经济增长（二）索洛模型

经济增长

第二章：索洛模型

基本的索罗模型

模型的假设

• 经济体所生产消费的只有一种产品

  • 没有贸易

• 技术是外生变量

  • 公司的可用技术不受公司研发等行为影响

• 个人储蓄之占收入的一小部分

模型的建立

生产

Y=F(K,L)=K^\alpha L^{1-\alpha}
规模收益不变

厂商

收益
\pi=K^\alpha L^{1-\alpha}-rK-wL
(r:利率、w:工资率)
企业实现最大利润的一阶条件：
\frac{\partial \pi}{\partial L}=(1-\alpha)\frac{Y}{L}-w=0 表示企业在最优生产规模下对劳动要素的需求量等于边际产品价值与工资率之差为零的状态；
\frac{\partial \pi}{\partial K}=\alpha\frac{Y}{K}-r=0 表示企业在最优生产规模下对资本要素的需求量等于边际产品价值与资本成本之差为零的状态。

要素

因为
wL+rK=(1-\alpha)\frac{Y}{L}L+\alpha\frac{Y}{K}K=Y
所以
\pi=Y-rK-wK=0

要素权重

\frac{wL}{Y}=(1-\alpha)\frac{Y}{L}\frac{L}{Y}=1-\alpha
\frac{rK}{Y}=\alpha\frac{Y}{K}\frac{K}{Y}=\alpha

劳均产出

y=\frac{Y}{L}=\frac{K^\alpha L^{(1-\alpha)}}{L}=\frac{K^\alpha}{L^\alpha}=k^\alpha

资本积累

\dot{K}=sY-\delta K

记sY为总投资额。总收入由劳动投入wL和资本投入rK之和决定，并与总产出相等。我们假定那些从事劳动或拥有资本的人会从各自的收入中提取一部分资金s(满足条件0 < s < 1)用于投资

•𝛿𝐾：折旧。现有资本的固定部分，0<𝛿<1.
资本增长率
\frac{\dot K}{K}=s\frac{Y}{K}-\delta

劳均资本

定义为 k = \dfrac{K}{L}；通过对两边取自然对数后进行求导运算得：

\dfrac{\dot{k}}{k} = \dfrac{\dot K}{K} - \dfrac{\dot L}{L} = s \dfrac{Y}{K} - \delta - \dfrac{\dot L}{L}

人口增长

L(t)=L(0)e^{nt}
对数求导
\frac{\dot{L}}{L}=n

索洛方程式

该比值等于 s 乘以 (Y/L) 除以 (K/L)，再减去 δ 和 n；由此可知，
资本积累率的变化率等于 s 乘以 k 的 α 次方减去 (δ 加上 n) 乘以 k；
这一般被称为资本积累方程。

模型的求解

将内生变量用外生变量来表示

索洛图

\dot k=sy-(n+\delta)k

两条曲线之间的差异反映了劳动人均资本的变化情况。当这种变化呈现正值时,劳动人均资本随之上升,并标志着经济结构的优化升级;当这种变化等于零时,则表明实际资本存量仍在持续增长中,仅表现为规模扩张趋势。

稳态的性质

在稳态条件下，在此模型中通过求解得出资本的稳态值为 k^\star = \left( \frac{s}{n + \delta} \right)^{1/(1 - \alpha)}。因此，在稳态条件下计算得到产出的稳态值为 y^\star = \left( \frac{s}{n + \delta} \right)^{\alpha/(1 - \alpha)}。

经济增长

将资本积累方程两边同时除以k，得到

\frac{\dot k}{k}=sk^{\alpha-1}-(n-\delta)

两条线之间的差距就是资本存量的增长率*\frac{\dot k}{k}* .

