UA OPTI570 量子力学23 角动量基础

UA OPTI570 量子力学23 角动量基础

• • 角动量的定义
  • 角动量的表象
  • 在位置表象下讨论经典力学中角动量的定义

量子力学中的角动量分为两种，分别是orbital angular momentum与spin angular momentum，其中orbital angular momentum用符号\textbf L表示，它具有与经典力学中的角动量等价的定义；spin angular momentum用符号\textbf S表示，它表示所有的基本粒子的固有角动量，另外我们用\textbf J表示系统到的总角动量，\textbf J = \textbf L + \textbf S，用\textbf I表示原子核的spin angular momentum，并用\textbf F表示考虑上原子核的总角动量，\textbf F=\textbf L + \textbf S + \textbf I。这一讲主要介绍\textbf J的性质。

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角动量的定义

先给出\textbf J的定义：量子力学中角动量是一个三元组\textbf J=(J_x,J_y,J_z)，这个三元组满足：

1. [J_x,J_y]=i \hbar J_z
2. [J_y,J_z]=i \hbar J_x
3. [J_z,J_x]=i \hbar J_y
4. \textbf J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2

评注 可以发现这个三元组并不是compatible observables，并且\textbf J没有本征态。量子力学中角动量的公理化定义是从经典力学中总结而来的，经典力学中角动量的定义为\textbf L = \textbf r \times \textbf p，以L_x,L_y为例，
L_x=yp_z-zp_y,L_y=zp_x-xp_z

将物理量视为算符，并计算[L_x,L_y]：
\begin{aligned} [L_x,L_y] & = [YP_z-ZP_y,ZP_x-XP_z] \\ & = [YP_z,ZP_x]+[ZP_y,XP_z ]\\ & =Y[P_z,Z]P_x+X[P_z,Z]P_y \\ & = -i\hbar YP_x+i\hbar XP_y \\ & = i\hbar L_z \end{aligned}

这就是量子力学中角动量定义的由来。

性质
[\textbf J^2,J_i]=0,i=x,y,z

这说明\{\textbf J^2,J_i\},i=x,y,z是一组CSCO，比较常用的CSCO是\{\textbf J^2,J_z\}。

证明 以i=x为例，需要说明[\textbf J^2,J_x]=0

要使用应用\{\textbf J^2,J_z\}这组CSCO，需要找到这两个算符的一组公共本征态，并计算出它们在这组本征态下的本征值。

定理
\textbf J^2|j,m_z \rangle=j(j+1)\hbar^2|j,m_z \rangle \\ J_z | j ,m_z \rangle = m_z \hbar | j,m_z \rangle

其中j \in \mathbb{Z} \cup (\mathbb{Z}+1/2), m_z \in \{-j,-j+1,\cdots,j-1,j\}，如果j \in \mathbb{Z}+1/2说明角动量包含自旋角动量。这个定理的证明比较长，等有空了单独写一篇，但定理证明中定义了两个很有用的算符：
J_{+}=J_x+iJ_y\\ J_{-}=J_x-iJ_y

其中J_-满足
J_-|j,m_z \rangle = \begin{cases} 0 ,m_z = -j \\ |j,m_z-1 \rangle,m_z>-j \end{cases}

J_+满足
J_+|j,m_z \rangle = \begin{cases} 0 ,m_z = j \\ |j,m_z+1 \rangle,m_z

这个定理有更一般的形式，假设\hat u是span(X,Y,Z)中的任意方向，记J_u=\textbf J \cdot \hat u，则\{\textbf J,J_u\}是一组CSCO且
\textbf J^2|j,m_u \rangle=j(j+1)\hbar^2|j,m_u \rangle \\ J_u | j ,m_u\rangle = m_u \hbar | j,m_u \rangle

角动量的表象

给定j，记state space为\mathcal{E}_j，基为\{|j,m_z \rangle\}，这是一个2j+1维的state space，在这组基下的表象被称为standard representation，从|j,j \rangle到|j,-j \rangle，向量表示分别为e_1,e_2,\cdots,e_{2j+1}，其中e_k表示第k个元素为1其他元素均为0的列向量。

例1 \mathcal{E}_{3/2}（铷-87可能会有这个状态空间）
m_z \in \{3/2,1/2,-1/2,-3/2\}，本征态为|3/2,3/2 \rangle, | 3/2,1/2 \rangle, |3/2,-1/2 \rangle, |3/2,-3/2 \rangle，它们的向量表示为
\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right]

