金融工程学（九）：期权回报与价格分析

文章目录

• 期权收益及其定价特征

• 选项收益的分布特征及其影响因素

• 影响定价的关键因素

• • 固有价值及其构成
  • • 固有价值

• 实值、平价及虚值期权的特点分析

• 选项的时间价值分析

• 影响期权价格的因素

  • 假设
  • 选项的价格波动范围
    • 最大限制

• 最小限制

• 前提下进行标的物允许提前行权的合理性和必要性分析

  • • 在标的物为零回报assets的情况下,对应的权利金为call option,其理论上存在一定的合理性和价值

• 在标的物为zero return assets时,对应的权利金为put option,其理论上存在一定的合理性和价值

• 在标的物为returning assets时,对应的权利金为call option,其理论上存在一定的合理性和价值

• 在标的物为returning assets时,对应的权利金为put option,其理论上存在一定的合理性和价值

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  * 期权价格曲线形状
  * * 看涨期权价格曲线

  • 看跌期权价格曲线

• 平价下看涨与看跌期权之间的关系

  • • 基于无收益标的资产的标准欧式衍生品选项

• 包含收益标的资产的标准欧式衍生品选项

• 美式标准欧式衍生品选项

期权回报与价格分析

期权的回报与盈亏分布

回报未考虑期权费，盈亏考虑了期权费对交易双方最终收益状况的影响。

期权价格的特性

内在价值与时间价值

内在价值

期权价格（价值）=内在价值+时间价值

期权的内在价值（Intrinsic Value） ，是指如果立即执行期权时期权的价值，与0的较大值，是多方可能行使期权时所获回报最大贴现值的较大值。

S=F(t,T)\times e^{-r(T-t)}=F(t,\tau)\times e^{-r_{\tau}(\tau-t)}

其中，在期权有效期内将标的资产所获得的现金收益折现至当前时间点的是变量I。而\tau则代表当一方选择行使期权的时间点，在欧式期权中该选择只能在到期日做出，并由此得出结论：此时的时间点等于到期时间T即\tau=T

实值期权、平价期权与虚值期权

平价期权：At-the-money option

实值期权：In-the-money option

虚值期权：Out-of-the-money option

平值点，就是使得期权内在价值由正值变化到0的标的资产价格的临界点。

其在值程度：例如以欧式期权为例，则其在值程度定义为\ln\frac{X}{F(t,T)}；该取值范围是(-\infty, +\infty)。零价期权的其在值程度则被定义为零

期权的时间价值

其他条件相同时，距离期权到期时间越长，期权时间价值越大。

在其他因素保持不变的情况下，标的资产价格变动幅度越大，则期权的时间价值也会越高。通常以标的资产价格的波动率来衡量或表示其价格的变化程度。

期权价格取决于其内在价值的影响，在期权处于平值点时时间价值达到最大，并随着行权价与当前股价差距以及股价波动幅度的增加而减少。

期权价格的影响因素

标的资产的价格与其行权价格之间的关系 ：看涨期权在行使时所能获得的利润等于标的资产当时的市场价与行权价之差；由此可知，在其他条件不变的情况下，当标的资产的价格上涨或行权价下跌时，其看涨期权的价值随之提高；同样地，在其他条件不变的情况下，在其他因素不变时，在其他情况下，在其他情况下（即一般情况下），当标的资产的价格下跌或行权价上涨时，则其看跌期权的价值会相应提高。

期权的期限：对于美式看涨期权而言，在其有效期限内可以随时行使是其核心特征之一；当有效期限越长时，则看涨多头方获得盈利机会的可能性也越大；因此当有效期限延长时，则相应的看涨权利金价格也会随之提升；而对于欧股式看涨权利金而言，在到期日之前是否能够行使权利金则取决于标的资产价格是否能超越规定的行权价格水平；如果标的资产到期日的价格高于设定的行权价格值，则该欧股式权利金将涵盖相应行权价格值的欧股式权利金；反之则无法涵盖

