信号处理基础：信号的采样与量化_18.信号处理中的噪声与信号量化的关系
18. 信号处理中的噪声与信号量化的关系
18.1 信号量化的基本概念
对于数字 signal processing 而言，在其中一种关键操作是 quantization 的过程称为 将 continuous amplitude 的 analog signal 转化为 discrete amplitude 的 digital form 的操作。这个过程涉及将 analog signal 所有的 possible amplitude 值映射到 finite 数量 of discrete 值上，并由 Analog-to-Digital Converter (ADC) 来完成这项工作。Analog-to-Digital Converter (ADC) 将持续变化的 analog 信息转化为可计算的形式
量化误差
quantization error refers to the discrepancy between the quantized digital signal and the original analog signal. Such errors are typically caused by quantization processes involving rounding or truncation operations. Quantization error can be represented as:
e[n] = x[n] - \hat{x}[n]
其中，x[n] 是原始信号的采样值，$\hat{x}[n] \ ) 是量化后的信号值。
量化步长
在量化过程中，在量化的过程中，在量化的这个环节中，在量化的这个阶段中，在量化的这个步骤上所使用的量化的步骤被称为"quantization step size"
18.2 量化噪声
量化噪声被称为由量化误差所导致的 noise。这种类型的 noise 一般被视为 additive noise, 即 noise signal n[n] 可以表示为:
n[n] = e[n] = x[n] - \hat{x}[n]
量化噪声的特征受量化步长与信号动态范围的影响。一般而言,量化噪声会呈现出均匀分布的特点,其平均值等于零,并且方差是一个关键参数
\sigma^2 = \frac{\Delta^2}{12}
量化噪声的频谱特性
具有密切关系的是信号频谱特性的量化噪声。假设理想条件下，则该类噪声表现为白噪声；即其功率谱密度在整个频率范围内均保持恒定状态。然而，在实际情况中则会因信号频谱特性而导致相应误差更为明显。
18.3 量化噪声对信号处理的影响
量化噪声对信号处理的影响主要体现在以下几个方面：
- 信噪比（SNR）：由于量化噪声的存在而导致信号质量下降。
- 这将直接影响采样器输出的有效动态范围。
- 这可能引起采样器输出频谱出现畸变现象。
信噪比和量化位数的关系
信噪比（SNR）与量化位数 b 之间的关系可以表示为：
SNR = 6.02b + 1.76 \text{ dB}
其中，在数学模型中使用变量 b 来表示量化位数的能力较强。通过增加该参数的能力（即增大 b），系统的信噪比能够得到显著提升。
18.4 量化噪声的减少方法
为了减少量化噪声对信号处理的影响，可以采用以下几种方法：
- 增加数字精度：通过增加数字精度能够有效降低误差影响。
- 高采样率技术：采用高采样率技术能够使量化噪声分布在较广频段，并有效减少信号带内噪声能量。
- 反馈调节技术：通过利用反馈调节技术能够将系统中的 quantization noise 调整至信号外频段区域。
过采样示例
过采样是一种显著减少量化噪声的技术。通过增加采样率，在信号处理过程中能够将量化噪声的能量均匀分布于较宽的频带范围内，并有效地降低单位频带内的噪声功率水平。以下是一个利用Python语言和NumPy库实现过采样的示例代码：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始信号参数
fs = 1000 # 采样频率
f = 50 # 信号频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
x = np.sin(2 * np.pi * f * t) # 原始正弦信号
# 量化参数
b = 8 # 量化位数
Delta = 2 / (2**b) # 量化步长
# 量化信号
x_quantized = np.round(x / Delta) * Delta
# 过采样
fs_os = 10 * fs # 过采样频率
t_os = np.arange(0, 1, 1/fs_os) # 过采样时间向量
x_os = np.sin(2 * np.pi * f * t_os) # 过采样正弦信号
# 量化过采样信号
x_os_quantized = np.round(x_os / Delta) * Delta
# 重采样回原始频率
x_os_resampled = x_os_quantized[::10]
# 计算SNR
def snr(x, x_quantized):
signal_power = np.mean(x**2)
noise_power = np.mean((x - x_quantized)**2)
return 10 * np.log10(signal_power / noise_power)
snr_normal = snr(x, x_quantized)
snr_os = snr(x, x_os_resampled)
print(f"原始采样SNR: {snr_normal} dB")
print(f"过采样后SNR: {snr_os} dB")
# 绘制信号
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, x_quantized, label='量化信号', linestyle='--')
plt.legend()
plt.title('原始采样')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, x_os_resampled, label='过采样后量化信号', linestyle='--')
plt.legend()
plt.title('过采样')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.tight_layout()
