信号处理基础：信号处理概述_（11）.信号处理基础：系统建模与信号处理
信号处理基础：系统建模与信号处理
1. 系统建模概述
在信号处理领域中，默认情况下将系统建模视为一个不可或缺的关键环节。该过程主要关注实际系统的行为特征及其相应的数学表示。基于建立的数学模型分析与设计方法能够帮助我们深入理解系统的动态特性，并在此基础上实现更为高效的算法优化。在具体应用中，默认情况下将系统建模视为一个不可或缺的关键环节。
系统定义 ：清晰地界定系统的输入变量、输出结果及其内部结构。
数学模型 ：建立能够刻画系统变量间相互作用规律的数学方程或算法。
参数估计 ：识别出模型中未知参数的具体数值。
模型验证 ：经过实验数据或计算机模拟的结果检验模型的有效性。
1.1 系统定义
在建模过程中, 确定系统的构成要素是一个重要步骤. 应明确该系统的输入端. 输出端以及内部组件之间的关系. 例如, 在通信领域中, 一个典型系统的描述通常包括其功能模块间的相互作用机制.
- 输入：发端传输的信号。
- 输出：收端接收到了信号。
- 内部结构：由信道、滤波器和放大器等组件构成。
1.2 数学模型
构建数学模型是系统建模的关键环节，并且该模型利用数学方程或算法来刻画系统的输入与输出之间的关系。典型的系统模型涵盖线性时不变（LTI）体系、非线性体系以及时间可变体系等。
1.2.1 线性时不变系统（LTI）
线性时不变系统是典型的系统类型，在工程学中具有重要地位。其基本特性可由常微分方程和偏微分方程加以描述。对于LTI系统而言，在时域中其输出等于输入信号与冲激响应的卷积结果。
冲激响应 ：系统的冲激响应 h(t) 是系统对单位冲激信号 \delta(t) 的响应。
卷积积分 ：在连续时间系统中，在数学上输出 y(t) 等于输入信号 x(t) 与其冲激响应函数 h(t) 进行卷积运算的结果。
y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau
卷积和：在离散时间系统中，在时域中计算输出信号y[n]的过程被称为卷积运算
y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k]
1.3 参数估计
参数估计旨在确定模型中未知参数的过程。除了最小二乘法之外，还包括最大似然估计和贝叶斯估计等多种方法。
1.3.1 最小二乘法
在数据处理中，最小二乘法常被用作参数估计的一种方法。它通过使预测值与实际观测值之间平方差的总和达到最小来计算模型参数。
该系统模型可表示为 y = ax + b ，其中a和b被视为未知参数 ，可通过以下步骤实现参数估计
- 数据获取：通过传感器系统获取输入输出样本 (x_i, y_i) 的关键信息。
- 预测误差的平方和：通过计算预测值与实际值之间的误差平方和 E 来实现模型优化。
E = \sum_{i=1}^{N} (y_i - (ax_i + b))^2
- 减小误差 ：通过计算 E 对于变量 a 和 b 的偏导数，并将其设置为零来确定最佳参数。
代码示例 ：使用Python进行最小二乘法参数估计
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成模拟数据
np.random.seed(0)
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = 2 * x + 3 + np.random.normal(0, 1, 100)
# 最小二乘法参数估计
A = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T
a, b = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0]
# 绘制数据和拟合直线
plt.scatter(x, y, label='Data')
plt.plot(x, a * x + b, 'r', label='Fitted Line')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Least Squares Fit')
plt.show()
print(f"Estimated parameters: a = {a}, b = {b}")1.4 模型验证
模型验证是采用实验数据或仿真来验证模型的准确性。常用的验证方法涉及残差分析和拟合优度检验等
1.4.1 残差分析
残差研究通常通过计算预测值与观测值之间的差异来评估模型准确性。当这些差异数值较小且呈现随机分布特征时，则可推断该模型具有较好的拟合效果。
代码示例 ：使用Python进行残差分析
# 计算残差
y_pred = a * x + b
residuals = y - y_pred
# 绘制残差图
plt.scatter(x, residuals, label='Residuals')
plt.axhline(y=0, color='r', linestyle='--', label='Zero Line')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Residuals')
plt.title('Residual Analysis')
plt.show()2. 系统建模方法
存在多种系统建模的方法，在实际应用中根据具体需求选择合适的建模技术时需要考虑系统的属性特征及其复杂程度等关键指标。在工程实践中较为常用的模型构建技术包括物理系统模型、信息流模型以及动态行为模型等多种类型，在理论研究领域则主要采用基于数学理论的概率统计模型与状态空间模型等基本形式进行分析与求解
白箱建模是一种以系统内部结构为基础构建模型的方法；黑箱建模则依赖于系统的输入输出数据进行分析和构建模型；灰箱建模则是综合运用白箱和黑箱方法进行分析与预测
2.1 白箱建模
白箱建模遵循系统内部机制与物理规律，在数学模型中体现系统的特性。这种建模方法特别适用于那些已知系统内部机制的情况。
2.1.1 物理建模
