【CG】仿射变换(Affine Transformation)
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- 定义
- 图示
- 齐次坐标表达
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定义
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简单来说，“仿射变换”= “线性变换”+“平移”
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线性变换
- 变换前是直线的，变换后依然是直线
- 变换前是平行线的，变换后依然是平行线
- 变换前是原点的，变换后依然是原点
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仿射变换
- 变换前是直线的，变换后依然是直线
- 变换前是平行线的，变换后依然是平行线
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所以，线性变换一定是仿射变换，仿射变换不一定是线性变换
图示
如上图线性变换就是通过 翻转，旋转，缩放，错切 这四种原子变换复合而成的变换；仿射变换就是通过 平移，翻转，旋转，缩放，错切 这五种原子变换复合而成的变换。
齐次坐标表达
以二维图像的仿射变换为例，
在二维平面上
- 线性变换 \vec y = A \vec x
- 仿射变换 \vec y = A \vec x + \vec b
引入齐次坐标表示
- 仿射变换
展开来看，就是
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从代数角度看，仿射变换矩阵具有 6 个自由度，一组对应点(x_0,y_0) \Leftarrow \Rightarrow (x,y)可以提供两个等式，因此基于不共线的三组对应点，可以唯一确定仿射变换。
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从几何角度看，齐次坐标把二维上的仿射变换升维成了三维上的线性变换。可以去 Wikipedia上看这个的动图
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