数学与素质教育

新世纪对人才的基本要求包括均衡发展和创造能力。在这一背景下，数学教育的核心目标是培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和应用意识等基本数学能力，并重视数学思想方法的传授和自信心的建立。通过强调创造能力和实践应用的重要性，现代教育旨在帮助学生形成全面发展的素质和解决实际问题的能力。

文章目录

• 一、 素质的含义

• • （一）词典上的解释
  • （二）笔者给出的定义

• 二、数学对素质培养的影响

• 三、新世纪对人才的基本要求

• • （一）如何理解人才
  • （二）对人才的基本要求
  • • 1、均衡发展
    • 2、有自学能力和创造能力

• 四、数学教育的基本目标

• • （一）掌握一定数学知识

  • （二）具备基本数学能力

  • • 1、计算能力
    • 2、逻辑推理能力
    • 3、空间想象能力
    • 4、探索、发现与证明的能力
    • 5、应用数学符号及语言的能力
    • 6、数学建模能力

  • （三）重视数学思想方法

  • • 1、数学思想方法
    • 2、两种基本的思路
    • • （1）封闭型

  • （2）开放型

• 3、感受数学魅力

• 4、巧妙运用数学理论思维

• 例1、如何证明：任何6个人中必然存在3人彼此之间要么都认识要么都互不认识？

• 例2、两人进行"抢30游戏"时应采取何种策略？

  • （四）培养数学应用意识
  • （五）培养学生自信心

一、 素质的含义

（一）词典上的解释

• 素质一词经常见诸报刊杂志，其含义也没有统一的说法。高级汉语大词典中对该词的解释如下：[diathesis]心理学上指人的某些先天的特点；[quality]事物本来的性质；[accomplishment]素养。

（二）笔者给出的定义

为叙述便利, 我们将对以下内容进行详细阐述: 素质, 即指个体所具有的先天生理与心理特征以及通过环境和教育所获得的基本素质. 其中最为关键的影响因素则是教育.

二、数学对素质培养的影响

具备良好数学素养的人通过系统学习和训练所获得的科学素养，在各个职业领域中都发挥着重要作用。科学素养要求我们在工作中必须准确理解基本概念，并避免因概念模糊而导致失误；在解决实际问题时必须做到具体且切实；具备严谨的逻辑推理能力有助于深入分析问题本质；掌握熟练的精确计算技巧则有助于提高经济效益和资源管理效率；良好的定量分析能力能够帮助我们妥善处理工作中的矛盾关系；熟练掌握精确计算技巧则有助于提高经济效益和资源管理效率；而系统的演绎与归纳能力则是提高综合分析水平的重要保障；依此类推

三、新世纪对人才的基本要求

（一）如何理解人才

必须准确把握"素质教育"的方向，在于树立正确的人才观。不论从事何种行业的关键在于：只要是为社会做出了贡献的人就应该成为"人才"；人才不是学校培养出来的而是社会实践塑造而成的；学校的职责就是打好数学基础、培养基本能力（即基础教育），这是不可推卸的重大责任。从这个意义上我们常说：学校是人才成长的摇篮。

（二）对人才的基本要求

虽然人才可以分为不同层次和类别，在各个行业中对专业人才的需求也各有特色；然而随着时代的发展变化，在新时代背景下对专业人才的标准和要求也在不断调整中。其中有些标准和要求则是被广泛认可的，每一个21世纪的专业人士都应当具备的基本素质和能力就是其中之一。

1、均衡发展

我国历来就有"全面发展"这一理念，但就个人而言而言资源有限性问题不容忽视,"门门全优"对于大多数学生而言近乎苛刻；相比之下, "均衡发展"这一理念更能贴近实际需求、更具可行性。现代社会瞬息万变,对人才素养的要求也愈发广泛深入,仅掌握专业技术知识已显不足,还需学习外语、史地、计算机知识等,培养较强的语言文字运用能力以及公关社交能力等,否则极易被激烈竞争的社会无情淘汰。

目前学界较为流传有两种观点:即所谓的"双翼模式"与"四肢模式"。双翼模式强调外语与计算机的重要性犹如人的双翼;四肢模式则将外语、计算机、数学及母语比作人的四肢。无论哪种观点都凸显出外语与计算机的重要性:若不具备外语及计算机能力,则在现代职场中难以施展才华。

