三角波的傅里叶变换对_关于傅立叶变换

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傅里叶分析属于数学的一个重要分支，在无论是概念还是方法方面都产生了深远的影响，并广泛地影响着其他数学分支的发展。

让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

作为一种突破传统思维方式的数学工具，傅里叶分析不仅在科学领域发挥着基础作用，在工程应用中也展现出强大的生命力。在本文中，默认使用"正弦波"这一术语来指代所有简谐波。

一、什么是频域

自我们诞生起,我们所处的世界按照时间运行,股票价格变动、人类身高以及车辆运行轨迹都遵循着特定的时间规律。在工程学领域,以时间为基准来研究动态变化的方法被称为时域分析法,而这种方法被认为能够揭示世界的本质特征。然而,在这个世界上似乎一切都处于不断的变化之中,这种观点是否正确呢？让我们再仔细思考一下：如果换一种观察方式的话,会不会发现世界其实是永恒不变的存在？这种想法听起来有些疯狂吗？没有理由说疯掉吧！事实上,这个所谓的恒定状态就被称为频域分析法。举个不太恰当的例子：在你的理解中,音乐到底是什么呢？

这是关于音乐最基础的认知方式——随着时间流转而产生的振动。但乐器演奏者们则普遍认为，在这种乐器中展现音符的方式更为直接。

同学们，请注意！下课！大家再见！确实是时候收尾了哦~ 上图为音乐在时域的表现形式, 下图为音乐在频域的表现形式. 频域这个概念对于大家来说并不陌生, 只是没有意识到它就在我们身边而已~ 现在让我们回头再审视一下最初那令人神往的话语: "世界恒久远". 将上两图简化为时域表现形式:

频域：

在时域中，在观察钢琴的琴弦时会发现其一会上一会下的摆动情况类似于股票市场的涨落；而在频域中，则仅有那个持续不断的音符。

你眼中看上去是一个动态变化的世界，在那层面上却始终保持着一种静止的整体感。这个景象恰似上帝手中的一段已预先编排好的乐章，在时间的流逝中持续演奏着永恒的主题。

请原谅这并非是一句励志语录，而是一块黑板上严谨的数学公式：傅里叶同学曾指出：任何周期性函数都可以表示为不同振幅、不同相位正弦波的叠加。在第一个案例中我们可以直观地理解这一观点：通过调节不同琴键的不同力度与时间点进行敲击操作，则能够拼接出任意一首乐曲。而贯穿时域与频域分析方法之一，则是我们常说的傅里叶分析方法。该方法主要包含傅里叶级数（Fourier Serie）与傅里叶变换（Fourier Transformation）两大类内容；我们从基础部分开始深入探讨。

二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱

还是举个例子并配上图片更容易理解呢？假如我能用前面提到的方法将正弦曲线波进行叠加生成一个带有90度角的矩形波你会相信吗？别人不会包括当年我就是这么想的但是一看图就懂了

第一幅图是一个郁闷的正弦波cos(x)第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)第三幅图是4个发春的正弦波的叠加第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？(只要努力，弯的都能掰直！)随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。(上帝：我能让你们猜着我？)不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没
有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：

在这些图表中,最前面黑色线条就是所有正弦波叠加后的总和,逐渐趋近于矩形波的形式.而其他以不同颜色排列的线条则是组成矩形波的不同谐波分量.这些谐波按照频率从低到高从前向后依次排列,且每一个谐波的振幅都不相同.细心观察的话会发现,每两个谐波之间都有一条直线,这条直线并非分割线,而是振幅为零的谐波.换句话说,为了合成特定形状曲线所需的某些谐波成分实际上是不需要存在的.这里所说的不同频率的谐波统称为频率分量.关键点在于:如果我们把第一个最低频的频率分量视为"1",那么我们就得到了构建频域的基础单元.对于有理数轴而言,数字"1"就是其基本单元.时域中的基本单元则是"1秒".如果我们把角频率ω=2π的基本正弦函数cos(ωt)作为基准函数,那么频域中的基本单元就是δ(ω).有了"1",我们还需要有"0"才能构建完整的系统.那么频域中的"0"是什么呢?cos(0t)实际上是一条周期无限长的正弦函数曲线——一条直线!因此在频域中,零频率也被称为直流分量,它仅影响合成后的全部信号相对于坐标轴的整体偏移而不改变信号形状.接下来让我们回到初中课本上关于老师讲解正弦函数的知识吧.