在\mathcal{E}_{3/2}中的某个量子态下测量\textbf J^2会得到\frac{15}{4}\hbar^2，测量J_z可以得到\{3/2,1/2,-1/2,-3/2\}\hbar，这个量子态的概率幅为\sqrt{15/4}\hbar。如果测量J_z得到了\hbar/2，则测量完成后的瞬间量子态为|3/2,1/2 \rangle；如果测量J_x得到了\hbar/2，则测量完成后的瞬间量子态为|3/2,m_x=1/2 \rangle，这个量子态可以写成\mathcal{E}_{3/2}中的本征态的叠加：
|3/2,m_x=1/2 \rangle = \sum_{m_z} c_{m_z}|3/2,m_z \rangle

另外，要图示化\textbf J也是可以做到的，考虑(J_x,J_y,J_z)作为直角坐标，在量子态|j,m_z \rangle下，概率幅为\sqrt{j(j+1)}\hbar，J_z为m_z \hbar，所以
J_x^2+J_y^2=[j(j+1)-m_z^2]\hbar^2

也就是说\textbf J是中心在(0,0,m_z\hbar)，半径为\sqrt{j(j+1)-m_z^2}\hbar的与xOy平面平行的圆。

例2 考虑j=1，CSCO为\{\textbf J^2,J_z\}，\mathcal{E}=\{|1,1 \rangle,|1,0 \rangle,|1,-1 \rangle\}，简记为\{|z- \rangle,|z0 \rangle,|z+ \rangle\}，它们的向量表示为
\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right]另一组可能的基为\{|x- \rangle,|x0 \rangle,|x - \rangle\}。在|z0 \rangle下，\langle \textbf J \rangle=(0,0,0)，J_z|z0 \rangle = 0|z0 \rangle，所以\langle J_z \rangle=0。

\textbf J^2的矩阵表示为
2\hbar^2\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

J_z的矩阵表示为
\hbar\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right]

因为\langle z+ |J_+|z0 \rangle = \langle z+|\sqrt{1(1+1)}\hbar|z+\rangle=\sqrt{2}\hbar \\ \langle z0 |J_+|z- \rangle=\sqrt{2}\hbar

其他量子态与J_+的作用都为0，所以J_+的矩阵表示为
\sqrt{2}\hbar\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]类似地，J_-的矩阵表示为
\sqrt{2}\hbar\left[ \begin{matrix} 0 &0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]

由此可以得到J_x与J_y的矩阵表示
J_x=\frac{J_++J_-}{2} =\hbar/\sqrt{2}\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]\\ J_y=-\frac{i}{2}(J_+-J_-)=\hbar/\sqrt{2}\left[ \begin{matrix} 0 &-i & 0 \\ i & 0 & -i\\ 0 & i & 0 \end{matrix} \right]

需要注意这两个都是在\{|j,m_z \rangle\}作为基下的表示，而在\{|j,m_x \rangle\}下，J_x的表示为
\hbar\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right]

与J_z在\{|j,m_z \rangle\}作为基下的表示相同。

在位置表象下讨论经典力学中角动量的定义

经典力学中，\textbf L = \textbf r \times \textbf p，将这三个物理量都视为算符，在位置表象下，动量算符的作用等同于-\hbar \nabla，所以
\textbf L=-i\hbar(\textbf r \times \nabla)

比如
L_x=-i\hbar \left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y} \right)

在球坐标下，
\begin{cases} x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end{cases}

此时
L_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}

假设它的特征方程为
L_zF(\phi)=\hbar m_z F(\phi)

则
F(\phi)=e^{im_z \phi},m_z \in \mathbb{Z}

在一般情况下，角动量算符的特征函数可以用spherical hamonics Y_l^m(\theta,\phi)表示：
\textbf L^2 Y_l^m(\theta , \phi) = \hbar^2l(l+1)Y_l^m(\theta , \phi) \\ L_zY_l^m(\theta , \phi) = \hbar mY_l^m(\theta , \phi)\\ l \in \mathbb{N }\cup\{0\},m \in\mathbb{Z} \cap[-l,l]

其中
Y_l^m(\theta,\phi)=Ne^{im\phi}P_l^m(\cos \theta)

P_l^m为Legendre多项式，比如
Y_0^0=(4 \pi)^{-1/2} \\ Y_1^0=(3/4\pi)^{1/2}\cos \theta \\ Y_1^{\pm 1} = \mp(3/8 \pi)^{1/2}\sin \theta e^{\pm i \phi}

球谐函数满足
\int_0^{\pi}d \theta \sin \theta \int_0^{2 \pi} d \phi Y_{l'}^{m'*}(\theta,\phi)Y_l^m(\theta,\phi)=\delta_{m,m'}\delta_{l,l'}

所以用球谐函数作为特征函数满足Orthonormality