信号处理基础：信号处理概述_（2）.信号处理基础：时域与频域分析
信号处理基础：时域与频域分析
针对电气工程及其自动化领域而言
1. 时域分析
时域分析是一种直接在时间轴上执行信号分析的技术手段。在时域中,通常将时间作为横坐标轴,而将信号幅度作为纵坐标轴,从而反映其随时间变化的特性。通过时域分析可以获取有关信号的基本信息,包括其波形特征、幅值特性以及频率与相位特性等基本参数的信息
1.1 信号的表示
在时间域中，默认情况下信号被表示为函数形式 x(t)；其中变量t代表时间轴。例如，在时域中我们可以用简单的正弦波形来描述：
x(t) = A \sin(2\pi f t + \phi)
其中：
- A 是信号的幅度
- f 是信号的频率
- \phi 是信号的相位
1.2 常用时域分析工具
1.2.1 时域波形图
在工程实践中应用最为广泛的时域波形图是实现信号表示的关键工具。工程师们可以通过绘制不同时间点上的振幅变化曲线来构建完整的时域图像。这样就可以清晰地观察到各个频率成分及其相位信息。例如，在Python编程语言中利用matplotlib模块能够方便地生成各种类型的时域图形。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义信号参数
A = 1.0 # 幅度
f = 5.0 # 频率 (Hz)
phi = 0.0 # 相位 (弧度)
t = np.linspace(0, 1, 1000) # 时间向量，从0到1秒，共1000个点
# 生成正弦信号
x = A * np.sin(2 * np.pi * f * t + phi)
# 绘制时域波形图
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, x)
plt.title('正弦信号的时域波形图')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid(True)
plt.show()1.2.2 时域特征提取
时域特征提取涉及从时间序列信号中提取有价值的信息的方法。常见的时域特征包括常见的时间序列特征
- 平均值
- 峰值
- 均方根值 (RMS)
- 零交叉点
- 过零率
1.2.2.1 平均值
信号的平均值代表了在一段时间范围内信号的均值水平。对于离散时间序列 x[n] 来说，其均值可以用下式表示为：
\text{平均值} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]
1.2.2.2 峰值
该信号的最大值被定义为在特定时间段内达到的最大幅度；对于离散时间序列 x[n] 来说，在特定时间点上取得的最大值即为其峰值。
\text{峰值} = \max(x[n])
1.2.2.3 均方根值 (RMS)
信号的均方根值（RMS）称为信号在一段时间内波动幅度的平方平均值。离散时间序列 x[n] 的 RMS 值可以用以下公式计算：
\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]^2}
1.2.2.4 零交叉点
信号的零交叉点即为信号从正变负或从负变正穿过零点的数量。对于离散信号 x[n] ，可以通过分析相邻两点间的符号变化来确定其零交叉点的数量。
1.2.2.5 过零率
过零率定义为单位时间内发生的零交叉次数。在离散时间序列 x[n] 中，则可通过对该序列中每个时间段内观察到的零交叉次数进行计算来确定其zero-crossing rate。
# 时域特征提取
def calculate_features(x):
mean_value = np.mean(x)
peak_value = np.max(x)
rms_value = np.sqrt(np.mean(x**2))
# 计算零交叉点
zero_crossings = np.where(np.diff(np.sign(x)))[0]
zero_crossing_rate = len(zero_crossings) / (len(t) - 1)
return mean_value, peak_value, rms_value, zero_crossing_rate
mean_value, peak_value, rms_value, zero_crossing_rate = calculate_features(x)
print(f"平均值: {mean_value}")
print(f"峰值: {peak_value}")
print(f"均方根值 (RMS): {rms_value}")
print(f"过零率: {zero_crossing_rate}")1.3 时域滤波
时域滤波具体来说就是在时间域内对信号进行滤波操作以去除干扰信号或提取所需信号的特定频率成分。常见的时域滤波器例如低通滤波器高通滤波器和带通滤波器广泛应用于各种领域的时间域过滤装置。
1.3.1 低通滤波器
低通滤波器允许多频信号通过但阻止高频噪声的传递。一个简单的低通滤波器能够通过滑动平均法实现功能
def low_pass_filter(x, window_size):
# 移动平均滤波
filtered_x = np.convolve(x, np.ones(window_size) / window_size, mode='same')
return filtered_x
window_size = 50 # 滤波器窗口大小
filtered_x = low_pass_filter(x, window_size)
# 绘制原始信号和滤波后的信号
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, filtered_x, label='低通滤波后的信号', color='r')
plt.title('低通滤波器示例')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()1.3.2 高通滤波器
高通滤波器可以让高频信号得以通过并阻止低频信号的传递。一种易于设计的高通滤波器可通过差分法来实现其功能。
def high_pass_filter(x, alpha=0.9):
# 差分高通滤波器
filtered_x = np.zeros_like(x)
filtered_x[0] = x[0]
