跟着李沐老师学习深度学习（六）

* 模型复杂度可以通过VC维来量化，就是这个模型所完美分类的一个数据集的最大的大小。

* 2维输入的感知机，VC维=3 
  * 能够分类任何三个点，但不是4个（xor）

* 支持N维输入的感知机的VC维是N+1
* 一些多层感知机的VC维：O（Nlog2N）

* 提供为什么一个模型好的理论依据 
  * 可以衡量训练误差和泛化误差之间的间隔

* 深度学习少用 
  * 衡量不是很准确
  * 计算深度模型的VC维很困难

    # 模型选择、欠拟合和过拟合
    
    import math
    import numpy as np
    import torch
    from torch import nn
    from d2l import torch as d2l
    
    
    使用以下三界多项式来生产训练和测试数据的标签：
![image.png](attachment:image.png)
    
    max_degree = 20 # 多项式的最大阶数
    n_train, n_test = 100, 100 # 训练集和测试集的大小
    true_w = np.zeros(max_degree) # 分配大量的空间：长度为 max_degree（即 20）的零向量
    true_w[0: 4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6]) # 前 4 个权重分别设置为 5、1.2、-3.4 和 5.6，其余权重保持为 0
    
    features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1)) # 生成一个形状为 (n_train + n_test, 1)（即 200x1）的数组，数组中的元素服从标准正态分布（均值为 0，标准差为 1）
    np.random.shuffle(features) # 对生成的特征数组进行随机打乱
    poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
    # np.arange(max_degree).reshape(1, -1)：生成一个形状为 (1, max_degree)（即 1x20）的数组，数组中的元素为从 0 到 19 的整数。
    # 对 features 数组中的每个元素分别进行 0 到 19 次幂运算，得到一个形状为 (n_train + n_test, max_degree)（即 200x20）的多项式特征数组 poly_features。
    for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)
    # math.gamma(i + 1)：计算 i + 1 的阶乘（对于整数 i）。
    labels = np.dot(poly_features, true_w) 
    # 计算多项式特征数组 poly_features 与真实权重向量 true_w 的点积，得到没有噪声的标签。
    labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)
    # 生成一个与 labels 形状相同的数组，数组中的元素服从均值为 0，标准差为 0.1 的正态分布。
    
    # 看一下前两个样本：
    # NumPy ndarray转换为tensor
    true_w, features, poly_features, labels = [
    torch.tensor(x, dtype=torch.float32)
    for x in [true_w, features, poly_features, labels]]
    
    features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]
    
    # 实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失
    def evaluate_loss(net, data_iter, loss):
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2) #  损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]
    
    # 定义一个训练函数
    def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels, num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1,  bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1, 1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1, 1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
            
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())
    
    # 三阶多项式函数拟合（正常）
    # 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
    train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])
    
    # 线性函数拟合（欠拟合）
    train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])
    
    # 高阶多项式函数拟合(过拟合)
    # 尝试使用一个阶数很高的多项式函数进行拟合：在这种情况下，没有足够的数据用于学到高阶系数应该具有接近于零的值
    # 从多项式特征中选取所有维度
    train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)
    #  结果表明，复杂模型对数据造成了过拟合。