三维旋转矩阵_机器人刚体运动-三维空间中的旋转运动
旋转矩阵的数学定义
设A为惯性坐标系，B为与刚体固联的动坐标系，
表示坐标系B中主坐标轴相对于坐标系A的位置和方向关系。将这三个坐标矢量按顺序排列即可形成一个3×3的矩阵
旋转矩阵的性质
- 旋转矩阵是正交矩阵
2. 对于右手坐标系
（左手系等于-1）
更一般的情况，
空间中的旋转矩阵可定义为
符号缩写为SO，其中proper orthogonal matrices特指行列式detR=+1的情况。其群结构基于单位矩阵作为该群的单位元，并采用矩阵乘法运算。其通常被称为三维旋转群。
自由刚体相对于定坐标系旋转后的位形可通过一个独特的元素R∈SO（3）来进行描述。由于这一特性的存在，在数学上旋转群SO（3）也被称作系统的位形空间（configuration space），而系统的运动轨迹则表现为曲线R(t) ∈ SO(3)，其中t ∈ [0, T]。在更普遍的情况下，则对于集合Q中的每一个元素q来说，它都对应着系统的一个有效位形状态；因此我们称Q为系统的位形空间，并且系统中的每一个位形都与Q中的唯一元素相对应。
旋转矩阵R∈SO（3）也可以用来执行同一个点在不同坐标系下的位置转换。如果q点位于坐标系B中，则其位置信息在不同的参考框架下进行转换时会表现出不同的坐标值。
，那么，q点在坐标系A中的坐标可用下列方法求得：因
q點在B坐標軸上的射影為之；當坐標體系B相對於坐標體系A時
，则q点在A坐标系中的坐标为：
或
换句话说，当考虑
到
的变换时，R即表示一点从B坐标系到A坐标系坐标的旋转变换。
旋转矩阵可以通过矩阵相乘来实现组合，并由此生成新的旋转矩阵。当坐标系C相对于坐标系B的取向时
，坐标系B相对于另一坐标系A的姿态为
，那么，坐标系C相对于坐标系A的位形为：
从矩阵论角度解释旋转变换
旋转矩阵可以定义为基于标准正交基的正交变换矩阵；矢量经过旋转变换时其长度保持不变。
同时，在三维线性空间中，旋转矩阵也可被视为两个标准正交基之间的基变换矩阵，并且这两个标准正交基在变换前后均为右手坐标系（这是因为detR=+1所决定的）。
长度保持不变且左右手坐标系保持一致则确保了旋转运动属于刚体变换有关刚体变换的数学定义参见
凌波洞主：机器人刚体运动-刚体变换zhuanlan.zhihu.com
旋转的指数坐标
在机器人学领域中，常见的基本运动形式通常表现为物体围绕固定轴线转动特定角度的行为。例如，在机械臂的操作过程中经常涉及连杆绕固定轴线旋转的情况。为了便于描述这些动态行为，在后续讨论中将采用相应的数学模型进行建模与分析
为表示旋转方向的单位矢量，
为旋转角度。因物体的每一次转动都存在某个R∈SO（3）与之对应，对此将R写成
和θ的函数。
为便于分析问题，在旋转体上选取某一点q考察其运动速度。假设物体以固定的速度绕着某一轴做匀速圆周运动，则该点q的速度是多少
可表示为：
这是一个以时间t为自变量的线性微分方程，经积分得：
如果物体以单位速度绕ω轴旋转θ角度，那么
被称为反对称矩阵的所有3×3反对称矩阵构成一个矢量空间并被记作so(3)；在一般情况下n×n阶反对称矩阵所构成的空间则表示为
注意，反对称矩阵的元素有九个，但维数仍只有三维。
最后，直接给出指数坐标下旋转矩阵的计算：
通过指数映射的方式将反称张量转化为正交张量，并揭示其在几何学中的意义。反称张量对应的旋转变换轴与其生成的旋转变换程度与其围绕该轴的转角θ呈现对应关系。这种反称张量与正交张量之间的联系进一步揭示了so（3）这一概念的本质内涵。此外，在李代数中每个元素都可以被唯一地映射到对应的李群元素exp: so（3）→ SO（3），并且这种映射是满射性质的表现
参考资料：
机器人为执行操作所需的数学基础由美国理查德·摩雷、中国李泽湘与美国夏恩卡·萨思特里合著，并由徐卫良与钱瑞明担任翻译工作一书于机械工业出版社于第1997年版中第十四章至第十八章
② 矩阵论/张凯院等编著，一北京：科学出版社，2013，科学版研究生教学丛书