D-S证据理论（关于合成悖论、信度吸收的问题）

目录

01 相关基础概念

1.Belief function&Commonality function

2.simple support function(SSF)

3.the core of a belief function ​

4.dogmatic belief function&non-dogmatic belief function

02 合成悖论实例

03 信度吸收分析

1.分析

2.结论

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01 相关基础概念****

1.Belief function &Commonality function

Bel(A)表示”A”所代表集合的信任函数，Q(A)表示”A”所代表集合的共性函数。m(B)表示”B”的基本概率分配函数。且上式中，A表示要求取的那个焦元，B表示BPA中的焦元。

******2.**simple support function(SSF)

简单支持函数：m是辨识框架Θ上某一信任函数Bel的BPA，如果m对于Θ的某个子集A具有如下形式的表达：

当w∈[0,1]时，该信任函数Bel就称为一个具有焦点A的简单支持函数(SSF)，记作；当将w推广到[0,∞]时，Bel称作GSSF；当A =Θ时，Bel称作空信任函数。

3.the core of a belief function

信任函数的核：辨识框架Θ下所有m函数为正的子集共同构成信任函数的核，记作。

4.dogmatic belief function &non-dogmatic belief function

对于m(Θ)=0的信任函数称作教条信任函数，对于m(Θ)>0的信任函数称作非教条信任函数。通过引入ε（ε→0）可以将信任函数由教条向非教条转化。

02 合成悖论实例

引入Zadeh和Dezert的两个合成悖论的实例对信度吸收问题加以说明（辨识框架均为Θ={A,B,C}，它们的概率分配分别如表1和表2所示：

例1.表1.Zadeh反例

m1	m2
A	0.9	0
B	0.1	0.1
C	0	0.9

合成后m(A)=0，m(B)=1，m(C)=0，K=0.99。

例2.表2.Dezert反例

m1	m2
A	a	0
{A,B}	1-a	b1
C	0	1-b1-b2
{A,B,C}	0	b2

合成后m(A)=a，m({A,B})=1-a，m(C)=0，m({A,B,C})=0，K=1-b1-b2。其中b1,b2>0且b1+b2∈[0,1]。

由上述两个例子可以看出不论两条证据冲突程度的大小如何，Dempster组合规则均出现了反直觉的情况。下面使用规范分解的方法分别将这两个例子的信任函数分解成一组SSF来分析悖论的产生。

03 信度吸收分析

1.分析

在例1.中，m(Θ)=0，信任函数为教条信任函数。我们可以令m’(Θ)=2ε来使其向非教条转化，以例1.中第二条证据为例，其规范分解如下表所示：

m(A)	m’(A)	Q’(A)	w(A)
∅	0	0	1	(0.1+ε)(0.9+ε)/2ε
{A}	0	0	2ε	1
{B}	0.1	0.1-ε	0.1+ε	2ε/(0.1+ε)
{C}	0.9	0.9-ε	0.9+ε	2ε/(0.9+ε)
{A,B}	0	0	2ε	1
{A,C}	0	0	2ε	1
{B,C}	0	0	2ε	1
{A,B,C}	0	2ε	2ε	-

由上表可得，分解后两个GSSF为：

发现⨁=，即第二条证据中对C的支持度被第一条证据吸收，合成结果不能体现第二条证据对C的支持程度。

例2.的规范分解如下表所示：

m(A)	Q’(A)	w(A)
∅	0	1	(b1+b2)(1-b1)/b2
{A}	0	b1+b2	1
{B}	0	b1+b2	1
{C}	1-b1-b2	1-b1	b2/(1-b1)
{A,B}	b1	b1+b2	b2/b1+b2
{A,C}	0	b2	1
{B,C}	0	b2	1
{A,B,C}	b2	b2	-

分解后上表的两个GSSF为：

且⨁=，⨁=，即的两个有效分量（{C}和{A,B}）都被吸收，即第二条证据被第一条证据完全吸收，无法提供有效的支持度分量，所以有⨁=。

2.结论

通过上述分析Zadeh反例和Dezert反例中都存在信任函数部分分量或全部被吸收的情况，有结论如下：