for n in range(1, len(x)):
filtered_x[n] = alpha * filtered_x[n-1] + (1 - alpha) * x[n]
return filtered_x
alpha = 0.9 # 滤波器参数
filtered_x = high_pass_filter(x, alpha)
# 绘制原始信号和滤波后的信号
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, filtered_x, label='高通滤波后的信号', color='r')
plt.title('高通滤波器示例')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()2. 频域分析
频域分析主要涉及对信号从时域向频域的转换及其分析过程。不仅能够揭示信号的频率组成信息，并且常用的技术手段有傅里叶变换以及基于功率谱密度的分析方法。
2.1 傅里叶变换
该数学工具用于将时间域中的信号转换至频率域中；其通过线性组合的方式分解出不同频率的正弦与余弦波组成；其中常见的变体包括离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶算法（FFT）。
2.1.1 离散傅里叶变换 (DFT)
离散傅里叶变换 (DFT) 被称为将时域序列 x[n] 转换为频域序列 X[k] 的核心数学工具。其数学模型为：X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}。
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n / N}
其中：
- N 是信号的长度
- k 是频率索引
2.1.2 快速傅里叶变换 (FFT)
The Fast Fourier Transform (FFT) represents a high-performance variant of the Discrete Fourier Transform (DFT). It serves to significantly lower the computational complexity involved in frequency domain analysis. In Python, the numpy library provides support for FFT through its fft module.
from scipy.fft import fft, fftfreq
# 计算FFT
X = fft(x)
frequencies = fftfreq(len(x), t[1] - t[0])
# 绘制频谱图
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(frequencies, np.abs(X))
plt.title('信号的频谱图')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid(True)
plt.show()2.2 功率谱密度 (PSD)
功率谱密度 (PSD) 表征为信号在频域上的能量分布特性，在工程实践中具有重要的应用价值。该指标能够有效揭示信号中各频率成分之间的相互作用及其能量分布情况，并为信号分析提供了重要的理论依据和分析工具。例如，在Python编程环境中，可以通过调用scipy库中的periodogram函数来实现这一目标
from scipy.signal import periodogram
# 计算PSD
frequencies, psd = periodogram(x, fs=1 / (t[1] - t[0]))
# 绘制PSD图
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(frequencies, psd)
plt.title('信号的功率谱密度 (PSD)')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('功率密度')
plt.grid(True)
plt.show()2.3 频域滤波
频域滤波旨在通过在频域中执行滤波操作来处理信号；其目标是消除干扰并筛选所需频率成分。通常使用的频域滤波器类型包括带通型和带阻型。
2.3.1 带通滤波器
带通滤波器能够具有特定频率范围内的信号通过的能力，并抑制其他频率的信号。在频域中设置适当的频率响应参数后就可以实现带通滤波器的功能。
from scipy.signal import butter, lfilter, freqz
def butter_bandpass_filter(data, lowcut, highcut, fs, order=5):
nyquist = 0.5 * fs
low = lowcut / nyquist
high = highcut / nyquist
b, a = butter(order, [low, high], btype='band')
y = lfilter(b, a, data)
return y
lowcut = 4.5 # 低频截止频率 (Hz)
highcut = 5.5 # 高频截止频率 (Hz)
fs = 1 / (t[1] - t[0]) # 采样频率
filtered_x = butter_bandpass_filter(x, lowcut, highcut, fs)
# 绘制原始信号和滤波后的信号
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, filtered_x, label='带通滤波后的信号', color='r')
plt.title('带通滤波器示例')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()2.3.2 带阻滤波器
带阻滤波器阻止特定频段内的信号传输，并使其他频率的信号得以通过；在频域中，则是通过配置频率响应来实现这一功能。
def butter_bandstop_filter(data, lowcut, highcut, fs, order=5):
nyquist = 0.5 * fs
low = lowcut / nyquist
