无人驾驶车辆模型预测控制_【无人驾驶】车辆动力学模型及其验证、线性化、离散化...

一、动力学模型推导

车辆动力学模型在运动学模型的基础上进行外延，将车速进行提高，结合轮胎纯侧偏特性，忽略横纵向力的耦合关系，由此得到的车辆的动力学模型。

在车辆坐标系下，质心速度v在x轴和y轴上的分量为和，由于车辆行驶时，不仅在做平动，还在绕某一瞬轴做转动，在时刻，车辆坐标系中质心速度v的大小和方向相对于t时刻均发生变化，此时车辆坐标系相对于大地坐标系的位置和方向也都发生了变化。在时刻相对于t时刻的车辆坐标系下，时间内和的变化量分别为：

考虑很小，做出如下假设(15°以内，根据实际计算可以放大)：

同时忽略二阶微量，时间内和的变化量分别为：

因此，在车辆坐标系下，沿x轴和y轴速度的变化率即沿x轴和y轴的加速度为：

其中和是一个惯性加速度，也称为科里奥利加速度，对应的力也称为科里奥利力。因此，在车辆坐标系下，沿x轴、y轴的平衡方程以及绕z轴转动的平衡方程为：

将前、后轮沿x轴和y轴的力分解为前、后轮轮胎的侧向力和纵向力，得：

前轮侧向力在x轴上的分量始终为负，因此在前增加负号纠正车轮转角正负的影响，上式参数均为矢量。

轮胎的侧向力和纵向力与轮胎的侧偏/纵向刚度、侧偏角/滑移率、地面摩擦系数、垂直载荷有关，在确定的车辆和地面，可以认为侧向力和纵向力有如下关系：

其中：
、为前、后轮侧偏刚度；
、为前、后轮纵向刚度；
、为前、后轮侧偏角；
、为前、后轮滑移率。

前、后轮侧偏角可以根据速度得正切值求得。由于前轮为转向轮，实际上侧偏角的大小为前轮转角和速度正切值的差值：

其中：、为前轮速度沿车辆坐标系x轴、y轴的分量；、为后轮速度沿车辆坐标系x轴、y轴的分量；由于车辆为一个整体，则x轴方向上各点的速度相同。在y轴方向上，根据车辆横摆角速度的方向，前、后轮相对质心处的y轴方向的速度为角速度与距质心距离的乘积，相对瞬心的y轴方向的速度则再加上质心相对瞬心的y轴方向的速度：

将上式带入侧偏角公式，得前、后轮侧偏角为：

结合上述关系式可以得到如下关系：

在大地坐标系下，车辆沿X轴、Y轴方向的速度为：

令控制量、状态量分别为：

可以得到：

至此车辆动力学模型推导完毕。

二、小角度简化

在小角度下，上式可以简化为：

三、动力学模型验证

由Carsim输出车辆横纵向速度及横摆角速度至simulink模块，验证其准确性。Carsim输出量如下：

纵向车速保持60km/h，转角输入如下：

simulink模型如下：

s-function代码如下：

    function sys=mdlUpdate(t,x,u)%% 车辆参数tt=0.05; % 采样时间cfc=66900; % 此处轮胎刚度借用《无人驾驶车辆模型预测控制》中的刚度参数cfl=66900;crc=62700;crl=62700;sf=u(7); % 前后轮滑移率sr=u(8);a=1.015; % 前轮到质心的距离b=1.895; % 后轮到质心的距离iz=1536.7; % 转动惯量m=1270; % 质量sw=u(9)/18*pi/180;%% 动力学模型Y=x(1);X=x(2);phi=x(3);y_dot=u(4)/3.6;x_dot=u(5)/3.6;phi_dot=u(6);Y_dot=x_dot*sin(phi*pi/180)+y_dot*cos(phi*pi/180);X_dot=x_dot*cos(phi*pi/180)-y_dot*sin(phi*pi/180);x(1)=Y+Y_dot*tt;x(2)=X+X_dot*tt;x(3)=phi+phi_dot*tt;y_dot=x(4)/3.6;x_dot=x(5)/3.6;phi_dot=x(6)*pi/180;dy_dot=-x_dot*phi_dot+2/m*(cfc*(sw-(y_dot+a*phi_dot)/x_dot)+cfl*sf*sw-crc*(y_dot-b*phi_dot)/x_dot);dx_dot=y_dot*phi_dot+2/m*(-cfc*sw*(sw-(y_dot+a*phi_dot)/x_dot)+cfl*sf+crl*sr);dphi_dot=2/iz*(a*cfc*(sw-(y_dot+a*phi_dot)/x_dot)+a*cfl*sf*sw+b*crc*(y_dot-b*phi_dot)/x_dot);x(4)=x(4)+dy_dot*tt*3.6;x(5)=x(5)+dx_dot*tt*3.6;x(6)=x(6)+dphi_dot*tt*180/pi;sys = x;
    

仿真结果如下(蓝线为carsim输出值，红线为计算值)：

四、线性化

与运动学模型线性化类似，考虑系统某个工作点为，为施加控制后得到的系统状态量，存在如下一阶线性微分方程：

在点处进行泰勒展开，忽略二阶及以上高阶项，得：

令：

可得：

其中：

五、离散化

六、延伸

牵连运动、科里奥利力、科里奥利加速度、轮胎横向模型、轮胎纵向模型、魔术公式。七、个人理解

从仿真结果的结果来看，动力学模型对于横纵向速度的计算并不是很准确，从carsim的动画来看，整车的姿态变化比较小，考虑从轮胎刚度及滑移率上进行修正尝试。另外在大角度转弯下，动画中车身的姿态的变化已经较为明显，此时上述模型已经不在适用，因此，简化后的模型其实对前轮转角的大小及变化率要求比较严格。

在轮胎刚度的计算时，从carsim中轮胎曲线用魔术公式反推轮胎刚度，偏差比较大，因此直接借用了书中的轮胎尺寸及刚度，后续计划轮胎单独进行展开。之后的更新计划是在上述模型的基础上，进行LQR和MPC算法的应用，之后是EPS系统的“小插曲”，随后就是LKA等的展开。

个人微信号：wxheizhicn，欢迎交流学习~