数字信号处理 --- 信号分解基础

信号的分解 -------“重剑无锋，大巧不工”

信号有着多种多样的分解途径，在工程实践中应用最为广泛且广为人知的就是傅里叶变换这一重要工具。尽管如此，在实际应用中仍有许多基础性的分解方法却鲜为人知。它们的主要目标是通过特定的方法实现对信号的彻底解析与重构。闲暇时分，娓娓道来

1, 冲击分解（Impulse Decomposition）

该方法通过信号采样将其分解，并实现了连续时间信号的离散化过程，在构建线性时不变系统方面发挥了显著作用。如图所示，在同一个长度为N的信号中被分解为位置各异、大小各异的一组N个点类（这些点类类似于一个个具有大小和方向矢量）。该方法是卷积运算的基础支撑。

举个例子吧——你要是没玩过这种拼图游戏那就说明你老了！

2, 阶跃分解（Step Decomposition）

以一系列像阶梯形的信号去分解信号的方法被称为阶跃分解法。这种方法本质上与傅里叶分析有关。

每个子信号均表现为阶跃型特征, 即其第一个采样点数值为零, 而随后连续多个采样点均保持同一非零常数值. 与脉冲分析方法不同之处在于, 脉冲分析每次仅能获取某采样时刻的瞬时值, 而阶跃分析则通过相邻两个采样时刻之间的数值差来表征信号的整体变化特性.

3，奇偶分解（Even/Odd Decomposition）

奇偶分解主要指将一个包含N个单位长度的原始信号进行分解处理,具体表现为将其分为两份:一份是与原序列等长且具有奇镜像特性的"奇分量",另一份则是与原序列等长并呈现偶镜像特性的"偶分量".值得注意的是,该过程实际上是对原始序列进行了延拓处理,使其时域长度得以从原本的N增长到2倍即2N.具体而言,对于任何一个包含有N个采样点的数据序列x[n],当其在以第(N/2)个采样点为中心左右两侧呈现出完全镜像对齐的状态(即关于Y轴呈镜像分布),我们便将其定义为偶分量序列Xe[n].反之,若该序列在以第(N/2)个采样点为中心左右两侧呈现出围绕该点呈中心翻转的状态(即关于中间点呈现中心翻转),则我们将其定义为奇分量序列Xo[n].

这种分解方法进一步深入揭示了傅里叶变换的一个关键特性称为循环对称性。这表示我们假定任意一个信号都是首尾相连的。例如，在傅里叶变换中, 我们通常认为任何信号都是无限周期性的或者具有循环性质的。换句话说, 只有基于这种假定的前提下, 才能对信号进行有效的频域分析和处理。

分解公式：

这是我用Matlab仿真的离散随机信号和它的奇偶分解。

这是连续随机信号的奇偶分解。

4，交叉分解（Interlaced Decomposition）

交叉分解往往容易与奇偶分解产生混淆。交错分解将原始信号划分为两个子信号：一个是偶数采样点信号（EVEN），另一个是奇数采样点信号（ODD）。这两个子序列分别具有长度2N的关系。具体来说，在滤除所有奇数位置上的样本后，则得到EVEN序列；同理地，在滤除所有偶数位置上的样本后，则得到ODD序列。就是这么简单！

同样，我也用Matlab仿真了一下任意信号的交叉分解法。

交叉分解法鲜为人知也被相对少见地应用在实际场景中 但在快速傅里叶变换（FFT）的发展历程中占据着至关重要的地位

5，傅里叶分解

任何一点信号都可以分为N+2个部分：其中一部分由不同频率的正弦波构成；另一部分则由不同频率的余弦波构成。

傅里叶分解很重要，其原因有三：

1，很多信号都能通过叠加正弦曲线的方式合成。

2，在线性时不变系统中具有良好的保真性能；当输入为正弦信号时，则输出也会呈现为相应的正弦信号。

3，傅里叶分解的用途广泛，也是拉普拉斯变换和Z变换的基础。

（全文完）

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鳴謝：

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【2】Matlab 2017b.

《圣经》箴言30章7-8节 ------- 我希望在我活着的时候能实现两件事：请求主不要剥夺我的一切；希望您能满足我的饮食需求。

（配图与本文无关）

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