plt.show()在这一示例中，我们首先生成了一个正弦信号，并对其进行了量化处理。接着，在增加采样频率的基础上生成了过采样信号，并对其实施了相应的量化过程。随后，在将过采样的结果重新调整为原始的采样率后，我们分别计算了两种情况下的信噪比（SNR）。通过对比这两种情况下的信噪比数值表现，可以看出通过过采样的方式能够显著提升信号的质量水平。
18.5 量化噪声的频谱分析
量化噪声的频谱分析有助于研究者深入解析量化噪声在不同频率区间的表现特征。利用快速傅里叶变换算法（FFT）技术，在时域信号与频域信号之间建立数学关联关系，并提取出具有代表性的频谱特性参数信息。
频谱分析示例
下面是一个使用Python和NumPy库的频谱分析示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始信号参数
fs = 1000 # 采样频率
f = 50 # 信号频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
x = np.sin(2 * np.pi * f * t) # 原始正弦信号
# 量化参数
b = 8 # 量化位数
Delta = 2 / (2**b) # 量化步长
# 量化信号
x_quantized = np.round(x / Delta) * Delta
# 计算FFT
X = np.fft.fft(x)
X_quantized = np.fft.fft(x_quantized)
# 频率向量
frequencies = np.fft.fftfreq(len(x), 1/fs)
# 绘制频谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(frequencies, np.abs(X), label='原始信号频谱')
plt.legend()
plt.title('原始信号频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(frequencies, np.abs(X_quantized), label='量化信号频谱')
plt.legend()
plt.title('量化信号频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.tight_layout()
plt.show()在本例中，在开始之前我们先创建了一个纯正弦波形；随后对该正弦波形进行了采样处理；接着我们将原始未采样的波形与采样后的数据分别导入傅里叶变换算法中进行分析，并将计算结果以图形形式呈现出来；通过对比这些频谱图可以看出，在高频区域中的噪声水平相对较高；而低频区域中的噪声水平则相对较低
18.6 量化噪声的统计特性
深入理解量化噪声对其信号处理的作用具有重要意义。一般被视为一种均匀分布的随机噪声源，在这种情况下其平均值等于零，并且方差等于\frac{\Delta^2}{12}。可借助于概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF），我们可以详细描述这些统计特性。
量化噪声的PDF和CDF示例
下面是一个使用Python和NumPy库的量化噪声PDF和CDF示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 量化参数
b = 8 # 量化位数
Delta = 2 / (2**b) # 量化步长
# 生成均匀分布的量化噪声
n_samples = 10000
quantization_noise = np.random.uniform(-Delta/2, Delta/2, n_samples)
# 计算PDF
pdf, bins, _ = plt.hist(quantization_noise, bins=100, density=True, alpha=0.6, color='g', label='PDF')
plt.plot(bins, 1/(Delta) * np.ones_like(bins), label='理论PDF', linestyle='--', color='r')
plt.legend()
plt.title('量化噪声的概率密度函数 (PDF)')
plt.xlabel('噪声值')
plt.ylabel('概率密度')
# 计算CDF
cdf = np.cumsum(pdf * np.diff(bins))
plt.figure()
plt.plot(bins[:-1], cdf, label='CDF', color='b')
plt.plot(bins, np.linspace(0, 1, len(bins)), label='理论CDF', linestyle='--', color='r')
plt.legend()
plt.title('量化噪声的累积分布函数 (CDF)')
plt.xlabel('噪声值')
plt.ylabel('累积概率')
plt.show()在这个示例中，在这个示例中
在这个示例中
在这个示例中
18.7 量化噪声在实际信号处理中的应用
在实际信号处理过程中，量化噪声的影响必须得到谨慎考虑。特别是在通信系统、音频处理以及图像处理等多个领域中，量化噪声可能会直接影响信号的质量以及系统的性能表现。因此，在这些关键领域中采取适当的技术措施来有效降低量化噪声是非常必要的。
通信系统中的量化噪声
在通信系统中，量化噪声会带来传输性能和错误传输率上的负面影响。通过增加量化精度并采用过采样方法，则可明显改善量化噪声的影响效果。
音频处理中的量化噪声
在音频处理领域中存在一种称为量化噪声的现象会导致声音信号的真实信息被部分失真地捕捉到。通过采用具有更高精度的大容量采样器（ADC）以及超采样技术等先进手段能够有效降低其幅值范围进而提升整体的声音质量。
图像处理中的量化噪声
在图像处理领域中，量化噪声会对图像的质量产生显著影响。通过采用高分辨率的图像传感器配合合适的方法来降低量化噪声的影响程度，则能够在一定程度上提升图像的质量和细节信息的表现能力
18.8 量化噪声的建模与仿真
为了更深入地理解量化噪声的特性及其影响, 可以通过建立相应的数学模型并进行计算机仿真研究. 这种建模与仿真过程有助于揭示系统的动态特性及其潜在问题. 同时, 通过建立准确的数学模型不仅可以验证理论分析的准确性, 还能为信号处理系统的优化设计提供科学依据.
