模型预测控制（MPC）简介及matlab实现

模型预测控制（MPC）是一种基于模型的预测控制方法，通过优化未来控制量序列来最小化系统输出与参考轨迹的误差。其核心思想是利用模型预测系统的未来行为，并通过优化方法确定最优控制序列。MPC具有处理多输入多输出系统、约束优化以及向前考虑未来时间步的能力。其数学建模通常采用线性模型或非线性模型，线性模型下常用二次规划方法求解优化问题。MPC与PID的主要区别在于：PID控制器仅基于当前误差和历史信息，缺乏前瞻性；而MPC通过优化未来控制量序列，具有更强的预测和优化能力。Matlab中，MPC控制器的实现通常涉及构建状态空间模型、设计代价函数并求解二次规划问题。

模型预测控制（MPC）简介及matlab实现

• 基本概念

• MPC算法 整体流程

• 数学建模

• • 线性模型

• MPC与PID的区别

• Matlab实现MPC函数

基本概念

全称 ：Model-based Predictive Control(MPC)—模型预测控制

MPC的本质是基于现有的模型，结合系统当前的状态和未来一系列的控制量，推导出系统未来可能的输出结果。随后，将这些预测结果与预期的系统输出进行对比，计算出相应的代价函数。通过优化算法，系统将不断调整并优化未来一系列控制量的取值，以使计算得到的代价函数达到最小值。最终优化后的控制量序列即为该算法的输出结果。

核心思想：通过优化方法求解最优控制器，其中，优化方法通常采用二次规划（Quadratic Programming）。

MPC控制器经过优化设计得到的控制指令序列，实际上是系统在未来时间段内发出的控制指令序列。然而，由于理论模型与实际系统模型之间存在误差，因此，更远时间段内的控制指令对系统控制的实际效果较为有限，因此，MPC控制器在实际应用中，通常仅会执行输出序列中的第一个控制指令。

模型分类 ：

机理模型
基于数据的模型，例如采用基于神经网络的训练方法，基于数据的模型的MPC可以与基于模型的RL方法相结合。

基于现有的数学模型，推导出有限时间区间内的控制指令序列，以计算出系统的未来行为模式。

控制：优化的控制量，是一个未来有限时间步的控制序列

预测区间（Predictive Horizon）：
在k时刻，我们能够测量到系统的当前状态y(k)，通过优化计算得到一系列控制量u(k)、u(k+1)、u(k+2)直至u(k+j)。基于模型和这些控制量的组合，可以得到系统未来j个时间步的状态估计值y(k)、y(k+1)、y(k+2)直至y(k+j)。

在预测区间中，系统未来状态的预测值y(k), y(k+1), y(k+2), y(k+j)被定义为预测区间内的系统预测值，即一次优化后预测未来输出的时间步数。

控制区间（Control Horizon）
将控制估计的部分被定义为控制区间，通过优化计算得到u(k),u(k+1),u(k+2),u(k+j)这些控制量被称作控制区间内的控制量。
在获得最优输入后，我们仅施加当前时刻的输入u(k)，即控制区间的第一位控制量。

区间参数配置：
设置过小的控制区间，可能导致控制效果不佳，而若设置控制区间与预测区间相等，则可能导致仅在控制范围的前部区域表现出较好的效果，后部区域的控制效果显著下降，同时计算开销也会大幅增加。

约束：对于约束，一般分为：

• 硬约束：物理特性上的限制，必须遵守，如方向盘转向幅度、刹车力度
• 软约束：软件层面的规定，允许超出，如车辆的最大速度限制

MPC 优点 ：

该系统具备处理多输入多输出系统（MIMO）的能力。它能够处理各种约束条件，例如安全性约束和上下限值。该方法基于未来时间步的有限时间域优化，具备一定的预测能力。

控制框图：

MPC算法 整体流程

模型预测控制在k时刻共需三步

第一步：获取系统的当前状态；

第二步：基于u(k),u(k+1),u(k+2),u(k+j)进行最优化处理，代价函数为

其中EN 表示误差的终值，也是衡量优劣的一种标准。

第三步：只取u ( k )作为控制输入施加在系统上。

在下一阶段重复前述的三个步骤，在后续阶段的预测中，我们采用的是后续阶段的状态信息，该方案可被称作滚动优化控制，缩写为Receding Horizon Control（RHC）。