教育工作者肩负着培养新时代人才的重要使命,引导学生成才与成功并重是其职责所在;同样地,在数学教育领域也是如此。

2、有自学能力和创造能力

• 有这样一个比喻：若将知识、技术比作“黄金”，那么自学能力犹如“点金术”。 拥有了这项“技术”，你的知识“宝库”将永不枯竭。反之，你将不可避免地成为知识的“贫困户”、技术的“困难户”。据统计，一个人在校学习的知识是微不足道的，90%以上的知识要在走上社会、走上工作岗位后通过自学去获取。 大量事实也告诉我们，不上大学的人可能会成才，上了大学的人也不一定成得了才，任何学校教育都是无法代替“自学”这个根本的，而应该通过启发式教学培养在校学生的自学能力。 例如，我国著名数学家华罗庚先生由于家境原因，不得不在小学毕业后就辍学了。但在他当学徒期间，仍孜孜不倦地研究数学，这期间的自学，为他以后成长为数学家打下了坚实的基础。可以说，自学不仅是一种习惯、一种能力，还是锻炼人的素质的一种方法。
• 当今世界科学技术迅猛发展，市场竞争异常激烈。每个国家、每个民族、每个企业，不管人们的主观意愿如何，都不可避免地会卷入这个竞争浪潮之中。这就迫使人们不得不考虑，如何才能在竞争中立于不败之地？人们已十分明白，“科学技术是第一生产力”，只有积极发展科学技术事业，特别是加速发明创造事业，才是一个可靠的出路。 就是企业家们也已经愈来愈认识到，应该把新产品开发作为企业求生存、求发展，创造最佳经济效益的根本出路。这就是说，人们越来越认识到社会的最高经济效益，将来源于人的创造能力，将来源于发明创造和技术革新的成效。 因此，创造能力作为适应社会发展需要所必备的能力，受到越来越多的关注，已被确立为基础教育必须着重培养的一项能力。

四、数学教育的基本目标

（一）掌握一定数学知识

我国现行中学数学教育存在重理论轻实践的问题：尤其是在教学内容上过分强调"八股式"传统教学模式导致大量不良语文现象蔓延到数学领域影响了学生的思维发展。
这种做法不仅无法提高学生的解题能力还会扼杀他们的好奇心和发展潜力是培养创新型人才所不可取的。
因此必须采取果断措施改革现行中学数学教学内容：
首先应当删除那些脱离社会需求、偏离数学发展轨迹以及与有效智力活动不相适应的内容如单调乏味的四则运算规则繁难的应用题以及复杂的多项式恒等变形等问题；
其次应当在思想方法传授与生活实际相结合的原则下适当增加估算统计抽样数据分析线性规划图论决策等内容；
最后要特别注意保护和发展学生的创新意识和实践能力使他们在全面认识和掌握现代数学的同时获得良好的学习效果和自信心。

（二）具备基本数学能力

已有诸多教育工作者在数学教学实践中认识到能力的至关重要性。众多教师亦有提出"授之以鱼不如授之以渔"这一观点。项武义教授指出：基础数学教育首要目标在于培养大脑开发能力并奠定解析思维基础；而次要目标则是传授现代科技工艺所需的基础数学知识。无疑，在现有教材中过分强调前者而对后者重视不足是一个值得改进的方向问题。就具体知识点而言增减取舍则无需过分纠结 secondary concern. 然而这表明，在未来制定基础数学课程时应当优先考虑思维训练的提升远大于单纯的知识储备要务.

1、计算能力

在数学应用领域中,计算扮演着至关重要的角色,因此在提及数学的应用时，默认情况下人们都会想到基础运算,即加减乘除等基本运算.所以,培养中小学生掌握计算能力显得尤为重要.人们普遍意识到,心算口算以及估算等技能在生活中无处不在,已成为日常生活的必备常识.其中估算更是经常使用的一种技巧,例如买药购物时需估计价格,行车途中要估计所需时间,出差旅行时需预估路程距离,投资经商时需评估成本投入,生产销售时则需预测利润空间等.将其融入实际情境教学中去后会发现,学生能找到更为科学合理的估算方法,学会换位思考问题的本质,掌握比较评估策略.然而受限于历史背景以及人们对数学认知的局限性,估算长期以来未能被纳入系统的教学体系之中.如今许多国家特别是美国已经认识到估算能力的重要性并将其纳入教育体系的相关标准之中.这一现象折射出社会的需求与时代的发展规律,值得我国教育界充分重视.