标的资产价格波动性：标的资产价格波动性是用来评估标的资产未来预期价格变动程度的具体指标。不论是看涨期权还是看跌期权，在其他条件相同的情况下，在线时间价值以及整个期权的价格都会随着标的资产价格波动性的升高而增加，在线时间价值以及整个期权的价格也会随之减少。

历史波动率、隐含波动率

对于无风险利率而言，在其数值提升时其预期收益率也随之提高。具体来说，在当前特定市价S的基础上对应的未来预期价格E(S_T)也会相应提升。然而较高贴现率不仅会导致未来预期收益的现值降低得更加显著而且还会减少当前期初投资成本的价值影响。这些因素共同作用的结果是降低了看跌期权的价值。相比之下，在看涨期权的情况下较高的无风险利率将导致其价值上升而较低的贴现率则会使其价值下降。其中前者的影响程度高于后者因此随着无风险利率水平的提高相应的看涨期权价格也会持续增长。”

标的资产的收益 ：在期权有效期内标的资产产生现金收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。

假设

1. 无交易费用
2. 各笔交易的盈利（扣除交易损失后）适用相同的税率
3. 投资者可依照无风险利率借入及借贷资金

期权价格的上下限

期权价格的上限

行权价的上界：无论何种情况下，非股息股票对应的欧式看涨期权价值均不会超越标的资产当前市场价格。当考虑分红时，在这种情况下带有分红权证的欧式行权价为S−I的欧式看涨期权其行权价的上界即为标的资产价格S；而对于美式看涨期权而言，则其行权价的上界即为标的资产价格S。因此可得C≤S以及c≤S−I。

美式期权的价格至少与欧式期权价格相等：C\geq c,P\geq p。

看跌期权价格的上限：P\leq X,p\leq Xe^{-r(T-t)}

期权价格的下限

欧式看涨期权价格的下限：

无收益资产欧式看涨期权价格的下限：考虑如下两个组合：

组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 Xe^{-r(T-t)} 的现金。

组合B：一单位标的资产。

在T时刻以无风险利率投资现金后会变为X（即相当于行权价格）。那么在什么情况下应该执行买入看涨期权呢？如果在T时刻资产价格S_T超过行权价格X时（即当S_T > X时），则应该执行买入看涨期权；否则不持有该组合（即当S_T ≤ X时不持有）。而到T时刻为止持有该组合的价值则可表示如下：

有收益资产欧式看涨期权价格的下限：考虑如下两个组合：

组合A：持有这份欧式看涨期权，并伴随其金额等于 I+Xe^{-r(T-t)} 的现金；其中I代表该期权有效期内资产收益的现值。

组合B：一单位标的资产。

有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
c\geq\max[S-I-Xe^{-r(T-t)},0]

欧式看跌期权价格的下限：

无收益资产欧式看跌期权价格的下限：考虑如下两个组合：

组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产。

组合D：金额为 Xe^{-r(T-t)} 的现金。

在时间点T时，则会根据市场情况决定是否执行看跌期权交易。当时间点T时，则会根据市场情况决定是否执行看跌期权交易。如果股票价格在时间点T时低于K，则看涨期权失效；如果股票价格在时间点T时高于或等于K，则该合约自动失效；其价值等于K。因为没有成本的资产，在到期时其价值不会低于K。因此该价必不低于K。从而得到一个下限公式：P + S ≥ K e^{-r(T−t)}；即P ≥ K e^{-r(T−t)} − S。由于没有成本的资产欧式看涨期权的价格不可能是负值，则该式子必须满足：P ≥ max[K e^{-r(T−t)} − S, 0]