技术与索洛模型

模型的求解

旨在促进人均收入的持续发展能力，在模型中引入技术进步元素是必要的策略之一。我们定义一个变量A（代表劳动增强型的技术进步），这一设定有助于后续分析。

Y=F(K,AL)=K^\alpha (AL)^{1-\alpha}

假设A的增长率为常数：\frac{\dot A}{A}=g\Leftrightarrow A=A_0e^{gt}

资本积累方程与前面一致：\frac{\dot K}{K}=s\frac{Y}{K}-\delta

该研究采用生产函数式 y=k^\alpha A^{1-\alpha} 的方法，并通过对其进行取对数求导运算来推导出相应的动态方程。

事实表明，\frac{\dot y}{y}为常数，那么g_y=g_k=g

具体而言，在索洛模型的均衡增长路径上，劳动人均产出与劳动人均资本都将以外生给定的技术增长率g递增。在简化版的索洛模型中由于缺乏技术进步的因素因而劳动人均产出与劳动人均资本也不会实现长期的增长。

带技术的索洛图

引入新的状态变量 ：\tilde k=K/AL=k/A

因为k和A的增长率相同，所以它是个常数。

产出—技术比 \tilde y=Y/AL=y/A=\tilde k^\alpha

其中\tilde k定义为资本与劳动乘积与全要素生产率的比例，并通过下式导出如下等式：资本增长率等于总生产率增长率减去技术进步率与劳动增长率之和。即：

\frac{\dot{\tilde k}}{\tilde k} = \left(\frac{K}{AL}\right)' / \left(\frac{K}{AL}\right) = \left(1 - \frac{A'}{A} - \frac{L'}{L}\right)

其中'表示对时间求导数

而\frac{\dot K}{K}的实现等于s乘以(Y除以AL)除以(K除以AL)再减去δ；由此可得\frac{\tilde k}{k}等于s乘以(\tilde y)除以(\tilde k)再减去δ、g以及n。

即\dot{\tilde k}=s\tilde y-(n+g+\delta)k

求解稳态

当物质资本的稳态增长率等于零时，
物质资本人均量达到稳态水平时，
产出人均量也达到稳态水平时，

将方程改写为 y^*(t)=A(t)(\frac{s}{n+g+\delta})^{\alpha/(1-\alpha)}

可以看出，在均衡增长路径上，劳动人均产出主要由技术进步、储蓄率以及人口增长速率等因素共同决定。这些因素的变化会影响劳动人均产出在长期稳态下的水平，而不会影响其潜在的增长率。为了更好地理解这一点，请允许我们借助一个简化的模型来直观展示这一现象。

提高投资率

\tilde{k}的点与k的比值等于s乘以\tilde{y}与\tilde{k}的比值减去(\delta+g+n)；而y的增长率则等于\alpha乘以k的增长率加上(1-\alpha)乘以A的增长率。

• 政策变化并未产生长远的影响，在索洛模型中，政策变化能够推动增长速率，并且仅在短期内沿着路径达到新的稳定状态。
• 政策变化带来了水平影响，在索洛模型中，一个永久性的政策能够持续地影响人均产出的水平。

模型的评估

我们来看一下索洛模型是如何回答经济增长中的关键问题：

Q1:为什么我们如此富有而他们如此贫穷？

A1:投资多，人口增长率低，劳均资本高，提高了劳动生产率

Q2:为什么经济呈现出持续增长？

A2:技术进步（抵消了资本边际产出下降的趋势）

Q3:为什么不同国家间的增长率是不同的？

A3:从他们的长期增长率来看，转型动力使各国以不同的速度增长

增长核算

将产出的增长分为资本的增长、劳动的增长和技术的增长

假定生产函数的形式为Y=BK^\alpha L^{1-\alpha}其中B代表技术系数K表示资本投入L代表劳动投入而指数\alpha则用于分配资本与劳动的贡献率）。由此可得其增长率方程为\frac{dY/Y = (dB/B) + (dK/K) + (1−α)(dL/L)其中dY/Y表示产出的增长率dB/B代表技术进步率dK/K是资本增长率而(1−α)(dL/L)则对应劳动贡献的增长比例

\frac{\dot B}{B}通常被称为全要素生产率

劳均产出的增长率：y=Bk^\alpha \frac{\dot y}{y}=\frac{\dot B}{B}+\alpha\frac{\dot k}{k}

劳均产出的增长率被分解为人均物质资本所作出的技术进步带来的综合生产率提升以及全要素生产率增长的影响。