正弦波可以被视为由圆周运动在直线上投影而形成；因此频域中的基本单元也对应于持续旋转的圆形结构

介绍完频域的基本构成单元后，在频域中可以看到一个矩形波的另一幅完整的图像。

这到底是个什么东西？观察者在频域中看到的就是这样的矩形波图形，在时域中它可能是一个方波信号的基本形态特征。初学者往往难以立即辨识它的本质特征，在大多数教材中都会在这里留下悬念以激发读者进一步思考和讨论的空间。然而实际上如果能配上一张频域图像图解的话会更加直观清晰。

再清楚一点：

通过观察，在频谱图上，所有偶数次谐波分量完全消失（即其幅度均为零），这与图中所示的颜色线条相对应。那些幅度为零的正弦波函数。

老实说，在学习傅里叶变换的时候, 维基百科上尚未展示出这张图, 当时我就想到了这种表达方法. 而在深入探讨相位谱之前, 我先回顾了一下刚才的那个例子究竟蕴含着什么意义. 记得之前提到过那句"世界是静止的"吗?估计很多读者都已经对此产生了共鸣. 想象一下, 世界上的每一个看似随机的现象, 实际上都是时间轴上某种不规则曲线的表现形式. 这些看似杂乱无章的现象背后, 其实是由无数个无穷无尽的正弦波共同构建而成. 我们所见到的这些看似没有规律的现象反而是这些正弦波在时域上的投影表现. 而正弦波本身又可以被看作是一个旋转圆在直线上的投影形式. 那么你脑海中会浮现出什么样的画面呢? 我们的视野就像是一台皮影戏装置的大幕布, 后面隐藏着无数齿轮系统, 大齿轮带动小齿轮, 小齿轮又带动更小尺寸的齿轮. 在最外层的小齿轮边缘有一个小人——正是我们自己. 我们所看到的是这个小人在大幕布前 perform 表演的行为轨迹, 然而幕布后那无数个旋转不停的齿轮组始终保持着运转状态. 这种形象化的描述似乎带有一点宿命论的味道. 其实说来有些意思的是这种人生观是在我们还是高中生的时候一位朋友感叹时所提出的观点, 当时听起来似懂非懂; 直到后来我学到了傅里叶级数之后才逐渐有所领悟……

三、傅里叶级数(Fourier Series)的相位谱

上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：先在纸上画一个sin(x)，不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。好，接下去画一个sin(3x)+sin(5x)的图形。别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？好，画不出来不要紧，我把sin(3x)+sin(5x)的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin(5x)给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。(这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段)微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。---下面我们继续说相位谱：通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱(振幅谱)是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。

由于正弦波具有周期性特点，在分析其特性时需要确定一个能够反映其位置特征的标准值。在图表上通常用这些粉红色的小圆圈来表示这一关键指标。这些粉红色的小圆圈位于离频率轴最近的位置，并且它们代表的是相应的峰值。为了更好地观察它们所在的具体位置与频率轴之间的垂直距离是多少，则可以通过将这些红色的小圆圈垂直投影到底层平面上来实现这一目标。将这些红色的小圆圈垂直投影到底层平面上后得到的就是这些粉红色的小圆圈作为新的映射结果

为了避免混淆，在此需澄清一点：时间差与相位差并非同一概念。为了避免混淆，在此需澄清一点：时间差与相位差并非同一概念。如果我们以一个完整的周期作为一个基准（通常取2π弧度或360度），那么相位差异即为该时间段相对于完整周期的比例关系。换句话说，在一个周期内的时间差异即为相位差异。为了便于计算时可将时间差异除以周期长度并乘以2π弧度（如T表示周期，则相位φ= (Δt / T) × 2π）。在三维图中将这些时间差异分别除以各自频率对应的周期长度（即T=1/f），即可获得完整的相位谱分布情况：其中每个点上的值代表了对应位置处的相对相移信息。值得注意的是频谱是从侧面观察对象特征分布情况而相位谱则是从正视图角度所呈现的信息集合体特征描述方式不同之处在于：频谱反映的是信号中各频率成分的强度分布情况而相位谱则记录了各频率成分之间的相对时移信息（或者说是在不同频率下信号波形之间的横向错开程度）。因此两者虽然均属于信号频域分析的重要组成部分但却各有侧重地反映信号的不同特性特征维度以及内在关系网络构建方式等多方面的区别与联系关系）。另外值得注意的是由于cos(t+2π)=cos(t)这一性质导致其具有严格的周期性特征因此其任何相差整数倍的π值都将在本质上体现相同的相对位置关系属性表现形式上也往往仅采用(-π, π]区间内的代表值来进行标准化描述避免重复性出现以及简化计算过程等便利性考量的原因之一就是如此）。综上所述这样的简化处理方法既保留了原始信息又使分析过程更加便捷实用

四、傅里叶变换(Fourier Transformation)