有收益资产欧式看跌期权价格的下限：
p\geq\max[Xe^{-r(T-t)}-(S-I),0]
I 为期权有效期内资产收益的现值。

提前执行美式期权的合理性

提前执行无收益资产美式看涨期权

提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智 的。

考虑如下两个组合：

组合A：一份美式看涨期权加上金额为 Xe^{-r(T-t)} 的现金。

组合B：一单位标的资产。

延迟至时刻T时的组合A价值为\max(S_T,X)；其价值必然不低于S_T。

在 τ 时间点选择行使看涨期权：组合A的价值等于 S_τ 减去 X 再加上 X 乘以 e 的负 r' 次方乘以 (T-τ) 次幂；而选项 B 的价值则仅为 S_τ 。因为 T 大于 τ 并且利率 r' 为正值，则 X 乘以这个指数项必然小于 X 。如果选择行使看涨期权，则选项 A 的总价值将低于选项 B 。

无收益资产美式看涨期权其最低限度为等于等于C\geq\max(S-Xe^{-r(T-t)},0)。

1. 不产生收益。
2. 其与其货币的时间价值相关联，在这种情况下最佳执行时机应尽量延迟。
3. 与其说它提供了一种保险...不如说...其实在期权机制中...保证持有者的股票最低售价不低于执行价格。

此外，请证上述期权定价公式的另一种推导过程如下：
首先有c \geq S_{t} - Ke^{-r(T-t)}及C \geq c，
因此可得C \geq S_{t} - Ke^{-r(T-t)}，
进一步得出C > S_{t} - K。
若立即行权时，则有C = S_{t} - K，
由此可见，在这种情形下立即行权并非最佳选择，
因此最优策略应避免立即行权

提前执行无收益资产美式看跌期权

考虑如下两个组合：

组合A：一份美式看涨期权加上一单位标的资产。

组合B：金额为 Xe^{-r(T-t)} 的现金。

延迟执行 ：于时间点T时，资产A的收益为\max(S_T,X) ，而资产B的收益则固定为X 。在此情况下 ，资产A的收益至少不低于资产B 。

在时间点\tau时提前执行的情况下：其价值分别为：组合A为 X, 而组合B的价值计算公式则为 Xe^{-r'(T - \tau)}. 基于前提条件：当前时间点 \tau早于最终期限 T, 并且风险调整因子r'保持正值, 我们能够推导出结论: 在上述条件下, 组合A的价值必然高于组合B

是否提前执行不受红利收益的美式看跌期权，则主要受其内在价值 (X-S) 以及无风险利率高低等要素的影响？通常情况下而言，则只有在标的资产价格 S 相对于行权价 X 来说处于低于特定阈值水平或者市场利率 r 较高的情形下，在这种情形下选择执行该类期权才可能带来优势。

由于无收益资产的美式看跌期权有可能提前行权，则其价格下限则为：
P\geq\max(X-S,0)

提前执行有收益资产美式看涨期权

在有利情况下，在除权当期瞬间提前行权 Vanilla call option 的可能性存在；因此我们需要分析每个除权日当期瞬间提前行权的可能性

如果在最后一个除权日 t_n 时选择行权，则期权多方可获 S_n - X 的收益。若未行权，则标的资产价格因除权降至 S_n - D_n。考虑到在 t_n 时美式期权的价值应满足：
C_n \geq c_n \geq \max[S_{n} - D_{n} - X e^{-r(T-t_{n})}, 0]
因此，在以下条件下选择在 t_{n} 行权并非理智之举：

S_{n} - D_{n} - X e^{-r(T-t_{n})} \geq S_{n} - X\\ D_{n} \leq X[1 - e^{-r(T-t_{n})}]

假设在时间点t_n时有D_n > X[1 - e^{-r(T - t_n)}] , 那么 , 在tn时刻提前行权可能是合理的 . 实际上 , 只有当tn时刻标的资产价格显著高于某个阈值时 , 提前行权才是合算的 .

