【Demllie航天】火箭方程

齐奥尔科夫火箭方程

设
火箭当前质量为M0，释放一部分燃料后质量为M，两个时间点速度分别为v_0和v，火箭飞行方向为正方向，则燃料喷出的相对速度C为负数。

总动量不为零，有重力作用，则
(m-dm)dv - Cdm = mgt
\int_{v_0}^v \frac{dv}{C} = \int_{M_0}^M\frac{dm}{m} + gt
v = v_0 + Cln\frac{M}{M_0} + gt

一级火箭

如果火箭只有一级，重m_1，m_1 = M_0，燃料重\omega_1,,初始速度v_0 =0,那么终端速度为
v_1 = C_1ln\frac{m_1 - \omega_1}{M_0} + gt

二级火箭

数据形式同理。
一级分离前（假设燃料刚好用完，实际火箭发射中会剩余很多燃料），此时火箭速度为
v_1 = C_1ln\frac{M_0 - \omega_1}{M_0} + gt_1
一级分离后时刻，二级还未点火，此时二级速度为
v_2 = v_1
二级烧完燃料后速度为
v_3 = v_1 + C_2ln\frac{m_2 - \omega_2}{m_2} + gt_2= C_1ln\frac{m_1 + m_2 - \omega_1}{m_1+m_2} + C_2ln\frac{m_2 - \omega_2}{m_2} + g(t_1+t_2)

同理，N级火箭终端速度为
v_N = \sum_{i=1}^N C_iln\frac{ \sum_{k=0}^i m_k- \omega_i}{\sum_{k=0}^i m_k} + gt
其中每级总重m，其中燃料重\omega，每级火箭喷气速度为C（负数）

• 没有考虑空气阻力，即高速湍流的影响。

一级回收火箭

如果火箭只有一级，又要回收的话，初始速度v_0 =0,最高速度v_m，下落的终端速度v_f,空气阻力f = kv^2,喷气速度0 \;to \;C（C无正负），最后降落速度为0。
上升最高高度为h_m——此时速度为0, 燃料消耗\omega _1,下降过程燃料消耗\omega_2

燃料重\omega,火箭总重M_0,载荷重m_p=0,

最后燃料没烧完降落——降落和往上飞不同，向上飞没烧完也可以当做烧完了，不影响反正是要扔掉的，但是降落不同，燃料的多少和最终减速的推力大小和持续时间有关。

\omega _1 + \omega_2 < \omega \\ \omega _1 >\omega _2 \\ M_{finally} = M_0 - \omega _1 - \omega _2 >> 0

喷气速度和推力的关系

F = \frac{Cdm}{t}

下降过程受力分析
mg - F - kv^2 = m\frac{dv}{dt}
动量不守恒
(M_0 - \omega_1 - dm)dv - Cdm = (M_0 - \omega_1)gt
0 = gt + \frac{ 1 }{M_0 -\omega _1}\int_{M_0 - \omega_1}^{M_0 - \omega_1-\omega_2} Cdm \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)
喷气速度C与火箭质量和速度有关，设
C = H( M_0 - \omega_1 - \int dm,v)
由受力分析有
C = \frac{Ft_u}{dm} = \frac{t_u}{dm} (mg - kv^2 - m\frac{dv}{dt}) \\ = \frac{t_u}{dm}( (M_0 - \omega_1 - \int dm)(g - \frac{dv}{dt}) - kv^2)\;\;\;\;\;\;\;(2)
其中t_u是喷气时间（常数），很短的间隔，下降过程也不是一直喷气的！！！所以
t_u <<< t

当前质量还是用m表示比较好，由（1）（2）有\Rightarrow
C = \frac{t_u}{dm}[m(g - \frac{dv}{dt}) - kv^2] = \frac{(M_0 - \omega_1)gt}{dm}

结论：下降的推力只需要根据质量变化而变化就行了！

。。。。哪里出错了，太离谱了。。。