GIS基本功 | 14 地图投影及其相关概念
地球是一个椭球体表面构成的曲面区域，在 cartography中通常采用平面二维形式展示空间信息。因此，在地图绘制过程中，首先需要将三维空间中的地球表面信息投影到二维平面上。
用多种方法将地面上物体的位置表示到二维平面上是地理学中的常见问题
01 地图投影
地图投影
地图投影的目标是将非 developable 球面投射至 developable 平面上，并将其曲面展开为平面。以确保空间信息在地域上的连续性、完整性以及可测量性。根据美国著名地图投影专家 J.P.Snyder 的统计数据显示, 全球范围内共有 250 种以上的地图投影方法存在
根据所采用的数学法则不同，投影方法可分为几何透视法 和数学解析法 。
几何透视法
基于其背后的几何透视原理，在一系列几何特征的基础上，该技术将地球上的经纬网投影至可展平的平面（如圆锥、圆柱等），从而实现了对空间信息的有效呈现与分析这一创新方法得到了广泛的认可与应用。
为了更好地理解几何透视原理，请您设想一个表面完全透明并标绘有经线与纬线网格的球体。设想一张足够大的平面展开物围绕该球体展开，并在其中心位置放置一个光源穿透整个球体会将这些经线与纬线网格投射到该展开物上。随后沿特定线条裁剪并将该展开物铺展成平面图即可完成这一过程。
几何透视投影法存在一定的局限性,主要体现在其精度不高且难以控制其变形程度,通常用于处理比较简单或简单的投影问题.
数学解析投影
数学解析投影 基于笛卡尔提出的解析几何理论精确计算球面上某点的地理坐标与平面上对应点的直角坐标之间的转换关系，并且该方法能够较为合理地控制投影变形，在处理复杂的情况时表现良好。
大多数情况下，在进行数学解析投影时，则会基于几何透视投影的方法，在球面上建立三维坐标系，并通过在平面上建立平面方程来描述空间中的物体在平面上的映射关系；因此可以说这两种不同的投影方法之间存在密切关联
常用的数学解析投影包括彭纳系列的伪方位/圆柱/圆锥类地图投影以及多圆锥类地图投影等。这些地图类型的详细特性及其应用将在后续章节中系统阐述。
02 地图投影的变形
从几何学角度看，球面是一个不能展开的曲面；将其摊平至平面必然会带来裂痕与褶皱现象；这会导致地理物象和地理形态变得断裂而不完整；就像用剪刀撕裂一个足球所呈现的那样多种断裂点遍布表面一样
地图投影通过数学法则的应用，在断裂或褶皱区域进行扩张或收缩。在发生拉伸与压缩的过程中，在地球表面形成的断裂带和平坦区之间的差异被消除。当球体向平面进行投影时所导致的经纬线几何特性变化即被称为地图投影变形。
地图投影的变形主要体现在：长度变形、角度变形和面积变形。
投影变形最典型的实例是在墨卡托投影下，格陵兰岛的面积大致与非洲相当。具体而言，在这种投影下，格陵兰岛的实际面积仅占非洲总面积的十四分之一左右（相当于一个中等大小的国家）。
我们来看看与投影变形有关的几个概念。
变形椭圆
在 cartography 中, 人们通常应用变形椭圆来形象地展示投影变形情况. 在 cartography 中，默认将地球视为无限小的球体, 在局部区域进行处理时将其视为微分圆. 在投影过程中, 一般无法维持圆形形状, 而是成为了一个椭圆 (称为变形椭圆).
下图是等角、等距、等积三种投影的变形椭圆从赤道到两极的形状变化：
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等变形线
等变形线 是投影中某种变形相等的点的轨迹线。
面对分布较为复杂的投影情况
这是在制图区域较大而且变形分布较复杂时经常采用的一种方法。
等变形曲线在不同的地图投影中呈现出各自独特的形态。例如，在方位投影体系中是以投影中心点为基准没有发生形变，并随着远离投影中心的位置增加而逐渐增大变化趋势因此呈现出同心圆状的分布特征
等变形曲线在不同的地图投影中呈现出各自独特的形态
等变形线通常用点虚线来表示。
标准纬线
标准纬线是地图上经投影后保持无变形的纬线 。
在正轴圆锥投影和平行轴圆柱投影中，在地球椭球体上与正轴平行的曲面接触时，则有一条基准基准纬线；而在接触情况下则有两条基准基准纬线。对于方位投影来说，在该平面内则其基准基准纬线即为割于该平面的基准圈（或等高基准圈）。
03 地图投影的分类
到目前为止，在国外尚未制定出一个关于地图投影统一分类的标准；通常教材多采用以变形性质和构成方法为基础来进行其分类。
1、按照变形性质，可分为等角投影、等积投影、任意投影。
等角投影
等角投影在任何位置的投影平面上任意两条基准线之间的夹角与该处地球椭球体表面相应方向线所形成的夹角相等，并且其对应的区域均能保持形状的一致性。因此得名 正形投影 。
等角投影的特点是：
变形椭圆投影后形状保持不变，仍为圆形。
经纬线投影后保持正交。
地面（椭球面）上任一方向的方位角投影前后保持相等。
该等角投影在不发生角度变形的情况下，并未使面积产生显著变化；其面积变
化程度达到了最大的范围。然而，在这种情况下，
该投影主要通过增大区域的
面积来实现保形特性（即图形相似）。
由于这种投影具有无角度变形的特点，则使得在地图上测量方向与角度变得更为简便。因此常被应用于对真实方向与角度有较高精度要求的地图中如航海图洋流图及风向图等。然而这类投影因面积变形较大因而无法精确计算其面积