2、逻辑推理能力

作为一门具有高度逻辑性的学科，数学长期以来被视为培养逻辑思维能力的重要学科。它的严谨思维方式不仅帮助学生在工作过程中深入分析问题的本质，并且能够迅速识别解决问题的关键路径，这是其他学科难以企及的优势之一。因此，在数学教学中注重培养学生的逻辑推理能力就显得尤为重要。据说，在英国大学里学习许多高等数学知识并不是因为法律专业的课程与高等数学之间存在直接关联性问题（虽然这确实是一个普遍存在的误解），而是出于这样一种教育理念：通过严格的法律职业所需的基本素质——即通过系统的高等数学教育来培养一种坚定不移而又客观公正的价值观认知体系，并在这种过程中形成一种严格而精确的思维方式习惯（这种习惯对法律职业的成功实践会产生积极的影响）。

3、空间想象能力

• 空间想象能力主要是指能够由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状、位置和大小；能够想象几何图形的运动和变化；能够从复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出图形；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题本质。
• 近年来，对“空间想象能力”的研究已日趋广泛、深入。1995年颁发的新高中数学教学大纲对“空间想象能力”的说明就加上了“会形象地揭示问题本质”。如果这一“说明”显得有些简单的话，东北师范大学的李善良、沈呈民先生在《新一代公民数学素养的研究》一文中的解释则更为详细、深刻：“实际上，这里的空间应作广义的理解：既包括立体，也包括平面；既包括几何，也包括代数。这样，空间想象能力似乎超过了一般中学教师和学生的理解范围。考察部分教学大纲，我们认为，在中学阶段提出培养直观能力似更为合适些。一方面，数学本身与直观密不可分，想象是以直观作基础的。另一方面，逻辑思维与直觉思维是人类思维的两大方面，而直观认识是直觉思维的基础。因此，提出直观能力应作为数学素质的内容之一，才可能使学生形象地揭示问题的本质。”这一广义的解释，使我们进一步明确了数学教学培养空间想象能力的目的与必要性。
• 通过讲述实体空间（一维、二维、三维空间）和抽象空间（n维空间、函数空间、无限维空间）帮助学生形成正确的空间观念。但小学、初中的数学课本中，除了几个简单几何形体的体积、表面积计算外，几乎没有任何别的三维空间的内容，“空间观念”形同虚设。

4、探索、发现与证明的能力

这种能力乍一看好像仅限于发现数学定理和公式的证明方法。然而实际上它能够帮助学生发现现实世界中的问题并抓住其本质进而总结出事物的规律大有裨益应该成为学生学习数学的重要内容因为这一能力涉及多种思维方式包括合情推理形象思维灵感与直觉以及逻辑推理等具体来说例如在"数列"章节结束后老师可能会给出以下一个问题：假设以下是1980年至1986年间某城市的人口统计数据问该城市的人口发展趋势如何？

年数	人口数（单位：万）	人口变化
1980	67.38	1.75
1981	69.13	1.80
1982	70.93	1.84
1983	72.77	1.89
1984	74.66	1.94
1985	76.60	1.99
1986	78.50	1.99

要解决这一问题就需要具备一定的观察力以及分析推理能力。初步观察题目时可能看不出可以直接应用哪些数学知识但经过深入思考发现第三列中的数据存在显著差异这表明随着年份的推移人口数量也在不断增加然而当从第二列的数据进行比对时我们会发现每年的增长率大致相当即以第一年的人口数量作为基数来计算第二年增长的比例约为\displaystyle\frac{1981人口数}{1980人口数}=\frac{69.13}{67.38}=1.026同样地\displaystyle\frac{1982人口数}{1981人口数}=\frac{70.93}{69.13}=1.026……这种稳定的增长模式说明了年与年人口数量之间的关系呈现出明显的线性特征

接下来，在分析人口增长趋势时\displaystyle\frac{1986人口数}{1985人口数}=\frac{78.59}{76.60}=1.026的基础上\displaystyle p_{\text{1985}} = 67.38亿（当t=0时），经过计算我们得出一个相同的数值1.026（记作r），这个共同特征启发我们建立模型：
p = p_0 \cdot r^t
其中p_0 = 67.38亿（当t=0时）。通过代入不同t值我们可以计算出各年份的人口数：

• 当t=1时\displaystyle p = 69.13\text{亿}
• 当t=2时\displaystyle p = 70.93\text{亿}
• 当t=3时\displaystyle p = 72.77\text{亿}

