三维空间刚体旋转描述
三维空间中通常可以用旋转矩阵、旋转向量、欧拉角和四元数来描述旋转
旋转矩阵
先回顾下向量的内积和外积
其中 \hat{a}=\left[\begin{matrix}0&-a_3&a;_2 \\ a_3&0&-a_1 \\ -a_2&a;_1&0\end{matrix}\right]是取向量 a的反对角矩阵
外积只对三维向量存在定义，并且可以表示向量的旋转：
假设两个不平行向量， b，可以用一个与a,b所在平面垂直的向量描述 到的旋转（图1）
图1. w与a\times b方向一致，相当于旋转轴，模值等于角度
对空间中一个向量，假设有两组单位正交基O_1=(e_1,e_2,e_3)和O_2=(e'_1,e'_2,e'_3)，向量在两个坐标系下坐标为[a_1,a_2,a_3]^T和[a'_1,a'_2,a'_3]^T，那么有
(1)式两边同左乘 [e^T_1,e^T_2,e^T_3]^T，有
(2)式的R称为旋转矩阵 ，用来描述相机的旋转
旋转矩阵是行列式为1的正交矩阵，反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵
其中SO(n)是特殊正交群，特别的SO(3)就是三维空间的旋转
旋转矩阵的劣势
- 旋转矩阵有9个量，但一次旋转只有3个自由度。因此这种表达方式是冗余的
- 旋转矩阵有自身约束：必须是正交矩阵，且行列式为1，优化算法比较难应用
旋转向量
旋转向量用一个三维向量来描述旋转：其方向与旋转轴一致，长度等于旋转角
回顾向量外积，图1的就是到的旋转向量
旋转向量与旋转矩阵转换
假设旋转轴为n，角度为\theta，使用罗德里格斯公式可以转换到旋转矩阵
同样可以得到由旋转矩阵到旋转向量的公式
此外，旋转矩阵实际就是的李群，旋转向量就是对应的李代数so(3)，两者通过指数映射相联系（与罗德里格斯等价）
其中 \hat{\phi}就是对旋转向量 \phi取反对称矩阵
欧拉角
欧拉角是一种最直观的旋转描述方式，也是一个3维向量，分别代表绕某个轴的旋转角度
- 相同的角度，旋转次序的不同，旋转结果不一样。一般常见的是rpy角（旋转顺序是ZYX）
- 使用欧拉角一个最大的缺点是万向锁问题：俯仰角为\pm90度时，第一次旋转和第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度
- 因此欧拉角不适于插值和迭代，往往只用于人机交互中
四元数
旋转矩阵用9个量描述3自由度的旋转，具有冗余性
欧拉角和旋转向量用3个量描述3自由度的旋转，是紧凑的，但具有奇异性
四元数用4个量描述3自由度的旋转，紧凑又没有奇异性
一个四元数q拥有1个实部和3个虚部
满足
旋转向量与四元数的转换
对于一个旋转向量：绕单位向量n=[n+x,n_y,n_z]^T做了度的旋转，那么其四元数为
同样，也可以由四元数求得旋转向量
旋转矩阵与四元数的转换
设四元数q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k(6)，对应的旋转矩阵为
反之也可以由 推得四元数
用四元数表示旋转
对于一个空间三维点p=[x,y,z]，指定一个绕做角的旋转，旋转后的点为p'
1）首先将三维点用一个虚四元数来描述
2）用四元数 来表达旋转
3）旋转后的点为