同样地，在每个时间段i，在时间点t_i时无法提前行权具有收益性股票的美式看涨期权条件如下：
D_i \leq X(1 - e^{-r\Delta t})
其中\Delta t = t_{i+1} - t_i。考虑到期权的有效期内标的资产仅在\tau + 1时段支付股息，并且存在提前行权更有利的可能性，则具有收益性股票的美式看涨期权价格下限计算如下：

C \geq \max[S - X e^{-r_\tau(\tau - t)}, S - I - X e^{-r(T - t)}, 0]

提前执行有收益资产美式看跌期权

由于提前执行有收益资产的美式看跌期权会导致放弃其潜在收益权，在这种情况下与无收益资产的美式看跌期权相比，在同样的权利期限内存在较高的行权价值时（即具有较高的内在价值），有收益资产美式看跌期权提前行权的可能性虽有所降低但仍然无法完全排除这一可能性

因此其下限为：
P\geq\max[X-S,Xe^{-r_\tau(\tau-t)}-(S-I),0]
结论：

1. 从效率角度来看，在多数情况下提前行权未获利的美式看涨期权并非最佳策略。
2. 作为可能的操作，在其市场深度显著超过内在价值时，投资者可以考虑提前行权的美式看跌期权。
3. 具有正向内在价值的美式看涨期权通常会在分红前迅速被行权。

期权价格曲线形状

看涨期权价格曲线

非收益资产类别：非行权价看涨期权的最大理论价格是 S；其最小值则由 \max[S-Xe^{-r(T-t)}, 0] 给出；即其内在价值水平；当其内在价值归零时，则该期权的价值完全由时间因素决定；特别地，在标的资产价格 S=0 时有行权价为零的看涨期权其理论价格也为零。

此外，在以下情况下：当r值增加时、期权期限延长以及标的资产价格波动率提高，则期权价格曲线将围绕着点O展开，并向左上方延伸。尽管整体形状保持不变（即与原始曲线相比），但其变动幅度受到严格限制

有收益资产欧式：类似，只是上限变为 S-I，平值点换成了 Xe^{-r(T-t)}+I；

有收益资产美式：平值点为 \max[Xe^{-r_\tau(\tau-t)},Xe^{-r(T-t)}+I]。

看跌期权价格曲线

以下是对原文的同义改写

此外，在这个过程中中，在其他条件不变的情况下（如r值较低、期权的有效期延长以及标的资产价格波动程度增大），期权价格曲线会以(0,Xe^{-r(T-t)})点为中心向右上方移动的趋势逐渐增强。

有收益资产欧式：类似，只是上限变为 S-I，平值点换成了 Xe^{-r(T-t)}+I；

带红利美式期权的行权价及平值分别为 X 和 \max[X,Xe^{-r_\tau(\tau-t)}+I]；当期权执行前标的资产存在红利时

看跌期权与看涨期权的平价关系

无收益资产的欧式期权

考虑如下两个组合：

组合A：一份欧式看涨期权加金额为 Xe^{-r(T-t)} 的现金

组合B：一份行权价和标的资产价格与组合A中看涨期权相同的欧式看跌期权再加一个单位标的资产

临近到期的期权中存在两种不同的情况：其一为双方均持有标的资产；其二则一方持有另一方所持标的资产的空头头寸。这种差异源于标的资产价格波动与行权条件的不同特性

基于上述讨论可知，在标的资产价格波动较为剧烈的情况下投资者往往倾向于选择后者

当标的资产价格波动较为剧烈的情况下投资者往往倾向于选择后者

有收益资产的欧式期权

考虑如下两个组合：

组合A：一份欧式看涨期权加金额为 D+Xe^{-r(T-t)} 的现金

组合B由两个部分组成：第一部分是一份与组合A中看涨期权具有相同到期日和行权价格的欧式看跌期权；第二部分则是一单位标的资产

当期权临近到期时（临近时间可记为t），两个组合的价值均被定义为\max(S_T,X)）。考虑到欧式期权不得在到期前行使权利（即不得提前行权），因此在时刻t两者的价值必然相等，则有以下方程成立：

c + D + X e^{-r(T - t)} = p + S

对平价关系的理解如下：

可用于价格相关计算；可应用于构建回报一致的投资组合结构——复制策略；寻求套利机会的寻找

美式期权

无收益（D=0）：S_0-K\leq C-P\leq S_0-Ke^{-rt}

有收益（D>0）：S_0-D-K\leq C-P\leq S_0-Ke^{-rt}