物理建模主要通过应用一系列物理定律和数学方程来系统地描述其特性。具体来说，在电路分析中可以构建一个RC低通滤波器的数学模型。
RC低通滤波器 ：电路图如下所示：
R
---
||
Vi ---| C |--- Vo
||
---通过电路分析，可以得到其传输函数为：
H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{1 + sRC}
其中， s 是拉普拉斯变换的复变量， R 和 C 分别是电阻和电容的值。
2.2 黑箱建模
黑盒建模以输入输出数据为基础，并采用数据驱动的方式构建系统的数学模型。这种方法适用于系统内部结构未知或难以解析的情形。
2.2.1 系统辨识
系统识别被视为一种常见的黑盒模型应用方式，在工程实践中通常采用输入输出数据序列来估算其参数值。
原理 ：假设系统模型为 y = ax + b，可以通过以下步骤进行系统辨识：
- 数据获取：获取输入输出样本 (x_i, y_i)。
- 参数推断：运用最小二乘法等方法估算模型参数 a 和 b。
- 模型检验：利用残差分析等方法检验模型的有效性。
代码示例 ：使用Python进行系统辨识
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import least_squares
# 生成模拟数据
np.random.seed(0)
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = 2 * x + 3 + np.random.normal(0, 1, 100)
# 定义模型函数
def model(params, x):
a, b = params
return a * x + b
# 定义残差函数
def residuals(params, x, y):
return model(params, x) - y
# 初始参数估计
initial_params = [1, 1]
# 使用最小二乘法进行参数估计
result = least_squares(residuals, initial_params, args=(x, y))
a, b = result.x
# 绘制数据和拟合直线
plt.scatter(x, y, label='Data')
plt.plot(x, a * x + b, 'r', label='Fitted Line')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('System Identification using Least Squares')
plt.show()
print(f"Estimated parameters: a = {a}, b = {b}")2.3 灰箱建模
灰箱建模融合了白箱与黑箱建模的体系，在考虑系统内部结构的同时，并通过输入输出数据实现部分参数的估计。这种方法特别适用于系统部分已知结构但存在部分未知参数的情形。
2.3.1 混合建模
混合建模方法是基于既包含物理规律又结合数据驱动的方式来进行未知参数估计。例如,一部分已知的机械系统可通过运动学方程及其输入-输出数据进行建模
代码示例 ：使用Python进行混合建模
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import least_squares
# 生成模拟数据
np.random.seed(0)
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = 2 * x + 3 + np.random.normal(0, 1, 100)
# 已知部分物理模型
def known_model(x, a):
return a * x + 3
# 定义残差函数
def residuals(a, x, y):
return known_model(x, a) - y
# 初始参数估计
initial_a = 1
# 使用最小二乘法进行参数估计
result = least_squares(residuals, initial_a, args=(x, y))
a = result.x[0]
# 绘制数据和拟合直线
plt.scatter(x, y, label='Data')
plt.plot(x, known_model(x, a), 'r', label='Fitted Line')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Hybrid Modeling')
plt.show()
print(f"Estimated parameter: a = {a}")3. 系统建模的应用
系统建模被广泛应用到多个领域中去，在通信技术、自动化控制工程、生物医学工程以及金融分析等领域均有显著应用效果。借助系统建模方法的应用，则能够深入解析系统的内在规律，并以此为基础开发出更为高效的信号处理算法。
3.1 通信系统建模
构建通信系统的数学模型用于刻画信道、调制解调器和滤波器等功能特性。
3.1.1 信道模型
信道模型表征了信号在传输过程中的干扰与衰减特性；常见的典型应用场景涉及 AWGN 以及多径传播环境下的通信系统分析
AWGN信道：基于加性高斯白噪声的通信系统模型假设通信系统中产生的噪声服从高斯分布且为白噪声
代码示例 ：使用Python模拟AWGN信道
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成模拟信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 10, 1/fs)
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) # 5 Hz的正弦信号
# 添加AWGN噪声
np.random.seed(0)
snr = 20 # 信噪比（dB）
noise_power = np.sum(x**2) / len(x) * 10**(-snr/10)