数学建模

线性模型

在模型为线性的情况下，MPC的设计过程通常涉及采用二次规划方法来解决优化问题。

基于所建立的模型框架和输入数据u(k),u(k+1),...,u(k+m)，我们可以推导出未来m个时间步的状态序列。

将上面m步写成矩阵向量形式：

其中，

在式（B）中，下三角矩阵的形式直接揭示了系统在时间维度上的因果关系。具体而言，这表明k+1时刻的输入对k时刻的输出没有直接影响，同时k+2时刻的输入对k和k+1时刻的输出也没有直接影响。

假定参考轨迹为

则MPC的一个简单的目标代价函数如下：

以防止控制输入过大，uTRu 一项被引入到代价函数中，以确保控制量的大小得到限制。

将状态方程代入代价函数后，仅剩变量u。如上所述，该最优化问题可通过二次规划方法求解，从而获得满足目标代价函数的最优控制序列。

MPC与PID的区别

PID控制器不具有"前瞻性"：参与计算的各个量，有当前时刻的偏差、上一个控制周期的偏差以及之前所有偏差的累积总和，而没有未来的偏差。 PID属于基于参数的控制方式。PID仅仅通过目标值与当前状态之间的偏差，以及三个调节参数，就输出控制量。

Matlab实现MPC函数

    function [M,C,Q_bar,R_bar,G,E,H,U_k] = MPC_Zero_Ref(A,B,N,x_k,Q,R,F)
     
    %%%%%%%%%%%建立一个以0为参考目标的MPC求解函数
    %%%%%%%%%%%其中，状态矩阵A，输入矩阵B系统维度N，初始条件x_k,权重矩阵Q,R及终端误差矩阵F为输入
    %%%%%%%%%%%输出中U_k为所求控制器，其余为简化过程中引入的中间变量
     
    n=size(A,1); %A是n×n矩阵，求n
    p=size(B,2); %B是n×p矩阵，求p
    M=[eye(n);zeros(N*n,n)];%初始化M矩阵，M矩阵是(N+1)n × n的，
                        %它上面是n × n个“I”，这一步先把下半部分写成0
    C=zeros((N+1)*n,N*p);%初始化C矩阵，这一步令它有(N+1)n × NP个0
    %定义M和C
    tmp=eye(n);%定义一个n × n的I矩阵
    for i=1:N%循环，i从1到N
    rows = i*n+(1:n);%定义当前行数，从i×n开始，共n行
    C(rows,:)=[tmp*B,C(rows-n,1:end-p)];%将C矩阵填满
    tmp=A*tmp;%每一次将tmp左乘一次A
    M(rows,:)=tmp;%将M矩阵写满
    end
    %定义Q_bar
    S_q=size(Q,1);%找到Q的维度
    S_r=size(R,1);%找到R的维度
    Q_bar=zeros((N+1)*S_q,(N+1)*S_q);%初始化Q_bar为全0矩阵
    for i=0:N
    Q_bar(i*S_q+1:(i+1)*S_q,i*S_q+1:(i+1)*S_q)=Q;%将Q写到Q_bar的对角线上
    end
    Q_bar(N*S_q+1:(N+1)*S_q,N*S_q+1:(N+1)*S_q)=F;%将F放在最后一个位置
     
    %定义R_bar
    R_bar=zeros(N*S_r,N*S_r);%初始化R_bar为全0矩阵
    for i=0:N-1
    R_bar(i*S_r+1:(i+1)*S_r,i*S_r+1:(i+1)*S_r)=R;
    end
     
    %求解
    G=M'*Q_bar*M;%G
    E=C'*Q_bar*M;%E
    H=C'*Q_bar*C+R_bar;%H
    %最优化
    f=(x_k'*E')';%定义f矩阵
    U_k=quadprog(H,f);%用二次规划求解最优化U_k
    end