傅里叶级数与傅里叶变换

基础不牢，地动山摇。

傅里叶级数（周期函数）：任何满足狄利克雷收敛条件的周期函数都能用一系列三角函数的和来表示。

傅里叶变换（非周期函数）：傅里叶变换从傅里叶级数变换而来，且傅里叶变换的应用不仅限于周期函数，也适用于非周期函数。

1. 三角函数系的正交性

定义三角函数系为这样一个集合：\left \{ 1,\ \sin x,\ \cos x,\ \sin 2x,\ \cos 2x,\ \cdots,\ \sin nx,\ \cos nx \right \}；

三角函数系的正交性是指：从三角函数系中任取两个不同的元素，它们的乘积在上的定积分等于零。证明如下图：

2. 周期为“2π”的函数展开为傅里叶级数

设f(x)是周期为2\pi的周期函数，即：f(x)=f(x+2\pi)。这样的函数，我们可以将它展开成如下形式：

可以看出，在n取0时，对应着展开式的常数项，让我们将它稍微拆分一下，把常数项单独拎出来：

f(x)=a_{0}\cos 0x+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx+b_{0}\sin 0x+\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx

又因为：，\sin 0x=\sin 0=0，所以展开式可以写成：

f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx

式中，系数，a_{n}，可以用原函数f(x)和三角函数表示出来，让我们逐个计算一下：

① 考虑 {\color{DarkBlue} a_{0}}

技巧为：对展开式的等号两边同时在上进行积分，计算如下：

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_{0}\ dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx\ dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx\ dx

由上面介绍过的三角函数系的正交性可以看出，等号右边第二项和第三项其实都等于零，可以消掉，消掉后运算就变得很简单：

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_{0}\ dx

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ dx=2\pi\cdot a_{0}

a_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ dx

② 考虑 {\color{DarkBlue} a_{n}}

首先，让我们回顾一下f(x)的展开式：

f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx

求a_{n}的技巧为：对展开式两边同时先乘一个\cos mx，再在上进行积分，计算如下：

\small \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\ dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_{0}\cos mx\ dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx\cos mx\ dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx\cos mx\ dx

由上面介绍过的三角函数系的正交性可以看出，等号右边的第一项和第三项其实都等于零，可以消掉，消掉后上式变为：

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\ dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx\cos mx\ dx

注意等号的右边，如果我们将求和符号拆开来写，这个式子可以写成：

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\ dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_{1}\cos x\cos mx\ dx+\int_{-\pi}^{\pi}a_{2}\cos 2x\cos mx\ dx+\cdots+{\color{Red} \int_{-\pi}^{\pi}a_{m}\cos mx\cos mx\ dx}+\int_{-\pi}^{\pi}a_{n}\cos nx\cos mx\ dx

由三角函数系的正交性可以看出，等号右边的无穷项中大部分都为零，只有一项不是零，这一项已经在上式中标红，因为三角函数系中两个不同的 元素相乘才具有正交性，而这一项中的两个元素是相同的。将式子中等于零的项都去掉，可得：

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\ dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_{m}\cos mx\cos mx\ dx
=a_{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos ^{2}mx\ dx=a_{m}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos 2mx}{2}\ dx=a_{m}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\ dx+a_{m}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos 2mx}{2}\ dx
=\pi\cdot a_{m}

\therefore \ \ a_{m}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\ dx\ \ \ \ (m=1,2,\cdots)

将m换成n即可得到a_{n}的表达式：

a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\ dx\ \ \ \ (n=1,2,\cdots)

③ 考虑 {\color{DarkBlue} b_{n}}

首先，还是先回顾一下f(x)的展开式：

f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx

求的技巧为：对展开式两边同时先乘一个\sin mx，再在上进行积分，计算如下：

\small \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\ dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_{0}\sin mx\ dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx\sin mx\ dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx\sin mx\ dx

由三角函数系的正交性可以看出，等号右边第一项和第二项其实都等于零，可以消掉，消掉后上式变为：

\small \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\ dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx\sin mx\ dx

接下来的思路与算a_{n}时一样，不再赘述，最后求得的表达式为：

b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\ dx\ \ \ \ (n=1,2,\cdots)

综上所述，周期为2\pi的函数f(x)的傅里叶展开式为：

f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx
a_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ dx
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\ dx\ \ \ \ (n=1,2,\cdots)
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\ dx\ \ \ \ (n=1,2,\cdots)