noise = np.random.normal(0, np.sqrt(noise_power), len(x))
y = x + noise
# 绘制信号和加噪后的信号
plt.plot(t, x, label='Original Signal')
plt.plot(t, y, label='Signal with AWGN')
plt.legend()
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('AWGN Channel Simulation')
plt.show()3.2 控制系统建模
控制系统建模是利用数学模型刻画控制系统的特性，并以目标为导向进行设计与优化。常见的控制系统模型主要包括PID控制器以及状态空间模型等。
3.2.1 PID控制器
PID控制器是一种广泛应用的反馈控制系统，并由比例、积分和微分三个基本环节组成，用于调节或调整系统的输出。
原理 ：PID控制器的输出 u(t) 可以表示为：
u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{d e(t)}{dt}
其中， e(t) 是误差信号， K_p、 K_i 和 K_d 分别是比例、积分和微分增益。
代码示例 ：使用Python模拟PID控制器
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义PID控制器
class PIDController:
def __init__(self, Kp, Ki, Kd, dt):
self.Kp = Kp
self.Ki = Ki
self.Kd = Kd
self.dt = dt
self.integral = 0
self.previous_error = 0
def update(self, error):
self.integral += error * self.dt
derivative = (error - self.previous_error) / self.dt
output = self.Kp * error + self.Ki * self.integral + self.Kd * derivative
self.previous_error = error
return output
# 生成模拟数据
fs = 100 # 采样频率
t = np.arange(0, 10, 1/fs)
setpoint = 1 # 设定值
process_value = np.zeros_like(t)
controller_output = np.zeros_like(t)
# PID控制器参数
Kp = 1
Ki = 0.1
Kd = 0.05
dt = 1/fs
# 模拟过程
pid = PIDController(Kp, Ki, Kd, dt)
for i in range(1, len(t)):
error = setpoint - process_value[i-1]
u = pid.update(error)
process_value[i] = process_value[i-1] + u * dt
controller_output[i] = u
# 绘制结果
plt.plot(t, setpoint * np.ones_like(t), label='Setpoint')
plt.plot(t, process_value, label='Process Value')
plt.plot(t, controller_output, label='Controller Output')
plt.legend()
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('PID Controller Simulation')
plt.show()3.3 生物医学信号处理建模
其本质是利用数学模型来刻画生物医学信号的特征，并通过分析这些特征来进行相应的处理工作。其中较为常见的生物医学信号包括心电图（ECG）、脑电图（EEG）以及肌电信图（EMG）等
3.3.1 心电图（ECG）模型
心电图（ECG）模型用于记录心脏活动所产生的电信号变化。常用的ECG模型包括P波、QRS复合波形以及T波等特征性电位变化模式。
代码示例 ：使用Python生成模拟ECG信号
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import butter, lfilter, freqz
# 生成模拟ECG信号
fs = 500 # 采样频率
t = np.arange(0, 10, 1/fs)
P_wave = 0.1 * np.sin(2 * np.pi * 1 * t) # P波
QRS_wave = 1.0 * np.sin(2 * np.pi * 5 * t) # QRS波群
T_wave = 0.3 * np.sin(2 * np.pi * 3 * t) # T波
ecg = P_wave + QRS_wave + T_wave
# 添加噪声
np.random.seed(0)
noise = 0.1 * np.random.normal(0, 1, len(ecg))
ecg_noisy = ecg + noise
# 绘制信号
plt.plot(t, ecg, label='Clean ECG')
plt.plot(t, ecg_noisy, label='ECG with Noise')
plt.legend()
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('ECG Signal Simulation')
plt.show()3.4 金融信号处理建模
金融信号处理建模主要通过数学模型来描述金融市场的主要特性，并用于实现对市场行为的预测与分析。典型的金融信号包括股价、汇率等经济指标的变化情况。
3.4.1 股价预测模型
