Python实现模拟退火算法求解TSP问题 (Implementing TSP with Simulated
作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
模拟退火算法简介及其特点
模拟退火算法（Simulated annealing）是一种受控于温度变化的优化搜索方法，其核心特征是，在当前温度下，系统以特定概率接受较劣解，并在一定时间段内向较优解过渡的过程。简单来说，就是类似于最初阶段所有解都非常差，随着时间推移逐渐接受更差的解。在每一次迭代过程中，算法通过计算某一时刻的解的适应值（objective function），并根据其大小评估是否接受该解，如果被接受则将其作为当前解；否则，会随机产生一个新的解，并继续进行迭代，直到满足终止条件或达到设定的最大迭代次数。
具体而言，模拟退火算法的基本流程如下：
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初始化一个初始解X，并计算其适应值f(X)。
-
设置初始温度T=1，并设定终止温度阈值ε，一般设置为ε=10^(-5)，即当T小于ε时停止迭代。
在迭代过程中，以一定概率接受新解Xn，并计算适应值fn(Xn)。
- 根据以下公式更新温度T：
T = alpha * T
代码解读alpha被定义为一个衰减系数，用于控制温度的衰减速度。当alpha较大时，温度下降得较快，但收敛速度较慢；反之，当alpha较小时，温度下降得较慢，但收敛速度较快。通常取值α=0.95。
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若fn(Xn) < fn(X)，则令X更新为Xn；反之亦然，以特定概率接受Xn，以特定概率接受新解，以及以特定概率接受其邻域解（即局部接受域）。
-
当T<ε，或达到最大迭代次数后，结束迭代。
模拟退火算法采用了解空间的集中区域策略，这有助于从大量可能的解中筛选出更优的候选方案。该算法的核心思想是通过在解空间的密集区域中逐步探索，最终形成一个高聚集度的区域，其中的解能够集体化并进行比较。因此，该算法对初始解具有高度依赖性，且需要经过长时间的运行才能收敛至全局最优解。然而，由于算法中采用的是随机采样方法，这使得找到全局最优解的过程具有不确定性，其收敛速度主要受初始解选择的影响。
问题描述
接下来，我们讨论如何使用Python语言实现模拟退火算法解决TSP问题。
TSP问题被称为旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）的求解问题。它是一个典型的组合优化问题，具体表现为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，旨在寻找一条回路，使得回路上各城市之间的总距离最短。在此基础上，TSP问题可以进行一些变体，例如，限制回路经过的城市数量，即要求回路仅遍历所有城市一次即可完成任务。本文在研究中采用的TSP变体是将城市数量限定为n的情形下的TSP问题。
模拟退火算法源于Simulated Annealing的提出，是一种用于求解优化问题的近似算法。其基本思路是：首先通过随机过程生成一组解，随后引入一个时间相关的概率，这个概率随着时间的推移逐渐减小。当算法收敛至局部最优解时，这个概率会降至极低水平。因此，算法能够突破局部最优的束缚，实现全局最优的搜索，避免陷入陷入僵局的困境。该算法通常应用于解决NP-hard问题，由于缺乏确定的渐进最优子结构，因此无法明确判断哪些解更为优秀。然而，模拟退火算法并不需要解的精确度达到真正的最优解，只要求解的质量能够得到充分保证。
本文将用Python语言实现基于模拟退火算法的TSP问题求解方法。
2. 基本概念术语说明
1.1. 旅行商问题
该问题要求一名旅行者前往n个不同城市，最小化总时间的同时访问每个城市一次。给定地图中标注城市间距离，确定一条最短路径以遍历所有城市。由此可见，TSP问题主要关注最短路径的规划问题。
1.2. 模拟退火算法
模拟退火算法（Simulated annealing）是一种受控于温度变化的优化方法，其核心特征是，在当前温度下，系统以特定概率接受较劣解，并在一定时间段内向较优解转移的过程。简单来说，就是类似于初期阶段所有解都非常差，通过逐步地进行优化，最终逐步地进行改进。在每次迭代过程中，算法首先计算当前解的适应值（objective function），然后根据该值的大小决定是否接受该解。如果被接受，该解即为当前解；否则，算法将生成新的解并继续迭代，直至满足终止条件或达到最大迭代次数。
1.3. 概率模型
概率模型体系（Probabilistic model framework）通过概率抽样生成样本的过程，主要分为两类——联合分布模型（Joint distribution models）和条件分布模型（Conditional distribution models）。联合分布模型基于观测变量X和隐藏变量Y的联合概率分布，即P(X,Y)。条件分布模型则基于在观测变量X已知的情况下，隐藏变量Y的条件概率分布，即P(Y|X)。在旅行商问题（TSP）中，给定城市间距离的分布图，运用联合分布模型可以计算出目标函数的具体数值，并选择最优路径。
3. 核心算法原理和具体操作步骤以及数学公式讲解
3.1. 求解过程详述
（1）初始化一个初始解
随机生成一个节点序列，每个节点都与其他节点连接。
（2）计算初始解的适应度
适应度（fitness）是指目标函数值。目标函数的定义为：
min sum_{i=1}^n d(x_i, x_(i+1)) + d(x_n, x_1)
代码解读其中d(x_i, x_(i+1))表示两个城市间的距离，n为城市个数。
得到初始解后，可以计算其适应度。
（3）设置初始温度和终止温度阈值
设置初始温度为T=1，终止温度阈值为\epsilon=10^{-5}。
（4）迭代过程
（a）计算新解的适应度
对于每一个邻域解Xn, 计算它的适应度f(Xn)：
其中，Xn_i表示Xn中的第i个城市。
（b）接受新解或随机生成解
对于新解Xn：
- 当新解的目标函数值低于当前解时，接受该新解；
- 反之，以特定概率接受该新解；
- 以特定概率接受其邻域解（即局部接受域）。
（c）更新温度
更新温度的公式为：
其中，\alpha为衰减系数，取值在(0,1]之间。
（d）判断结束条件
当T < \epsilon或达到最大迭代次数时，结束迭代。
（5）输出结果
最后得到的就是得到的最优解序列。
3.2. 详细数学证明
（1）T更新公式
对于给定的系数\alpha，可得以下等式：
由线性方程组的唯一解法可得：
（2）邻域解选择
给定任意解X，能够生成一个邻域解Xn。具体而言，生成过程如下所述：通过以下步骤可以实现。
- 通过交换X中任意两个节点的位置，可以得到一个新的解Xn；
- 对X中的每一个节点，选取一个中间节点，将该节点前一段路径、中间节点和后一段路径重新连接，从而得到新的解Xn；
- 对X中的任意两个随机节点，以它们之间的距离为半径，在圆周上均匀分布点，然后重新排列这些点的顺序，得到新的解Xn；
（3）连通性约束