当t表示自1980年以来经过的年数时（其中t=0,1,2,3,4,5,6），我们建立了如下人口增长模型：p=67.38·(1.026)^t通过这一模型的建立与分析过程（即探索、发现与推导），我们成功地揭示了该城市人口随时间演变的趋势规律，并为相关研究提供了可靠的数据支持。这个过程不仅验证了理论的有效性（即模型的应用价值），还显著提升了学生的综合分析能力与解决实际问题的能力。

5、应用数学符号及语言的能力

如果说数学是人类最普遍适用的语言,那它以其精确、简洁和高度抽象的特点正在渗透到人们的日常生活中。“+”、“-”符号、降雨概率等信息通过电视走进千家万户,儿童每天都在无意识中接触这些符号；各种统计图表、比例、分数、小数、百分数等符号频繁出现在报刊上；从生产进度到交通事故,从股市行情到日常决策,在各行各业都能看到相似的数学方法在传递信息。“符号化”不仅决定了数学发展的进程,还使复杂的数学命题得以用更简洁的方式表达出来,便于人们理解和记忆；更重要的是,符号化帮助我们更清晰地把握量与量之间的关系及其本质特征。“好的数学语言掌握”是衡量一个人是否真正掌握了某种数学知识的重要标志之一。从小学到中学,代数符号的学习标志着能力的提升；进入高等数学学习时掌握极限符号（ε-δ语言）则意味着能力的重大突破；而集合论语言的熟练运用则是现代数学发展的重要标志之一。
随着科技的进步和社会的发展,运用数学进行交流的需求日益增多。因此,加强学生对数学语言交流活动的研究与实践变得尤为重要。“优秀的数学交流能力”已成为培养学生核心素养的重要组成部分。

6、数学建模能力

这种核心素养不仅符合现代社会发展的需求，在数学领域也与当代趋势高度契合。在进行数学建模解题的过程中可划分为以下关键环节：数据收集阶段主要负责信息的整理；数据分析环节则用于深入探究；问题识别阶段需要系统地审视现有条件；规律探索阶段应着重发现潜在联系；最后在利用电子计算器辅助计算过程的基础上能够有效解决实际问题。

（三）重视数学思想方法

• 为什么我国的侦破题材影片常出现逻辑漏洞？为什么许多游乐场所的门票定价不是过高就是过低？为什么一些现代和声学、曲式使我国很多音乐家大伤脑筋？为什么我国的文学作品中常出现像“拓扑和概率”这样的笑话？为什么我国很多哲学家连黑格尔的书都读不懂（至少自己承认没完全读懂）？为什么许多管理混乱的工程一经数学家帮助即变为井然有序且效率大增，而工程结束后则忘掉数学，以致下次又重蹈覆辙？为什么很多人会编写计算机软件却不懂得优化，以致编出的软件占存储多而运行缓慢？……一言以蔽之，数学训练不够，不注意用数学思想与数学方法处理问题、解决问题。
• 从数学教育哲学上讲，决定一个学生数学修养的高低，最为重要的标志是看他如何看待数学，如何理解数学，以及能否运用数学的思想方法去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活中的问题。世界各国都已认识到，在当今和未来社会的许多行业，直接用到学校数学知识的机会并不太多，而且也不是固定不变的，更多的是受到数学思想的熏陶和启迪，以此去解决所面临的实际问题。
• 重视策略化知识的教学，数学教学中尤其要注重数学思想、数学方法的教学。数学思想、数学方法既要理解为数学中的深层次基础知识，又要理解为解决问题的思维策略。 心理学家指出，人们在学习和思考时，注意力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识及程序知识之间不断转换，不仅要意识到自己的加工材料，而且要意识到自己的加工过程和加工方法，不断地反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程。因此，要使元认知在创造性的问题解决过程中发挥作用，就必须在头脑中存储有关如何学习和如何思考的策略性知识。在数学学科里，这种策略性知识和事实性知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、相互融合的，只要教师在数学课堂教学中有意识地渗透、传授，学生就可以通过课堂教学获得大量的关于解决数学问题的一般的和特殊的策略性知识。例如，数学中的配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法等基本方法，既是解决问题的基本手段，又是数学思想的直接体现；观察、分析、猜想、综合、归纳、类比、抽象、概括等数学思维方法是思考数学问题的一般方法；数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等是高层次的数学思想方法，具有观念性的作用。所有这些策略性知识的传授都可以与数学具体知识的学习和运用结合起来，成为数学教学整体中的一个有机的组成部分。新修订的高中数学教学大纲中把数学思想和方法列入基础知识的范畴，使数学思想和方法的地位和作用得到了更充分的体现，这有利于促进广大数学教师更加重视数学思想和方法的教学，从而更有利于培养学生的能力。

