函数的凹凸区间怎么求_数分随记（四）函数凹凸性
前了个言
关于凸函数性质的汇总，证明并没有给出。
定了个义
定义1 设
在区间
上有定义，
在
上称为
凸函数 ，iff
有
把
严格~ 了。对于 凹函数 ，与凸函数概念在不等式符号上对偶，所以不加赘述。
定义2
是区间
上凸函数（f有定义省略，下同），iff
，有
还有类似的定义
定义3
是区间
上凸函数，iff
，有
此外，从几何上来描述
定义4
是区间
上凸函数，iff 曲线
的切线恒保持在曲线一下，则称
为凸函数。严格凸可类似推广。
以上就是常见定义~
在念叨念叨性质~
关于以上定义的性：
- 性质 1 ：定义2 与定义3 等价。
- 性质 2 ：在连续条件下，定义1，2，3 相互等价。
从几何角度 来看，有如下性质：假设
，
，
围成的有向面积为
总结上述结论，能够推出如下关于斜率上的推论。（以下考虑凸函数）。
推论1
推论2
，弦斜率
是增的。
推论3 由
，可以有
推论4 任意点的单侧导必然存在,
和
,皆为增函数，且
推论5 在任意内点上连续。
但是要注意，推论4，5 对端点值不完全成立。
另一个等价定义
定义5 凸函数充要条件，
，
，使得
有
通过上面的推论4 就能够做到互推。
推论6
可导时，则凸的充要条件为
推论7（分离性定理） 若为凸函数，则可在
作一条直线，位于
下方，
所以，当导数存在时，可以给出这样的定义：
定义6
单增。
推论8
至此，回顾定义2，3 ，它们便可以推广为如下形式:
，
，有
不全为0，
，有
与一致连续的关系
现在给出几个命题（网上都可以查到相应证明，我先不给证明了~）
命题1 设函数
在区间
为凸函数，则
在
的任一闭子空间上有界。
这说明，给出函数凹凸性就能找到有界性。
命题2 设
为区间
内的凸函数，则
在
的任一内闭区间
满足Lipschitz条件。
也就是说，有凹凸性就有Lipschitz条件满足，也就是说，能够得到一致连续。于是乎，便可以有 Cauchy列映射到Cauchy列的子集了。其实，就是这篇文章说的东西满足了：数分随记 关于一致连续性
先写这些，等有什么新的再续。。。