连续时间信号的抽样及其重建
本研究对一类连续信号进行抽样转换为数字信号，并经数字信号处理器(DSP)或计算机处理后完成重建的过程。具体过程如下：首先将连续信号进行采样得到采样信号；然后通过模数转换器得到离散时间序列；最后利用重建算法恢复出原始模拟信号。
其中采样与保持电路以及A/D转换电路相当于一个理想化的采样过程；另一方面，D/A转换和平滑录播相当于一个理想的内插过程。
假设理想采样信号为
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)
其中T_s表示采样周期。那么模拟信号x_a(t)通过理想采样得到的采样信号\hat{x}_a(t)是
\hat{x}_a(t)=x_a(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)
设信号x_a(t)的傅里叶变换表示为X_a(j\Omega),并且其最高频率不超过\Omega_m,现研究抽样信号\hat{x}_a(t)的傅里叶变换性质。
计算得：
\begin{aligned} \hat{X}_a(j\Omega) &= F[\hat{x}_a(t)] \\ &= F[x_a(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)] \\ &=\frac{1}{2\pi}X(j\Omega) \cdot \frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega - n\Omega_s) \\ &=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(j(\Omega - n\Omega_s)) \end{aligned}
其中\Omega_s=\frac{2π}{T_s}。
从上式中就可以看出抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓。
为了确保在周期延拓过程中频谱不会发生混叠现象，则需要满足以下条件：即为使频谱不发生混叠所需达到的最低采样频率；具体而言，在这种情况下可以通过一个低通滤波器即可恢复原始信号；而如果出现了频谱混叠，则难以准确重构原始信号。
考虑到信号重构的需求，在频谱分析的基础上可以看出，在满足抽样频率\Omega_s>2\Omega_m的前提下（此处应为\Omega_s > 2\Omega_m），利用一个低通滤波器便能够实现对原始信号的完全恢复。进而分析这样的理想低通滤波器。
其傅里叶反变换为
h_{LP}(t)=sinc(\frac{t}{T_s})
其中sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}
基于频谱关系可知，
X(j\Omega)=\hat{X}_a(j\Omega) \cdot H_{LP}(j\Omega)
由此可得，
\begin{aligned}
x_a(t)&=\hat{x}_a(t) * h_{LP}(t)
&=x_a(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s) * h_{LP}(t)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT_s)\delta(t-nT_s)*sinc(\frac{t}{T_s})
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT_s)sinc(\frac{1}{T_s}(t-nT_s))
\end{aligned}