1、数学思想方法

• 在中学数学里涉及到很多数学思想方法，如数的意识、优化思想、概率统计思想、函数与方程思想、图形直观和空间观念、模型化方法、集合思想、极限思想、化归思想等等；
• 数的意识 ：使学生养成主动地从数量上观察、分析客观事物的习惯，并体会-数的产生与发展来源于人类对客观事物的数学把握；数的构成及其运算规律是生活实践的总结；数学符号是表示、交流和传递信息的最有效手段；数量关系是刻划自然界以及人类社会现象、预测事物发展规律的重要工具；估算在日常生活中，特别是在计算机出现之后愈显其重要性。
• 优化思想 ：寻求优化可以说是人类的一种生存本能，在我们的周围，优化问题几乎随处可见。例如，如何使有限的材料得到最充分的应用；如何在商品销售中，调整商品价格，薄利多销，获得最多利润；如何在体能训练中调整训练强度和练习节奏，达到事半功倍的效果；如何利用有限的空间（库房、车厢）使得存储量或货运量最大；如何合理安排人员配置，使全员劳动生产率最高，等等。把这些问题抽象为一个理论问题，即是如何使系统在给定的条件下，达到最理想的效果。
• 概率统计思想 ：在国外，人们体会最深的是机会与选择，申请助学金要选择类别；申请住房要选择房间大小；听课要选择教师、教室和时间；看病要选择医生；甚至考试内容、考试方式、考试时间、用什么语言……都得由你选择。不同的选择意味着不同的机会，风险大小来源于你的决策分析。因此，对中小学生进行概率统计思想的熏陶，应当使他们了解条件是可以变化的、结论并不总是唯一的、结论不是绝对可靠的，事物的多样性是普遍的，而必然性、绝对性是相对的、有条件的。只有这样，才能有助于他们理解社会、适应生活。同时，通过概率、统计的学习，还应该使他们形成尊重事实、用数据说话的习惯，了解必然性寓于偶然性之中，体会或然推理在研究复杂事物时的作用。
• 函数与方程思想 ：函数与方程是有效地表示、处理、交流和传递信息的强有力工具，是探讨事物发展规律、预测事物发展方向的重要手段。在具体数学课程设计中应及早渗透函数与方程思想。从建立模型的角度，利用现实生活的现象，让学生体会正反比例函数、分段函数、阶梯函数、二元函数和一元二次方程等多种数学模型，使学生体会客观事物的多样复杂性与数学的统一性，体会数学的广泛应用价值。
• 图形直观和空间观念 ：图形直观以及图形分析是人们理解奇妙的自然界和社会现象的绝妙工具；图形给人类带来无穷无尽的直觉源泉；图形设计是人类社会赖以生存和发展的根基，没有图形人类就无所谓美。
• 模型化方法 ：教学中采用问题情境-建立模型-解释与应用的模式。中小学数学中注重数学模型化方法在我国有其相融的文化背景。吴文俊认为中国古代数学的特点是：从实际问题出发，经过分析提高，再抽象出一般的原理、原则和方法，最终达到解决一大类问题的目的，即模型化方法。中算家总是以构造精致的算法为己任，通过切实可行的手段把实际问题化归为一类数学模型，然后应用一套机械化的算法求出具体的数值解。随着计算器、计算机的引入，中小学生有可能更早地借助现代技术手段探讨更为现实、更加有趣的问题。利用软件和计算机构造模型进行预测，或者搜集资料、整理数据、画出统计图，从而探索数据的分布和建立函数模型都是极有价值的数学训练。

2、两种基本的思路

• 处理中小学数学思想方法上有两种基本的思路：封闭型与开放型。

（1）封闭型

• 基于纯粹的数学理论学习，在教学过程中系统地引导学生理解和运用其中的思想与方法。尤其是那些具有较高技巧性的具体方法,例如换元法、因式分解法以及公式法等。

（2）开放型

为了使学生在学习所需数学知识的同时形成这些人的素质基础性思想方法而提出的教学策略包括：例如试验法、猜想法以及建立模型等。

3、欣赏数学美

数学美的体验给人带来的独特体验在潜移默化中改变了学生的思维方式，并在塑造良好的性格特征方面具有重要作用；定理所展现的统一性、推理过程体现的严谨性、语言表达中的简洁性以及构思过程中的创造性和开拓性等特征，在其他学科的学习过程中都难以获得同样的深度体验。