该方法用于分析股票价格的变化规律。常见的用于分析股票价格走势的方法包括ARIMA模型、LSTM网络等。
ARIMA模型 ：自回归积分滑动平均模型是一种常用的时间序列预测模型。
代码示例 ：使用Python进行ARIMA模型的股价预测
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
# 读取股价数据
data = pd.read_csv('stock_prices.csv')
prices = data['Close'].values
# 拟合ARIMA模型
model = ARIMA(prices, order=(5, 1, 0))
model_fit = model.fit()
# 进行预测
forecast = model_fit.forecast(steps=10)
# 绘制结果
plt.plot(prices, label='Historical Prices')
plt.plot(range(len(prices), len(prices) + len(forecast)), forecast, label='Forecast')
plt.legend()
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Price')
plt.title('ARIMA Model for Stock Price Prediction')
plt.show()4. 信号处理算法
信号处理算法旨在通过处理输入信号来识别或解析其中的有用信息并优化其质量。这些方法主要涉及滤波器设计傅里叶分析以及小波转换等技术。
4.1 滤波器设计
滤波器设计基于数学模型来实现对信号的过滤处理。在工程应用中，常见的滤波器种类中包含低通滤波器、高通滤波器以及带通滤波器等基础类型。
滤波器设计基于数学模型来实现对信号的过滤处理。在工程应用中，常见的滤波器种类中包含低通滤波器、高通滤波器以及带通滤波器等基础类型。
4.1.1 低通滤波器
低通滤波器具有通过能力以允许低频信号通过，并且能够有效抑制高频信号的传递。在滤波器设计领域中，巴特沃斯滤波器与切比雪夫滤波器作为两种典型的设计方案得到广泛应用。
巴特沃斯滤波器作为一种过渡特性平滑的数字滤波工具，在信号处理领域具有重要应用。
其频率响应特性在通带与阻带之间的过渡是连续且无畸变的。
其传递函数具有的形式为：
H(s) = \frac{1}{\prod_{k=1}^{n}(s^2 + \omega_k^2)}
H(s) = \frac{1}{1 + \left(\frac{s}{\omega_c}\right)^{2n}}
其中， \omega_c 是截止频率， n 是滤波器的阶数。
代码示例 ：使用Python设计和应用巴特沃斯低通滤波器
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import butter, lfilter, freqz
# 生成模拟信号
fs = 500 # 采样频率
t = np.arange(0, 10, 1/fs)
P_wave = 0.1 * np.sin(2 * np.pi * 1 * t) # P波
QRS_wave = 1.0 * np.sin(2 * np.pi * 5 * t) # QRS波群
T_wave = 0.3 * np.sin(2 * np.pi * 3 * t) # T波
ecg = P_wave + QRS_wave + T_wave
# 添加噪声
np.random.seed(0)
noise = 0.1 * np.random.normal(0, 1, len(ecg))
ecg_noisy = ecg + noise
# 设计巴特沃斯低通滤波器
def butter_lowpass(cutoff, fs, order=5):
nyq = 0.5 * fs
normal_cutoff = cutoff / nyq
b, a = butter(order, normal_cutoff, btype='low', analog=False)
return b, a
def butter_lowpass_filter(data, cutoff, fs, order=5):
b, a = butter_lowpass(cutoff, fs, order=order)
y = lfilter(b, a, data)
return y
# 参数设置
cutoff = 10 # 截止频率
fs = 500 # 采样频率
order = 6 # 滤波器阶数
# 应用滤波器
ecg_filtered = butter_lowpass_filter(ecg_noisy, cutoff, fs, order)
# 绘制信号
plt.plot(t, ecg, label='Clean ECG')
plt.plot(t, ecg_noisy, label='ECG with Noise')
plt.plot(t, ecg_filtered, label='Filtered ECG')
plt.legend()
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('ECG Signal Filtering using Butterworth Lowpass Filter')
plt.show()4.2 傅里叶变换
该方法用于将信号从时域映射到频域这一技术。借助傅里叶变换用于探究信号的频率组成及其应用。
离散傅里叶变换（DFT） 是一种数学工具，在时频分析中具有重要作用。它能够将时域序列转换为频域序列。
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{N} kn}
Fast Fourier Transform (FFT)：Fast Fourier Transform (FFT) is a highly efficient algorithm used to compute the discrete Fourier transform.