等积投影
在平面投影中任何一块区域与其在椭球体表面的对应区域具有相同的实际面积值。
这意味着该区域的几何变形程度为零。
然而，在这一过程中可能会引起角度、形状等多种几何属性的变化。
等积投影的特点是：
在等积投影过程中，在确保其在变形后的区域面积保持一致的前提下，在当变形椭圆的长半轴长度增加时，在其短半轴长度相应缩短的情况下，在这将导致角度的变化显著增大，并使图形的整体形状发生变化较大程度上。
等积投影不发生面积变形；然而角度变形达到最大值 ，亦即该投影主要通过放大角度变形来实现面积的一致性。
等积投影保持面积比例不变，在实际应用中使得不同区域间的面积对比更加直观且易于理解；它特别适用于那些需要精确面积表现的地图类型；例如涉及地质分布、土壤类型分析、土地利用规划以及行政区划设置等相关领域的大比例尺地图或专题地图。
任意投影
任意投影 长度、面积和角度都有变形的投影。
在任意一种投影中，在二维空间中有一种较为常见的等距投影(equidistance projection)，其定义是沿着某特定方向的距离，在经过该种投影后保持一致，并且该特定方向的长度比值为1。
等变形投影常被应用于其适用范围通常是在面积和角度变形均较小的情况下的地图，并常见于诸如教材地图、科研地图等。
2、按照投影面不同，可分为圆锥投影、圆柱投影和平面投影。
圆柱投影
将地球的经纬线网投射至设定的圆柱面上，并沿所选经线切开展开成平面，则可完成圆柱投影。
圆柱投影常用于制作赤道附近的地图以及全球范围的地图。这类投影包含多种常用的圆柱投影类型，例如墨卡托投影、高斯-克吕格投影以及UTM（Universal Transverse Mercator）投影等。
圆锥投影
假定选择一个合适的参数设置使得圆锥面与地球体相切或相割，在这一前提下实现球体表面的经纬线网络按照特定投影方式投射到圆锥面上；接着沿选定的一条经线将其展开成为平面图形。
常见的圆锥投影包括兰伯特（正轴等角切圆锥）投影与阿尔伯斯（正轴等积切圆锥）投影这两种类型，在应用上主要适用于中纬度地区沿经纬线方向延伸的地图区域，在我国的制图工作中多会选择该类地图投影方案
平面（方位）投影
平面投影也被称为方位投影 或者天顶投影 ，它是通过使用一个特定的几何面来投射地球表面形状的一种地图表现形式。在平面上投射时采用相切或相割的方式，在该几何面上投射时采用特定的角度和位置关系进行处理。这种地图表现方法能够有效地将三维空间中的地理要素转换为二维平面的地图图形。
方位投影主要用于制作两极地区图。
3、按照球面与投影面的相对位置，可分为正轴投影、横轴投影和斜轴投影
正轴投影
对于平面投影而言，在正轴平面投影中，投影面必与地极线垂直。对于采用几何变换的球面地图投影而言，在正轴条件下，则其展开图上的某些基本几何要素如纬线间隔、经距缩放因子等均存在明确的数学关系式描述。
横轴投影
横轴方位投影可称为以投影面平行于地轴的方式实现的地图投影技术。其中具体包括横轴圆柱投影和平面圆锥投影两大类，在这两类中又分别以相应的圆柱或圆锥的旋转主直立轴垂直于地轴方向作为其基本构造特点。
斜轴投影
斜轴方位投影即为投影面与地轴呈斜角相交；而斜轴圆柱投影以及斜轴圆锥投影则指其对应的圆柱轴和圆锥轴均与地轴呈斜角相交。
04 地图投影小结
地图投影的形变是将球面转换为平面的必然过程，并且完全消除形变的投影在理论上并不存在。
对某一地图投影而言，在没有某类变形的情况下，则必然会伴随其他类型的变形。但在制图实践中，则能达到以下两种情形：一部分地图投影能够避免角度或面积的变形；另一些地图投影则能在特定方向上实现无长度比例尺的变化。
采用多样化的地图投影手段，在根据所在制图区域的位置特征、形状特点及范围大小的基础上，并结合地图的比例尺大小以及内容详尽程度等因素的基础上选择合适的地图投影
3、有时在大比例尺地图中，各种投影带来的误差可以忽略不计。
就关于地图投影及其相关概念的讨论至此结束。其中大部分内容源自于各方面的教材、文献以及网络资料的整理。不可避免地存在某些不足之处。如若对某些地方的理解不够到位，请随时留言指正。
参考资料：
[1] 地图投影 Map Projections，E.W.格拉法伦德等，ISBN 978-3-540-36701-7。
[2] 地图学原理与方法，王家耀，孙群等，ISBN 7-03-016498-9。
[3] 维基百科-地图投影：https://zh.wikipedia.org/wiki/地图投影。
[4] 百度百科-地图投影：https://baike.baidu.com/item/地图投影。
[5] https://www.whu-cveo.com/2018/07/26/coordinate-projection/ 。
[7] NNU.Group (2020). 任意角度投影, 概念与语义, OpenGMS, https://geomodeling.njnu.edu.cn/repository/concept/b8517263-7235-4848-9f6b-08269aea4405
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