high = highcut / nyquist
b, a = butter(order, [low, high], btype='bandstop')
y = lfilter(b, a, data)
return y
lowcut = 4.5 # 低频截止频率 (Hz)
highcut = 5.5 # 高频截止频率 (Hz)
fs = 1 / (t[1] - t[0]) # 采样频率
filtered_x = butter_bandstop_filter(x, lowcut, highcut, fs)
# 绘制原始信号和滤波后的信号
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, filtered_x, label='带阻滤波后的信号', color='r')
plt.title('带阻滤波器示例')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()3. 时域与频域分析的应用
时域与频域分析在电气工程及其自动化领域具有广泛的应用，并被用于信号识别、模式识别以及系统优化等多个方面。
3.1 信号检测
信号检测旨在从背景噪声中识别特定信号。时域分析可基于信号波形特征实施；频域分析则可依据信号频谱特征执行
3.1.1 时域检测
时域检测可以通过设定阈值来判断信号的峰值。例如，在一个含有噪声的信号中，可以通过计算其峰值来判断该信号。
# 生成包含噪声的信号
np.random.seed(0)
noisy_x = x + 0.5 * np.random.randn(len(x))
# 计算峰值
peak_threshold = 0.8 * np.max(x)
peaks = np.where(np.abs(noisy_x) > peak_threshold)[0]
# 绘制原始信号和检测到的峰值
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, noisy_x, label='含噪声的信号')
plt.plot(t[peaks], noisy_x[peaks], 'ro', label='检测到的峰值')
plt.title('时域信号检测示例')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()3.1.2 频域检测
频域检测可以通过分析信号的频谱特征来确定特定频率范围内的信号存在与否。例如，在一个包含多种频率成分的系统中，我们可以利用功率谱密度的方法来精确识别目标频率是否存在。
# 生成包含多个频率成分的信号
f1 = 2.0 # 第一个频率 (Hz)
f2 = 10.0 # 第二个频率 (Hz)
x1 = A * np.sin(2 * np.pi * f1 * t + phi)
x2 = A * np.sin(2 * np.pi * f2 * t + phi)
x = x1 + x2
# 计算PSD
frequencies, psd = periodogram(x, fs=fs)
# 检测特定频率
frequencies_of_interest = [f1, f2]
for f in frequencies_of_interest:
idx = np.argmin(np.abs(frequencies - f))
print(f"频率 {f} Hz 的功率密度: {psd[idx]}")
# 绘制PSD图
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(frequencies, psd)
plt.title('信号的功率谱密度 (PSD)')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('功率密度')
plt.grid(True)
plt.show()3.2 信号分类
信号分类旨在将不同类型的信号进行区分。时域分析可通过识别信号的波形特征来进行分类工作，而频域分析则可通过识别信号的频谱特征来进行分类方法的设计。
3.2.1 时域分类
时域分类可通过计算时间域特征来实现。假设我们有两种类型的信号：一种是高频信号（high-frequency signals），另一种是低频信号（low-frequency signals）。我们可以基于这些特征进行区分。
# 生成两类信号
f_high = 20.0 # 高频率 (Hz)
f_low = 2.0 # 低频率 (Hz)
x_high = A * np.sin(2 * np.pi * f_high * t + phi)
x_low = A * np.sin(2 * np.pi * f_low * t + phi)
# 计算过零率
zero_crossing_rate_high = calculate_features(x_high)[3]
zero_crossing_rate_low = calculate_features(x_low)[3]
print(f"高频率信号的过零率: {zero_crossing_rate_high}")
print(f"低频率信号的过零率: {zero_crossing_rate_low}")3.2.2 频域分类
频域分类可通过分析信号的频谱特性来实现。假设有两种类型的信号：一种是高频信号（high-frequency signals），另一种是低频信号（low-frequency signals），可以通过计算其功率谱密度指标来进行分类。
# 计算PSD
frequencies, psd_high = periodogram(x_high, fs=fs)
frequencies, psd_low = periodogram(x_low, fs=fs)
# 绘制PSD图
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(frequencies, psd_high, label='高频率信号')
plt.plot(frequencies, psd_low, label='低频率信号')
plt.title('信号的功率谱密度 (PSD)')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('功率密度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()3.3 故障诊断