代码示例 ：使用Python进行傅里叶变换
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成模拟信号
fs = 500 # 采样频率
t = np.arange(0, 10, 1/fs)
P_wave = 0.1 * np.sin(2 * np.pi * 1 * t) # P波
QRS_wave = 1.0 * np.sin(2 * np.pi * 5 * t) # QRS波群
T_wave = 0.3 * np.sin(2 * np.pi * 3 * t) # T波
ecg = P_wave + QRS_wave + T_wave
# 添加噪声
np.random.seed(0)
noise = 0.1 * np.random.normal(0, 1, len(ecg))
ecg_noisy = ecg + noise
# 计算FFT
N = len(ecg_noisy)
fft_result = np.fft.fft(ecg_noisy)
frequencies = np.fft.fftfreq(N, 1/fs)
# 绘制频谱
plt.plot(frequencies[:N//2], np.abs(fft_result[:N//2]), label='Frequency Spectrum')
plt.legend()
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.title('FFT of ECG Signal')
plt.show()4.3 小波变换
小波变换作为一种多分辨率分析工具，在时域与频域上进行综合分析能力显著。借助小波变换技术，我们能够实现去除噪声、数据压缩以及特征提取等具体操作。
离散小波变换（DWT） : Discrete wavelet transform divides the signal into various scales and positions through decomposition.
连续小波变换（CWT） ：在分析过程中，在连续小波变换中将信号被分解为不同尺度和位置的小波系数。
代码示例 ：使用Python进行小波变换
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pywt
# 生成模拟信号
fs = 500 # 采样频率
t = np.arange(0, 10, 1/fs)
P_wave = 0.1 * np.sin(2 * np.pi * 1 * t) # P波
QRS_wave = 1.0 * np.sin(2 * np.pi * 5 * t) # QRS波群
T_wave = 0.3 * np.sin(2 * np.pi * 3 * t) # T波
ecg = P_wave + QRS_wave + T_wave
# 添加噪声
np.random.seed(0)
noise = 0.1 * np.random.normal(0, 1, len(ecg))
ecg_noisy = ecg + noise
# 进行小波变换
wavelet = 'db4'
coeffs = pywt.wavedec(ecg_noisy, wavelet)
# 重构信号
ecg_denoised = pywt.waverec(coeffs[:-1], wavelet)
# 绘制信号
plt.plot(t, ecg, label='Clean ECG')
plt.plot(t, ecg_noisy, label='ECG with Noise')
plt.plot(t, ecg_denoised, label='Denoised ECG')
plt.legend()
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('ECG Signal Denoising using Wavelet Transform')
plt.show()5. 总结
系统模型和信号处理是信号处理领域中的两大核心内容。通过建立系统的数学模型来描述其特性特征，在深入理解输入输出关系的基础上实现对信号处理算法的设计与优化过程。在系统建模方面主要采用白箱模型、黑箱模型以及灰箱模型三种方法进行描述；而在信号处理技术层面则主要依赖于滤波器设计、傅里叶变换以及小波变换等多种数学工具来进行数据的预处理与分析工作
借助系统建模与信号处理的融合, 我们能够应对一系列实际问题, 包括通信系统的信道建模及降噪问题、控制系统的控制器设计、生物医学领域的信号分析及降噪技术以及金融领域的时序预测方法等。我们期待本文能够为读者构建一个系统建模与信号处理的基础架构, 从而帮助读者进一步展开深入研究与技术创新。