本征函数
本次课程探讨spinless氢的情况，在氢原子结构中仅包含一个电子e^-和一个质子p^+；它们之间的库仑势由下式给出：V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}
暂不考虑电子和质子的自旋效应，在分析单一氢原子系统的哈密顿量及其演化的规律时，默认假设它们的质量远大于电子的质量，并且相互之间的电荷作用可由库仑定律描述。这种情况下所建立的模型相对较为简便，并且其计算结果能够准确反映实际物理过程的基本特征
由于m_{e}\ll m_{p}, 其中\mu≈m_{e}. 记 e_{ 0} =\dfrac{ e^{ ^{ } }}{4πε_{ _{ }}}} , r=|\bvec r| . 在位置表象中, $\bvec p^{ ^{ }}= ( iℏ∇ ) ⋅ ( iℏ∇ ) = -ℏ^{ ^{} } ∇^{ ^{} }. 因此，在该框架下哈密顿算符可表示为
它的本征函数满足
H \psi_{n,l,m}(r ,\theta,\phi)=E_n \psi_{n,l,m}(r ,\theta,\phi)
其中n,l,m被称为quantum numbers，n \ge 1, 0 \le l
对于本征函数的解来说，请注意以下内容：You can’t manage to solve mathematical equations without a professional in mathematics assisting in solving them.
E_n=-\frac{E_I}{n},E_I=\frac{m_ee_0^4}{2 \hbar^2} \approx 13.6 eV
定义为氢原子的第一电离能。
具有如下的形式：
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_l^m(\theta,\phi)
引入a_0=\frac{\hbar^2}{m_ee_0^2}\approx 5.29 \times 10^{-11}m，\rho=\frac{2r}{na_0}，
R_{n,l}(r)=\sqrt{\left( \frac{2}{na_0}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+1)!]^3}}e^{-\rho l z}\rho^l (-1)^{2l+1}\left( \frac{d}{d \rho} \right)^{2l+1} \left( e^{\rho}\left( \frac{d}{d \rho} \right)^{n+l} e^{-\rho}\rho^{n+l} \right)
其中(-1)^{2l+1}\left( d/d\rho\right )^{2l+1}[e^\rho(d/d\rho)^{n+l}e^{-\rho}\rho^{n+l}]被称为 Associate Laguerre 多项式，在此被定义为满足特定微分方程的函数序列；而Y_l^m(\theta,\psi)=e^{iml}(-1)^m(\sin^2\theta )^{m/2}乘以\left(d/d\cos\theta\right )^m[\frac{1}{2^ll!}(d/d\cos\theta )^l(\cos^2θ−1 )^l]也被定义为球谐函数的一种形式
其中\left(-1\right)^m\left(\sin^{2}\theta\right)^{\frac{m}{2}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\cos\theta}\right)^m\left[\frac{1}{2^{l}l!}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\cos\theta}\right)^l\left(\cos^{2}\theta-1\right)^l\right]被称为associated Legendre多项式。R_{n,l}与Y_{l}^{m}均为标准化函数因而
氢原子能量本征态
\psi _{n,\ell ,m}实际上对应于CSCO \{ H, L^{2}, L_z \} 的本征函数，
H\psi _{n,\ell ,m} = -\frac{E_I}{n^{2}} \cdot \psi _{n,\ell ,m},
L^{2}\psi _{n,\ell ,m} = \hbar ^{2}\ell (\ell +1) \cdot \psi _{n,\ell ,m},
L_z\psi _{n,\ell ,m} = \hbar m \cdot \psi _{n,\ell ,m}
这表明三个测量算符及其测量值均可精确标识一个量子数，
因此量子态|\psi_{n,l,m} \rangle通常简称为|n,l,m\rangle，
进而得出氢原子的能量与角动量的本征方程：
H|n,l,m\rangle = -\frac{E_I}{n^2}|n,l,m\rangle
L^2|n,l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|n,l,m\rangle
L_z|n,l,m\rangle = \hbar m|n,l,m\rangle
Ground state为|1,0,0 \rangle，波函数为
\psi_{1,0,0}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-\frac{r}{a_0}}
基于这一波函数，在r \in [0, a_0]区间内出现的概率密度最大。我们将其定义为Bohr radius，并指出其意义是未激发态氢原子核周那团概率云的半径。在此情况下，电子不具有轨道角动量。另外，在本征态描述中可以看出其与化学中的原子轨道符号具有对应关系：其中n表示第n能级；而l则代表该能级对应的轨道角动量量子数。
