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凸优化第三章凸函数 3.5对数-凹函数和对数-凸函数

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3.5对数-凹函数和对数-凸函数

  1. 定义
  2. 相关性质

定义

称函数f:R^nightarrow R对数凹，如果orall xn dom,f>0,log是凹函数。

称函数f:R^nightarrow R对数凸，如果orall xn dom,f>0,log是凸函数。

函数f是对数凸的当且仅当1/f是对数凹的。

当xists xn dom,f=0时，log=-nfty，相当于对log(f)进行扩展值延伸，此时，如果扩展值函数log(f)是凹函数，则f是对数凹的。

函数f:R^nightarrow R，其定义域时凸集，且\forall x\in dom(f),f(x)>0，函数是对数凹的当且仅当orall x,yn dom,orall heta n,fx_2eq f^heta f^{}

特别的，当heta =1/2时，上式
fx_2eq f^{1/2} f^{1/2}

即对数凹函数在两点之间中间的函数值不小于这两点的函数值的几何平均值。

因为h是凸函数，则e^h也是凸函数，所以对数凸函数也是凸函数，类似地，非负凹函数是对数凹函数。

由于对数函数是单调递增的，所以对数凸函数也是拟凸函数，对数凹函数是拟凹函数。

相关性质

二次可微的对数凸、凹函数

设函数f二次可微，其中dom(f)是凸集，log(f(x))
igtriangledown log=rac{igtriangledown f}{f}
igtriangledown ^2log=rac{igtriangledown ^2f}{f}-rac{igtriangledown figtriangledown^T f}{f^2}

函数f是对数凸函数，当且仅当figtriangledown ^2fucceq igtriangledown figtriangledown ^Tf

乘积、和以及积分运算

  1. 对数凸性以及对数凹性对乘积以及正的伸缩运算是封闭的，即对数凸函数的乘积，或a> 0时的af(x)仍为对数凸函数。
  2. 对数凹函数的和不一定是对数凹函数。
  3. 对数凸函数的和是对数凸函数。
  4. orall y n C,f是x的对数凸函数，则函数g=nt_{C}fdy是对数凸函数。

对数凹函数的积分

特殊情况下对数凹函数的性质在积分后仍然保留。

如果f:R^nimes R^mn o R是对数凹函数，则g=nt fdy在R^n上是x的对数凹函数。

对数凹函数的性质对卷积运算是封闭的。如果函数f和g在R^n上是对数凹的，则他们的卷积
=nt fgdy仍然是对数凹函数。

设Cubseteq R^n是凸集，w是R^n上的随机变量，设其具有对数凹的概率密度函数p，则函数
f=prob，表示x受随机变量w的影响后还属于C集合的概率，函数f(x)是对数凹函数。

证明：

将f表述为f=nt gpdw,
g=eftegin{matrix} 1&un C 0& uotin C nd{matrix}ight.

根据对数凹函数的条件：orall x,yn dom,orall heta n,fx_2eq f^heta f^{}

可知g(u)是对数凹函数，故根据对数凹函数的积分仍是对数凹函数这一性质，可知f(x)是对数凹函数。

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