故障诊断旨在利用信号特征以识别系统的故障状态。时域分析可通过观察信号波形的变化进行故障诊断；而频域分析则可借助频谱的变化进行故障判断。
3.3.1 时域故障诊断
时域故障诊断可以通过基于信号的时域特征进行分析或评估。例如，在机械系统中，假设我们有一个电机的振动信号，则可采用提取和分析其峰值特征的方法来诊断系统的故障情况。
# 生成电机的振动信号
motor_signal = A * np.sin(2 * np.pi * f * t + phi) + 0.2 * A * np.sin(2 * np.pi * 2 * f * t + phi)
# 计算峰值
peak_threshold = 1.1 * np.max(x)
peaks = np.where(np.abs(motor_signal) > peak_threshold)[0]
# 绘制原始信号和检测到的峰值
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, motor_signal, label='电机振动信号')
plt.plot(t[peaks], motor_signal[peaks], 'ro', label='检测到的峰值')
plt.title('电机振动信号的时域故障诊断')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()3.3.2 频域故障诊断
频域故障诊断基于信号的频谱特征进行。比如我们有一个电机的振动信号其功率谱密度特性能够用来判断电机是否存在故障。
# 计算PSD
frequencies, psd_motor = periodogram(motor_signal, fs=fs)
# 绘制PSD图
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(frequencies, psd_motor)
plt.title('电机振动信号的功率谱密度 (PSD)')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('功率密度')
plt.grid(True)
plt.show()
# 检测特定频率
frequencies_of_interest = [f, 2 * f]
for f in frequencies_of_interest:
idx = np.argmin(np.abs(frequencies - f))
print(f"频率 {f} Hz 的功率密度: {psd_motor[idx]}")3.4 通信系统设计
构建现代通信系统的工程过程是依靠信号处理技术来实现其性能的提升与改进。时域分析与频域分析各自在通信系统设计过程中发挥着关键作用。
3.4.1 时域通信系统设计
时域通信系统设计基于对信号波形特性的深入分析与研究以实现传输性能与接收灵敏度的最佳平衡。例如，在一个数字通信系统的基带信号中 通过观察和分析基带信号的波形特性 可以合理配置系统参数以提高整体通信质量。
# 生成数字通信系统的基带信号
bit_rate = 10 # 比特率 (bps)
duration = 1 # 信号持续时间 (秒)
t_bits = np.linspace(0, duration, int(bit_rate * duration), endpoint=False)
bits = np.random.randint(0, 2, len(t_bits)) * 2 - 1 # 生成随机比特序列 (1或-1)
t_signal = np.linspace(0, duration, int(1000 * duration)) # 生成高分辨率时间向量
signal = np.interp(t_signal, t_bits, bits) # 信号插值
# 绘制基带信号
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t_signal, signal)
plt.title('数字通信系统的基带信号')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid(True)
plt.show()3.4.2 频域通信系统设计
频率通信系统的设计可以通过研究信号频谱特征来提升传输与接收的质量。例如，在一个已调制后的信号中进行频谱分析可以帮助优化调制参数以提高系统的性能表现
# 生成调制信号
carrier_frequency = 50 # 载波频率 (Hz)
modulated_signal = signal * np.sin(2 * np.pi * carrier_frequency * t_signal)
# 计算PSD
frequencies, psd_modulated = periodogram(modulated_signal, fs=1000)
# 绘制PSD图
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(frequencies, psd_modulated)
plt.title('调制信号的功率谱密度 (PSD)')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('功率密度')
plt.grid(True)
plt.show()3.5 总结
在 signal 处理领域中, time 和 frequency 域分析被视为两个核心概念,它们分别从不同角度提供了对 signal 的理解与 analysis 的途径.时间 domain 分析能够呈现 signal 的时间序列特征及其变化规律,而 frequency domain 分析则有助于揭示 signal 在不同频率上的能量分布情况.综合运用这两种方法有助于更加全面地提取并解析出 signal 的关键特性,从而在各种应用中实现更为高效与精确的 signal 处理
无论是在信号检测领域还是在信号分类与故障诊断领域，在通信系统设计过程中均被视为不可或缺的工具。在实际应用中选择合适的分析方法与工具将显著提升了系统的性能与可靠性。希望通过本节内容的学习与研究，读者能够更加深入地掌握时域与频域分析技术的应用方法。