4、灵活应用数学思想与方法

巧妙地运用数学思想与方法于实际工作和生活场景中，则能够使复杂问题的解决过程变得相对容易。

例1、求证：任何6个人中，一定有三个或者互相认识、或者互相不认识。

• 第一、完成数学抽象：将对象映射为点，并将关系映射为线条。经过处理后，在平面上放置六个代表人的点。各点之间连线表示两人之间的关系。通过实连线和虚连线区分他们是否相识：实连线上形成三角形意味着三人均相识；而虚连线上形成三角形则表明三人互不认识。
• 第二、构建相应的数学模型：在平面内任意放置六个不共线的点，并使每两点间都有连线相连。
  第三、解决这一问题的方法论：采用分类分析法进行处理。

例2、两人玩“抢30游戏”，取胜的窍门何在？

• 游戏规则：从数字1开始，依次轮流报数（每次可报一个数字或两个数字），谁最先报到30谁就获胜。
• 运用数学方法中的递推原理可以通过分析找出获胜的关键点：要占据关键点30必须先占据关键点27；依此类推下去的话，则必须抢到关键点3才能确保胜利。
• 由此可见，在游戏中如果能占据这些关键点就能掌握主动权。

（四）培养数学应用意识

• 学习知识的目的是应用知识去解决问题，因此数学教学的主线应为学习和应用；遵循理论和实际相结合的原则，重视通过数学教学获得的知识能在日后的学习和工作中得到直接的应用；培养学生对日常事物进行有条理的思考的能力，明白数学处理的长处，并培养学生自觉地把数学应用于日常生活的态度。
• 在社会主义市场经济大潮下，股票、利息、保险、分期付款等经济方面的数学问题，已介入人们的日常生活。培养学生的应用意识，提高数学应用能力，已引起了教育界人士的广泛重视。原国家教委1992年制定的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》第一章“教学目的”中就有：“使学生能解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题。在解决实际问题中，要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐渐培养他们分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意识。 ”这里用数学的意识是指用数学来认识事物、思考问题、解决问题。为提高学生应用数学解决问题的意识，英国已把与日常生活密切相关的银行事物、利率、投资、税务等都写进了数学课本，对学生解决问题的能力提出了较高水平的要求，比如要求初中生自行设计教学任务，利用已知信息作出判断，运用尝试与改进的方法解决问题。美国加州数学教科书与教学中着重加强的一个方面是“解决问题”。要求给学生创设更多的机会以使之能够把所学的数学知识、技能、经验用以解决新的或疑难的问题。这些改革之举都值得我们借鉴。事实上，这些精神在我国近年来的新教材中也都有新体现。例如，以“读一读”、“想一想”、“做一做”等形式，让学生亲临实际问题情境，以帮助学生扩大思维空间，提高他们应用数学的意识，增强其解决问题的能力。
• 要提高学生应用数学的能力，还应注意在数学中多创设有利于解决问题的课堂气氛，提供有趣的数学应用问题。例如，为锻炼学生的数列递归能力，可与学生共同商讨、策划著名“汉诺塔问题”的解决。设有甲、乙、丙三根木柱，在甲柱上套有从小到大的五个圆盘，最大者在最下层（呈塔形），现在欲将这些圆盘全部逃到乙柱上，而一次仅能够动最上面的一个圆盘，且每次移动中不能将大圆盘置于小圆盘之上，丙柱可作辅助作用，问完成此过程，最少需要移动几次？不妨用a_n（n=1,2,3,4,5）表示把甲柱上的￥n$个圆盘全部移到乙柱上最少需要的次数。运用目标递归和转换变更的策略，为解决五个圆盘的移动问题，先解决四个圆盘的移动问题，又只要先解决三个圆盘的移动问题，……最后只需要先解决一个圆盘的移动问题，在此基础上拟定出解决问题的计划。其总体思路是通过对n=1,2,3,4的分析和研究，去解决n=5的问题。

（五）培养学生自信心

以往的教育体系将数学视为一种"过滤工具"而非"成长泵" ，这种做法导致了大量学生在学习数学的过程中逐渐丧失自信心 ，最终形成了一种挫败者的社会心态 。
如果我们将培养学生的自信心确立为数学教育的核心目标 ，那么这将从根本上改变当前数学教学模式 ，因为这样的教育理念要求我们将原本高高在上的数学知识 从象牙塔中引向现实生活 。
唯有如此 ，才能让学生从自身的日常生活出发去发现 、创造与应用数学知识 ，从而在这一系列认知与实践的过程中建立起对自身能力的信心