量化噪声建模示例
下面是一个使用Python和NumPy库的量化噪声建模示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成原始信号
fs = 1000 # 采样频率
f = 50 # 信号频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
x = np.sin(2 * np.pi * f * t) # 原始正弦信号
# 量化参数
b = 8 # 量化位数
Delta = 2 / (2**b) # 量化步长
# 量化信号
x_quantized = np.round(x / Delta) * Delta
# 计算量化噪声
quantization_noise = x - x_quantized
# 计算噪声的均值和方差
mean_noise = np.mean(quantization_noise)
var_noise = np.var(quantization_noise)
print(f"量化噪声均值: {mean_noise}")
print(f"量化噪声方差: {var_noise}")
# 绘制量化噪声
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, quantization_noise, label='量化噪声', color='r')
plt.legend()
plt.title('量化噪声时域图')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('噪声值')
# 计算FFT
X_noise = np.fft.fft(quantization_noise)
frequencies = np.fft.fftfreq(len(x), 1/fs)
# 绘制频谱
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(frequencies, np.abs(X_noise), label='量化噪声频谱', color='b')
plt.legend()
plt.title('量化噪声频谱图')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.tight_layout()
plt.show()在以下示例中，在第一步中我们生成了一个正弦信号，在第二步中对该信号进行了采样与量化。接着，在第三步中我们计算了量化噪声的均值与方差，并随后绘制了该噪声信号在时域上的波形图以及频域上的功率谱。通过对上述参数的计算与分析，在理论上能够推导出该量化噪声的概率分布特征及其频率响应特性
18.9 量化噪声与信号动态范围的关系
The quantization noise is closely related to the dynamic range of the signal. The dynamic range of a signal refers to the range between its maximum and minimum representable amplitudes. The presence of quantization noise can constrain the dynamic range of a signal, as excessively high amplitudes may lead to increased quantization errors.
动态范围示例
下面是一个使用Python和NumPy库的动态范围示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成原始信号
fs = 1000 # 采样频率
f = 50 # 信号频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
x = 1.5 * np.sin(2 * np.pi * f * t) # 原始正弦信号，幅度放大
# 量化参数
b = 8 # 量化位数
Delta = 2 / (2**b) # 量化步长
# 量化信号
x_quantized = np.round(x / Delta) * Delta
# 计算量化噪声
quantization_noise = x - x_quantized
# 计算SNR
def snr(x, x_quantized):
signal_power = np.mean(x**2)
noise_power = np.mean(quantization_noise**2)
return 10 * np.log10(signal_power / noise_power)
snr = snr(x, x_quantized)
print(f"信噪比 (SNR): {snr} dB")
# 绘制信号
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, x_quantized, label='量化信号', linestyle='--', color='r')
plt.legend()
plt.title('原始信号和量化信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, quantization_noise, label='量化噪声', color='b')
plt.legend()
plt.title('量化噪声时域图')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('噪声值')
plt.tight_layout()
plt.show()以这个示例为例，在其中我们生成了一个幅度较大的正弦信号，并对其进行采样。随后我们计算了量化噪声与输入信号的比例（信噪比）。为了直观地展示各个部分的表现情况，在完成上述操作后又绘制了三个不同类别的时序图：原始、采样后的以及误差曲线。从这些分析可以看出幅度较大的正弦波会导致采样误差增大进而影响整体质量
18.10 量化噪声的频谱整形
频谱整形是一种降低量化噪声影响的技术。通过在量化过程中引入反馈机制，在信号带宽内有效地降低了噪声功率水平。
频谱整形示例
下面是一个使用Python和NumPy库的频谱整形示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成原始信号
fs = 1000 # 采样频率
f = 50 # 信号频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
x = np.sin(2 * np.pi * f * t) # 原始正弦信号
# 量化参数
b = 8 # 量化位数
Delta = 2 / (2**b) # 量化步长
# 量化信号
x_quantized = np.round(x / Delta) * Delta
# 频谱整形
def noise_shaping(x, Delta, alpha):
y = np.zeros_like(x)
e = np.zeros_like(x)
for n in range(len(x)):
y[n] = np.round(x[n] / Delta) * Delta + alpha * e[n-1]
e[n] = x[n] - y[n]
return y, e
alpha = 0.9
x_shaped, e_shaped = noise_shaping(x, Delta, alpha)
# 计算FFT
X = np.fft.fft(x)
X_quantized = np.fft.fft(x_quantized)
X_shaped = np.fft.fft(x_shaped)
frequencies = np.fft.fftfreq(len(x), 1/fs)
# 绘制频谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(frequencies, np.abs(X), label='原始信号频谱', color='g')
plt.plot(frequencies, np.abs(X_quantized), label='量化信号频谱', color='r')
plt.plot(frequencies, np.abs(X_shaped), label='频谱整形后信号频谱', color='b')
plt.legend()
plt.title('频谱比较')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.tight_layout()
plt.show()在本例中，在这个示例中，在这个案例中