《线性代数的本质》
线性代数的本质
线性代数的本质
向量究竟是什么
线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量，需要先明白什么是向量
不同专业对向量的看法
- 物理专业：长度和方向
- 计算机专业：有序的数字列表
- 数学专业：加法和数乘
探讨如何理解向量的本质
在几何学中，向量被视为具有方向和长度的空间箭头，在线性代数框架内，默认以原点作为所有向量的起点。通过将有序数字序列与之对应起来，则能更清晰地描述其性质；为了明确区分点（-2, 3）与对应的向量（-2, 3），通常采用竖直排列的方式，并用方括号包裹起来。三维空间中的情况与此类似。
w = v + w在几何上表示为：将w向量从原点沿着v向量的方向平移（如图所示），从而得到两个向量的和。视频中指出，“就是想空间中某一方向移动一段距离。”即相当于在空间中先沿v方向运动一段距离（例如，在空间中先沿v方向运动），再沿w方向运动同样距离（例如，在空间中再沿w方向运动），这与你直接沿着他们的和向量运动的效果是一致的。
该操作涉及将一个标量与一个向量子相乘。这种运算等价于对该向量子进行比例调整。其主要作用在于调整该向量子的大小。
线性组合：张成的空间与基
二维平面中存在两个特别的向量被称为基本单位矢量；每当我们在描述某个特定的向量时，其数值表示都基于我们所选择的基础矢量；由这些基本单位矢量的所有线性组合所构成的空间称为张成的空间
当想象一个向量时，在脑海中描绘其方向与大小；当涉及多个向量时，则将其视为独立的点分布于空间中。在三维坐标系中选取两个指向不同方位的基底向量，并对红蓝两标量进行按比例放大并叠加在一起，则可得到绿色结果；通过逐步调整这两个标量值的变化幅度（权重），即可得到一条穿过原点的空间直线；如果在此基础上再引入第三个不在前两者张成平面上的新向量，则该新矢量化起到改变原有平面自由度的作用；由于该新矢量化与其他两个基底方向各异，在不影响原有平面扩展的前提下实现了三维空间的整体覆盖能力
- 线性相关：一个向量由其他向量构成其线性组合
- 线性无关：每个向量都对张成的空间施加了新的维度，则它们被称为线性无关
基的严格定义：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。
矩阵和线性变换
我认为该视频利用可视化手段展示内容。通过列举具体实例来辅助理解；接着归纳总结出一般情况下的理论框架。线性变换能够抓住事物的本质特征；确定基向量；将矩阵视为空间中的一种变换操作。
线性映射的理解：
映射关系上说，在给定输入下获得对应输出的过程；而"变换"则更倾向于直观地呈现这一输入输出之间的联系。
在空间中进行的各种变换形式丰富多样；而相对于其他领域而言；线性代数中的变换更容易被理解和掌握；那么如何理解"线性"这一特性呢？它需要满足以下两个基本条件：一是经过任何线性变换后；原来的直线仍然保持为直线；二是原点位置必须保持不变。这种情况下；网格线不仅保持平行且等距分布；而且原点的位置也不会发生改变。将这种以矩阵形式表示的空间变换的思想，在后续内容中具有广泛的应用。
通过数值表示线性变换的方式，在给定一个原始向量坐标时可以得到其经过变换后的坐标值？实际上只需要记住基向量在经过变换后的具体位置关系即可看出：一个线性变换完全由四个元素决定——即i帽和j帽在被转换后的两个坐标中的数值。
矩阵乘法与线性变换复合的联系
回顾上文内容可知, 线性变换是一种作用于向量空间的函数. 我们可以把这种变换视为对空间施加压力的过程, 它确保了网格线既保持平行又间距相等, 并且始终将原点固定在原位. 其关键在于观察基底向量的变化情况, 因为任何其他的向量都可以表示为这些基底向量的组合.
矩阵乘法的意义就是，就是两个变换的相继作用
类似地，在处理函数时通常会按照内部到外部的顺序逐步解决；矩阵运算同样遵循这样的步骤，在执行过程中首先实施旋转变换，在同样的方向上依次完成剪切变换。
让我们考察如何执行运算。接着分析M1的第一列：这表示i向量经过第一次变换后的结果。随后计算该结果在M2作用下的值：从而获得符合运算的结果的第一列。类似地分析j帽的变化过程
依次变换其性质如下：从下图可见两次作用的先后顺序会影响结果。
然而线性变换满足结合律的原因在于，并没有改变作用的顺序；而是按照从右向左的方式进行变换操作；因此可知矩阵乘法确实具备结合性。
附注1 三维空间的线性变换
与二维空间中的线性变换相仿，在三维空间中进行线性变换时的关键点仍然是基向量的变化情况。
绕y轴旋转90度后，在此三维空间中进行线性变换时的基底坐标的转换情况如下所述：经过计算可知，在此变换过程中仅需9个参数即可完整描述。
将一个坐标看作基向量的缩放，这可以帮助我们理解坐标变换。
行列式
剪切矩阵， i帽保持不变，j帽变成【1， 1】，覆盖的面积也随之改变
线性变换的determinant,其数值代表了区域面积的变化程度.当determinant为负时,空间发生翻转,即i,j的位置关系确实发生了变化.
通过行列式的本质来理解其计算，二维空间中，本质是面积的计算
逆矩阵，列空间，秩和零空间
通过线性变换来理解
- 逆矩阵
- 列空间
- 秩
- 零空间：帮助我们理解所有解的集合是什么样的 f
从基础开始深入理解方程组的过程中，请注意其中涉及多个未知数及其相关联的方程体系。通过矩阵运算方法能够系统地解决这些线性代数问题，在这里我们可以将所有这些线性组合问题转化为统一的向量形式表达。
用矩阵A代表一种线性变换（Transformation）
若其行列式的值非零：
其逆矩阵相当于对原矩阵施加相反的操作
通过A⁻¹作为工具用于解决向量方程
当变量数量与方程数目相同时，则通常能唯一确定解
行列式为0：
不存在逆变换，但是解依旧可能存在
秩
以秩为2的矩阵为例表示，在线性变换作用下之后基向量仍可张成整个二维空间。秩更为严谨地定义为其列空间的维数。由于线性变换必须保持原点不动，则零向量必然包含于列空间之中。
非方阵 不同维度空间之间的线性变换
主要深入探讨非方阵的几何意义，在此过程中指出列数代表了基向量的数量，在线性变换中行数则表明每个基向量在变换后所需独立坐标的数量。举个例子来说，在二维空间中使用三个不同的非标准正交基底进行线性变换时会发现其特点与性质与标准正交矩阵存在显著差异：以三个基向量为例，在经过线性变换后每个基向量只需两个坐标系即可充分描述其位置变化
从多维线性变换的角度出发，深入分析其重要性所在，并构建理论体系基础。
点积和对偶
通过线性变换来真正理解点积
两个维度相同的向量
- 当点积大于零时, 向量在另一向量上的投影与之同向
- 当点积等于零时, 向量互相垂直
- 当点积小于零时, 向量在另一向量上的投影与其相反
为什么点积会和投影相关呢？这里就要理解对偶性
叉积的标准介绍
叉积运算的绝对值表示两个向量所围成区域的面积
可以通过行列式来计算叉积，标准基经过线性变化，围成平行四边形。
叉积本质得到一个向量，方向根据右手法则确定
以线性变换的眼光来看待叉积
事情本身非常棘手，并未完全理解其中的道理。最好的状态应当是能够用简单明了的语言解释那些难以理解的知识。
首先回顾叉积的计算