仅在相同环路上连接城市的情况下，所构造的路径必须构成一个闭合回路，则需满足以下约束条件：
其中，nCk代表k个节点构成的C_k型完全图，m代表路径上的城市数目。
（4）局部接受域
给定解X，可以生成局部邻域解Yn。具体而言，生成过程包括以下步骤：首先，确定解X的邻域范围；其次，基于该邻域范围调整参数；最后，生成对应的局部解Yn。
- 随机生成当前解Z；
- 从当前解Z中选取一条边，交换该边两端节点的位置，生成新的解Yn；
- 对路径上的所有节点进行逆序排列，得到新的解Yn；
- 随机选择两个节点进行交换，得到新的解Yn；
4. 具体代码实例和解释说明
这里提供一个采用模拟退火算法解决TSP问题的具体的代码实例，你可以下载安装相关的库后，直接运行试试看：
import random
import math
class SA:
def __init__(self, nodes):
self.nodes = nodes
def calculate_distance(self, a, b):
return round((math.sqrt((a[0] - b[0]) ** 2 + (a[1] - b[1]) ** 2)), 2)
def cost(self, path):
if len(path)!= len(set(path)):
# If there are any duplicate cities then the solution is not valid. So return infinity.
return float('inf')
total_dist = 0
for i in range(len(path)):
next_index = i + 1 if i < len(path)-1 else 0
dist = self.calculate_distance(self.nodes[path[i]], self.nodes[path[next_index]])
total_dist += dist
return total_dist
def simulated_annealing(self, initial_temp, cooling_rate, iters):
current_solution = list(range(len(self.nodes)))
best_solution = current_solution[:]
temp = initial_temp
for iter in range(iters):
new_solution = current_solution[:]
# Generate a neighbour solution and check its validity
while True:
option = random.randint(1, 4)
if option == 1:
# Swap two cities randomly
i, j = random.sample(list(range(len(current_solution))), k=2)
new_solution[i], new_solution[j] = new_solution[j], new_solution[i]
elif option == 2:
# Reverse order of all cities
new_solution = new_solution[::-1]
elif option == 3:
# Choose one edge at random and reverse the direction of that edge
index1, index2 = random.sample(list(range(len(new_solution))), k=2)
if abs(index2 - index1) > 1:
continue
city1, city2 = sorted([new_solution[index1], new_solution[(index2+1)%len(new_solution)]])
start_city = new_solution[:index1][-1] if len(new_solution[:index1]) > 0 else None
end_city = new_solution[index2+1:][-1] if len(new_solution[index2+1:]) > 0 else None
if start_city is None or end_city is None:
continue
reversed_path = [start_city]
for i in range(index1+1, index2):
reversed_path.append(new_solution[i])
reversed_path.append(end_city)
new_solution = reversed_path
elif option == 4:
# Randomly swap two nodes from anywhere on the tour
i, j = random.sample(list(range(len(new_solution))), k=2)
new_solution[i], new_solution[j] = new_solution[j], new_solution[i]
new_cost = self.cost(new_solution)
if new_cost <= self.cost(current_solution):
break
delta_E = new_cost - self.cost(current_solution)
if delta_E < 0 or math.exp(-delta_E / temp) >= random.random():
current_solution = new_solution[:]
if new_cost < self.cost(best_solution):
best_solution = new_solution[:]
temp *= cooling_rate
return {'tour': best_solution, 'cost': self.cost(best_solution)}
if __name__ == '__main__':
nodes = [(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)]
sa = SA(nodes)
result = sa.simulated_annealing(initial_temp=100, cooling_rate=0.95, iters=10000)
print("Tour:", result['tour'])
print("Cost:", result['cost'])
代码解读通过上面代码的一个简单示例，可以看出，该代码中包含了一个SA类，该实例能够生成一个模拟退火算法的对象，该算法能够解决旅行商问题，并返回一条路径及其总距离。这里仅展示了算法的主要循环部分，实际应用中还需自行设定初始解方案。
另外，注意代码中的注释，以方便理解代码。