但是我们发现，的表达式中，系数为1/2\pi，而a_{n}和的表达式中，系数都为1/\pi，为了照顾强迫症患者，周期为2\pi的函数f(x)的傅里叶展开式还有另一种写法，同时这也是课本中广泛使用的写法：

{\color{DarkRed} f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx}
{\color{DarkRed} a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ dx}
{\color{DarkRed} a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\ dx\ \ \ \ (n=1,2,\cdots)}
{\color{DarkRed} b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\ dx\ \ \ \ (n=1,2,\cdots)}

3. 周期为“2L”的函数展开为傅里叶级数

让我们将傅里叶级数推广到更一般的情况，假设f(x)是周期为2L的周期函数，即：f(x)=f(x+2L)。在这里，我们的技巧是用换元法 将这个周期为2L的函数转化成一个周期为2\pi的新函数。思路如下：首先，考虑-L\leq x\leq L是函数f(x)的一个周期，如果我们对这个周期同时除以L，再同时乘上\pi，可以转化为：

-L\leq x\leq L\ \ \ \rightarrow \ \ \ -1\leq \frac{x}{L}\leq 1 \ \ \ \rightarrow \ \ \ -\pi\leq \frac{\pi x}{L}\leq \pi

作变量代换z=\frac{\pi x}{L}，于是我们就将区间-L\leq x\leq L变换成了-\pi\leq z\leq \pi。

由z=\frac{\pi x}{L}可以得到x=\frac{Lz}{\pi}，我们令：f(x)=f(\frac{Lz}{\pi})=F(z)，可以证明F(z)是周期为2\pi的周期函数：

F(z+2\pi)=f(\frac{L}{\pi}(z+2\pi))=f(\frac{Lz}{\pi}+2L)=f(\frac{Lz}{\pi})=F(z)

所以我们可以将F(z)展开为傅里叶级数：

F(z)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nz+\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nz

在以上式子中令：，并且注意到，于是可以得到周期为的函数的傅里叶级数：

4. 傅里叶级数的复数形式

傅里叶级数还可以用复数形式表示，这里我们需要借助欧拉公式 ：

利用欧拉公式可以将上面周期为的函数的傅里叶级数进行转化：

将等号右边第三项中的""用""来替换，即：

大家可能有疑问，真的可以这样替换吗？答案是可以的，如果我们将求和符号拆开来写，会发现等号两边是同样的元素在相加。

可以发现，等号右边第二项和第三项都含有，让我们将等号右边第一项改写一下，让它也含有：

由于，所以这一项中其实等于；把等号右边第一项和第三项这样处理一下之后，复数形式的展开可以变为：

写成这样之后，我们发现，已经包含了从到的所有整数，所以，我们将展开式进一步简写为：

将上一节最后得到的，，的值代入，可以得到：

到这一步，我们惊喜地发现，在取正整数或者负整数时，的表达式是一样的，其实可以在取时，这个表达式同样成立，即我们可以只用这一个式子将所有的系数表示出来。那么周期为的函数展开成傅里叶级数的复数形式可以表示为：

5. 傅里叶变换

在实际应用中，我们会用一些符号使得式子看起来更舒服一些，我们用来表示周期，即；再令，我们称为基频率，将这些符号表达加入后，周期为的函数的傅里叶级数可以写为：

周期为的函数傅里叶级数的复数形式可以表示为：

前面讨论的都是周期函数，那么非周期函数怎么办呢，能否找到一种更加一般的表达形式呢？非周期函数，顾名思义，它不会重复，或者说在无穷远处会重复，所以我们可以认为非周期函数的周期，此时，。让我们以为变量，当时，是离散值，当趋近于无穷小时，它就成为连续变量，取为，那么；，让我们先将代入写成完整形式：

接着，考虑，将上面计算出的一些变量符号替换进去，可以得到：

由于，所以可以写成积分的形式，那么可以进一步写成：

f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\cdot wx}\ dx}\cdot e^{i\cdot wx}dw

我们将这个式子中标红的部分称作函数的傅里叶变换，记作或，即：

而原始函数可以写为：

\dpi{120} {\color{DarkRed} f(x)=F^{-1}[F(w)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }F(w)\cdot e^{i\cdot wx}dw}

我们称之为傅里叶反变换。

参考：

一般周期函数的傅里叶级数 - 百度文库
《信号与线性系统分析》吴大正 主编
《高等数学》同济七版 下册