线性代数的本质
目录
1.什么是向量
2.什么是基向量
3.什么是正交基
4.什么是矩阵
5.什么是线性变换
6.什么是行列式
7.什么是秩
8.什么是特征向量
9.什么特征值
1.什么是向量
在空间中存在多种箭头形式以表示不同的向量为便于分析与计算在该空间中引入了直角坐标系使得每个向量都可以通过其对应的坐标点来表示任何一个这样的点都对应着该二维向量的数值表达
以中括号里的-1 ，2这个向量为例，它表示x轴坐标为-1，y轴坐标为2的点
2.什么是基向量
方向和坐标系一致，长度为1的单位向量记为基向量。记为i冒，j冒。
3.什么是正交基
互相垂直的两个单位向量即为正交。
4.什么是矩阵
可以将矩阵理解为一个函数，但是用变换来表示矩阵更为恰当。
5.什么是线性变换
一个向量通过矩阵变换未被变形（刚体运动），称为该矩阵为线性变换。若发现变形，则属于非线性变换。
6.什么是行列式
单独阐述行列式的含义则无意义，通常称为该矩阵的行列式。以二维空间为例，则由基向量所构成的矩阵即为此二维空间下的基本矩阵。
设为二维单位阵[I]_2，该矩阵的行列式计算方法为主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积之差值为1×1−0×0=1。这实际上就是由两个基向量所围成的平面图形面积。类比于三维空间，在这种情况下，在三维空间中由三个基向量组成的单位矩阵其行列式的计算结果即为这三个基向量所张成的空间平行六面体体积。那么行列式的具体意义究竟是什么呢？我们知道任何一个二维矩阵都是通过二维空间中的基向量变化而得到的。例如矩阵\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}就代表了将标准基向量分别拉伸3倍后形成的变换。
该矩阵的第一列为\left(\begin{array}{c} -\vec{i} \\ -\vec{j} \end{array}\right)吗？或者是不是？抱歉，在此过程中可能有些地方需要进一步优化语言表达或者检查数学符号是否正确无误。
通过基向量张成的空间单位面积1在经过线性变换之后放大了9倍。换句话说就是行列式的定义。也就是说，在这种情况下行列式对应着线性变换后的空间缩放因子。需要注意的是行列式的值可能为负数，在这里负数意味着空间发生了反转。就像一张纸正反两面翻转了一样。
7.什么是秩
通常来说，在讨论某一个特定矩阵的时候我们会提到它的"rank"（秩）。"rank"指的是经过线性变换后所形成的向量空间的维度大小。显然地，在任何情况下我们都有rank(A) \leq n（其中n代表原始空间中的维度）。特别地，在这种情况下如果rank(A) = n则我们将其称为满秩变换（full rank transformation）。即在三维空间中旋转立方体时，并不会改变其维度；而当该矩阵的秩小于其自身维度但又不为零时，则说明该线性变换会使原本处于三维的空间被压缩至二维平面；类似地若一个三维物体经过某种线性变化后被压平成了一张二维平面，则表明该变化具有降维的效果；进一步地若一个n阶方阵满足rank(A) = 0则它将把整个n维向量空间映射到零点位置；换句话说只有那些所有行（列）均为零向量的零矩阵才会满足这一特性
或
。总之就是任意n阶全0矩阵。
8.什么是特征向量
通常称某个特定矩阵所对应的特征空间中的非零向量为该矩阵的特征向量。这些特殊的非零向量具有一个显著的特性：它们在经历某一特定矩阵作用后不会发生方向上的改变。例如，在坐标系中位于x轴或y轴上的任意向量，在施加旋转矩阵于这些向量时会保持原有方向不变。
经过矩阵作用后的向量仍然位于坐标轴上，并且其大小放大了三倍；其中放大因子即为对应的特征值。
9.什么特征值
某矩阵变换后特征向量的压缩因子，例如特征值
就表示某向量经过矩阵变换后调转了方向且被压缩为原来的一半。
在下面涉及的数学表达式中探讨特征值、特征向量及其与变换矩阵的关系。其中，在这一段中我们定义A为特定的线性变换矩阵，在这种情况下对应的非零向量V即为该变换矩阵的特征向量。第一个数学表达式的核心意义在于：当A作用于该向量时的结果是一个标量倍数。
乘以向量V，加入单位矩阵I是为了进行恒等变换。意思是某个常熟
与单位矩阵相乘的结果等于矩阵A。根据第三个公式可知，在前面括号中的矩阵作用下向量V被变换为零向量，则该括号内所包含的矩阵行列式的值为零。
