UA OPTI570 量子力学13 用量子力学的假说理解可观测量与测量

UA OPTI570 量子力学13 用量子力学的假说理解可观测量与测量

• • 可观测量的均值与标准差
  • Compatible Observable
  • 算符\hat S(x_0)

上一篇简单介绍了量子力学的重要假说，这一讲是根据这些假说给可观测量与测量一些物理解释。

因为量子态是做“测量”的很重要的工具，所以需要对量子态做标准化处理，比如量子态|\psi \rangle，我们希望\langle \psi|\psi \rangle=1，因此global phase factor实际上是没有物理意义的，比如
|\psi \rangle = c_1 |\psi_1 \rangle + c_2 | \psi_2 \rangle \\ |\psi' \rangle = c_1e^{i\theta_g} |\psi_1 \rangle + c_2 e^{i \theta_g} | \psi_2 \rangle, \theta_g \in \mathbb{R}

e^{i\theta_g}的作用是同时改变所有基态的相位，所以是一个global phase factor，但是|\psi'\rangle标准化后与|\psi \rangle完全一致，也就是说global phase factor并没有改变量子态的物理意义。但是relative phase factor是有物理意义的，比如
|\psi''\rangle = c_1|\psi_1 \rangle + c_2 e^{i \theta_r} | \psi_2 \rangle, \theta_r \in \mathbb{R}

e^{i \theta_r}只改变了|\psi_2 \rangle的相位，所以|\psi'' \rangle代表的量子态与|\psi\rangle是不同的。

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可观测量的均值与标准差

一个可观测量用算符\hat A表示，它的特征方程为\hat A |a_n \rangle = a_n |a_n \rangle，在量子态|\psi \rangle下，它的期望为
\begin{aligned} \langle \hat A \rangle_{\psi} & = \langle \psi|\hat A | \psi \rangle\\ & = \sum_n a_n \mathcal{P}(a_n) \\ & = \sum_n a_n | \langle a_n|\psi \rangle |^2 \end{aligned}

需要注意的是均值并不是可以通过测量得到的，这就好像是抛硬币，正面为1反面为-1期望就是0，但每一次抛硬币可能获得的结果中是没有0的。

可观测量的标准差为
\Delta \hat A = \sqrt{\langle \hat A^2 \rangle-\langle \hat A \rangle^2}

其中
\langle \hat A^2 \rangle_{\psi} = \langle \psi|\hat A^2 | \psi \rangle

Compatible Observable

先回顾一下Planck-Einstein Relations这个量子化的重要结论，他说的是光子的能量与频率之间是线性关系，比例常数为Planck常量。根据这个关系可以定义Bohr 频率：
\begin{cases} \nu_{nm} = \frac{E_n - E_m}{h} \\ w_{nm} = \frac{E_n - E_m}{\hbar}\end{cases}

其中E_n,E_m是Hamiltonian的energy eigenvalues，\nu_{nm}是圆频率（cycle frequency），单位是cycle/sec=Hz，w_{nm}是角频率（angular frequency），单位是rad/sec \ne Hz，这个系列的文章提到频率默认为圆频率。

假说6提到量子态随时间的演化满足薛定谔方程，但我们也可以定义一个time evolution operator \hat U(t,t_0)用来表示量子态的演化
\hat U(t,t_0) |\psi(t_0) \rangle = |\psi(t) \rangle

那么这个时间演化算符的解析式该怎么写？

• 如果\hat H关于时间是常量，则\hat U(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}
• 如果\hat H关于时间不是常量，但[\hat H(t),\hat H(t')]=0，则\hat U(t,t_0)=e^{-\int_{t_0}^t \hat H(t')dt'/\hbar}
• 如果\hat H关于时间不是常数，而且[\hat H(t),\hat H(t')] \ne 0，我们就需要解薛定谔方程了i\hbar |\psi(t) \rangle = \hat H(t)|\psi(t) \rangle

第二个结果的证明有一点长，第三个结果需要讨论薛定谔方程所以这两个都在后续才讨论，但第一种比较简单，可以在这里讨论一下。如果\hat H是常量，则i\hbar |\psi(t) \rangle = \hat H|\psi(t) \rangle就是一个很简单的常系数线性微分方程组，通解为
|\psi(t) \rangle = e^{\frac{\hat H}{i\hbar}(t-t_0)}|\psi(t_0)\rangle=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}|\psi(t_0)\rangle

如果|\psi(t_0)\rangle=c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2 \rangle，并且\hat H |\psi_n \rangle = E_n |\psi_n \rangle ,n=1,2，则
|\psi(t) \rangle=c_1e^{-iE_1(t-t_0)/\hbar}|\psi_1\rangle+c_2e^{-iE_2(t-t_0)/\hbar}|\psi_2 \rangle

算符\hat S(x_0)

引入算符
\hat S(x_0)=e^{-ix_0\hat P/\hbar},x_0 \in \mathbb{R}

在关于动量与位置算符的运算中，这个算符有一定作用。我们先研究一下它在量子态上的作用：
\begin{aligned} \langle x |\hat S(x_0) | \psi \rangle & = \psi(x-x_0) \end{aligned}

证明
数学分析方法：用\exp()与\psi(x-x_0)的Taylor展开
\begin{aligned}\langle x |\hat S(x_0) | \psi \rangle & =\langle x |e^{-ix_0\hat P/\hbar} | \psi \rangle \\ & =\langle x |e^{-ix_0\left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right)/\hbar} | \psi \rangle \\ & = e^{-x_0\frac{\partial}{\partial x}}\psi(x) \\ & = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-x_0)^n}{n!}\frac{\partial^n}{\partial x^n}\psi(x) \\ & = \psi(x-x_0)\end{aligned}

量子力学方法：用对易子的性质
\begin{aligned} [\hat X,\hat S(x_0)] & = [\hat X,\hat P] \frac{d\hat S(x_0)}{d\hat P} \\ & = i\hbar \left( - \frac{ix_0}{\hbar} \hat S(x_0) \right) \\ & = x_0 \hat S(x_0) \\ & = \hat X \hat S(x_0)-\hat S(x_0)\hat X \\ \Rightarrow \hat X \hat S(x_0) &= \hat S(x_0)(\hat X+x_0) \\ \Rightarrow \hat X \hat S(x_0) |x \rangle &= \hat S(x_0)(\hat X+x_0)|x \rangle \\ & =(x+x_0) \hat S(x_0)|x \rangle\end{aligned}

这说明\hat X在eigenstate \hat S(x_0)|x \rangle下，eigenvalue为x+x_0，所以\hat S(x_0)|x \rangle = |x+x_0 \rangle，\langle x |\hat S(x_0) | \psi \rangle = \langle x+x_0|\psi \rangle = \psi(x+x_0)

证毕

类似地，定义
\hat T(p_0)=e^{ip_0\hat X/\hbar}

则\hat T(p_0)|p \rangle = |p+p_0 \rangle。