经过前三章的学习与思考后，请问读者对频域及其傅里叶级数的概念有了全面的理解吗？然而文章在一开始介绍钢琴琴谱的例子时曾提到过一个计算上的问题（即公式的不严谨性），但它却很好地诠释了概念的本质。那么问题出在哪里呢？傅里叶级数的本质是将一个周期性的信号分解为无数个分离的正弦波叠加而成（即被分解为无限多分开的小幅正弦波），但宇宙本身并非周期性的结构。曾经在学习数字信号处理的过程中写过一首打油诗：

往昔连续非周期，

回忆周期不连续，

任你ZT、DFT，

还原不回去。

在世界 various, 有些事情是一期一会, 永远不会再回来, 而时间无休止地将那些刻骨铭心的记忆一点一点地标记在时间点上. 然而这些事件往往成为了我们格外珍视的回忆, 在我们的记忆中每隔一段时间就会不期而至地浮现出来. 遗憾的是这些回忆往往是零散的片段……例如傅里叶级数, 在时域表现为一个周期且连续的函数, 在频域则表现为一个非周期离散的过程. 换言之......一张图即可帮助大家更好地理解.

另外一种思考方式是将傅里叶变换视为对周期性趋向无限长的函数执行傅里叶转换的过程。

你见过大海么？

为了便于大家进行对比分析，在傅里叶级数中常用的一幅图上采用另一种分析视角进行考察。

以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……直到变得像波涛起伏的大海：

深感歉意地通知您，在向您展示这些波浪时，并未采用最合适的计算参数设置。相反地选择了某些更为直观且视觉效果更为出色的参数设置方式（虽然这听起来可能让人觉得不太专业），结果导致原本应该清晰易懂的画面变得如同狗屎般难看。不过通过这两幅图片对比可以看出大家应该能够理解离散谱如何转变为连续谱吧？实际上离散频谱是通过叠加来实现频率分布的而连续频谱则是通过积分来累积各频率成分的这一转变在数学处理上，则将求和运算转换为积分运算这个故事才刚刚开始讲述呢？为了让各位读者看到一幅比现在更加震撼的画面我们还需要介绍一个重要的数学工具——

五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式

虚数i这一概念学生们在高中阶段就已经学习过，在当时我们仅将其视为-1的平方根这一基本属性进行理解与运用。然而随着知识体系的不断拓展与深入研究，“它的真正价值究竟是什么？”这个问题却始终萦绕于心头。

在一条数轴上可以观察到一条红色线段，在这条线上我们可以设定一个单位长度表示数值一的位置。当我们对该线段进行放大至原来的三倍时（即对其进行放大操作），其长度会发生显著变化并呈现蓝色特征。若将该红线上的一进行缩放取反操作（即乘以负一），则会得到一个新的绿色向量（或者可以说这条向量围绕着坐标系中的原点旋转了一个半圆周）。显然地，在复平面中将一个向量旋转一百八十度等同于将其缩放操作取反）

此外，在二维坐标系中我们引入了纯虚轴的概念。为了更清晰地展示这一概念, 我们将实轴和虚轴共同构成复平面, 亦称为复平面图示法.这样一来, 我们就可以更加直观地理解到, 利用虚数i的一项重要作用——实现坐标旋转功能. 现在, 让我们以最优雅的方式向大家介绍这位数学界的传奇人物——欧拉公式（Euler's Formula）.

欧拉公式所表现的是一个在复平面内随着时间变化而作圆周运动的过程，在时间轴上这条轨迹形成了一个螺旋线形态。当仅关注其实部时，则可将其视为该螺旋线左侧区域的空间映射对应的基本余弦函数。而右侧对应的则是基本正弦函数的空间映射关系。
关于复数更深层次的理解内容，请参考： 复数到底有什么物理意义？ https://www.zhihu.com/question/23234701/answer/26017000这里的内容已经足够帮助大家理解后续讨论的基础知识了。

六、指数形式的傅里叶变换

有了欧拉公式的帮助，在借助欧拉公式这一工具的帮助下

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从0到无穷所有频率的组合。这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解： 将以上两式相加再除2，得到： 这个式子可以怎么理解呢？我们刚才讲过，e^{(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e}(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而cos(t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率(注意不是复频率)。好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？你猜猜，这个图形在时域是什么样子？

不得不承认，在学习傅里叶变换的过程中确实让人感到有些复杂。
数学确实是一个将简单问题复杂化的学科。
类似螺旋状的图形，
为了便于观察，
我仅仅展示了其中正频率的部分，
而负频率的部分则没有呈现出来。
如果你仔细观察海螺图，
每一条螺旋线都具有清晰可辨的特征，
每一个螺旋线都对应特定的振幅(旋转半径)、频率(旋转周期)以及相位信息。
将这些特性连贯起来就形成了完整的图像。
总结一下：通过以上分析，
我们对傅里叶变换及其级数有了直观的认识。