材料力学仿真软件：SAMCEF_（2）.材料力学基础
材料力学基础
应力和应变
在材料力学仿真软件中，应力和应变为两个关键概念。这两个概念分别代表了材料内部产生的内力分布情况以及在外力作用下发生的变形程度，在仿真分析中对结果具有重要意义。
应力的基本概念
应 strained state是物理学中用于表征材料内部所受力性质及其分布情况的一个重要参数，在SI单位体系中以pascals作为其基本计量单位，在工程实践中通常写作1 Pa = 1 N/m²；根据作用方向的不同特性划分可分为垂直于截面方向上的 normal stress 和沿着截面切开时产生的 shear stress两大类。
正应力 ：作用在材料截面的法线方向上的应力，用符号 \sigma表示。
剪应力 ：作用在材料截面的切线方向上的应力，用符号 \tau表示。
应变的基本概念
应变量（Strain）是一个用于描述材料形状或尺寸变化程度的关键物理量。在材料科学中，通常会将这种变量区分为线变量（Linear Strain）和剪变量（Shear Strain）。
线应变 ：沿某一方向的长度变化与原长度的比例，用符号 \epsilon表示。
剪应变 ：材料在剪切力作用下，两相邻面的夹角变化，用符号 \gamma表示。
应力和应变的关系
研究应力与应变之间关系的基础是胡克定律（Hooke’s Law）。该定律表明在弹性限度内，则应力与线成正比关系。其比例系数被称为材料的弹性模量（Elastic Modulus），通常用符号 E 表示。在线应变情况下，则胡克定律可表示为：
\sigma = E \epsilon
对于剪应变，胡克定律可以表示为：
\tau = G \gamma
其中，G是材料的剪切模量（Shear Modulus）。
三维应力和应变
在三维空间内，应力与应变各自由应力张量（Stress Tensor）和应变张量（Strain Tensor）来进行描述。 应力张量 \boldsymbol{\sigma}与应变张量 \boldsymbol{\epsilon}的具体表示形式如下：
该矩阵展示了各个分量之间的关系
\boldsymbol{\epsilon}等于一个矩阵，在其对角线元素位置分别放置\epsilon_{xx}、\epsilon_{yy}和\epsilon_{zz}；而非对角线位置则依次放置\gamma_{xy}/2、\gamma_{xz}/2以及\gamma_{zx}/2等值
代码示例：计算线应变
假设有某段材料 其原始长度值为 L_0 在外力作用下其长度变为 L 为了计算线应变率 我们通常采用以下公式
# 计算线应变的示例代码
def calculate_linear_strain(L0, L):
"""
计算线应变
参数:
L0 (float): 材料的原长度
L (float): 材料在外力作用下的长度
返回:
float: 线应变
"""
return (L - L0) / L0
# 示例数据
L0 = 100.0 # 原长度 (mm)
L = 105.0 # 外力作用后的长度 (mm)
# 计算线应变
linear_strain = calculate_linear_strain(L0, L)
print(f"线应变: {linear_strain:.4f}")代码示例：计算正应力
假设我们有一个材料截面面积为 A 受到外力 F 的作用通过以下代码 snippet 可以计算得到正应力值：
# 计算正应力的示例代码
def calculate_normal_stress(F, A):
"""
计算正应力
参数:
F (float): 作用在材料截面上的外力 (N)
A (float): 材料截面的面积 (m²)
返回:
float: 正应力 (Pa)
"""
return F / A
# 示例数据
F = 1000.0 # 外力 (N)
A = 0.01 # 截面面积 (m²)
# 计算正应力
normal_stress = calculate_normal_stress(F, A)
print(f"正应力: {normal_stress:.4f} Pa")代码示例：计算胡克定律下的应力
如果研究人员已经掌握了材料的弹性模量 E以及线应变 \epsilon的数据，则可通过如下代码来计算相应的应力值。
# 计算胡克定律下的应力
def calculate_stress_from_hooke_law(E, epsilon):
"""
根据胡克定律计算应力
参数:
E (float): 材料的弹性模量 (Pa)
epsilon (float): 线应变
返回:
float: 应力 (Pa)
"""
return E * epsilon
# 示例数据
E = 200e9 # 弹性模量 (Pa)
epsilon = 0.005 # 线应变
# 计算应力
stress = calculate_stress_from_hooke_law(E, epsilon)
print(f"应力: {stress:.4f} Pa")代码示例：计算三维应力张量
当给定材料在笛卡尔坐标系的三个方向上的法向与切向应力时，则可以通过编写以下代码来设置三维的应变张量。
# 计算三维应力张量
def create_3d_stress_tensor(sigma_xx, sigma_yy, sigma_zz, tau_xy, tau_yz, tau_zx):
"""
创建三维应力张量
参数:
sigma_xx (float): x方向的正应力 (Pa)
sigma_yy (float): y方向的正应力 (Pa)
sigma_zz (float): z方向的正应力 (Pa)
tau_xy (float): xy平面的剪应力 (Pa)
tau_yz (float): yz平面的剪应力 (Pa)
tau_zx (float): zx平面的剪应力 (Pa)
返回:
numpy.ndarray: 三维应力张量
"""
import numpy as np
stress_tensor = np.array([
[sigma_xx, tau_xy, tau_zx],
[tau_xy, sigma_yy, tau_yz],
[tau_zx, tau_yz, sigma_zz]
])
return stress_tensor
# 示例数据
sigma_xx = 100e6 # x方向的正应力 (Pa)
sigma_yy = 200e6 # y方向的正应力 (Pa)
sigma_zz = 150e6 # z方向的正应力 (Pa)
tau_xy = 50e6 # xy平面的剪应力 (Pa)
tau_yz = 30e6 # yz平面的剪应力 (Pa)
tau_zx = 40e6 # zx平面的剪应力 (Pa)
# 创建三维应力张量
stress_tensor = create_3d_stress_tensor(sigma_xx, sigma_yy, sigma_zz, tau_xy, tau_yz, tau_zx)
print(f"三维应力张量:\n{stress_tensor}")代码示例：计算三维应变张量
在材料研究中，若已知空间的应变分量，则可通过以下数学表达式建立三维应变张量。
# 计算三维应变张量
def create_3d_strain_tensor(epsilon_xx, epsilon_yy, epsilon_zz, gamma_xy, gamma_yz, gamma_zx):
"""
创建三维应变张量
参数:
epsilon_xx (float): x方向的线应变
epsilon_yy (float): y方向的线应变
epsilon_zz (float): z方向的线应变
gamma_xy (float): xy平面的剪应变
gamma_yz (float): yz平面的剪应变
gamma_zx (float): zx平面的剪应变
返回:
numpy.ndarray: 三维应变张量
"""
import numpy as np
strain_tensor = np.array([
[epsilon_xx, gamma_xy / 2, gamma_zx / 2],
[gamma_xy / 2, epsilon_yy, gamma_yz / 2],
[gamma_zx / 2, gamma_yz / 2, epsilon_zz]
])
return strain_tensor
# 示例数据
epsilon_xx = 0.003 # x方向的线应变
epsilon_yy = 0.004 # y方向的线应变
epsilon_zz = 0.005 # z方向的线应变
gamma_xy = 0.002 # xy平面的剪应变
gamma_yz = 0.001 # yz平面的剪应变
gamma_zx = 0.003 # zx平面的剪应变
# 创建三维应变张量
strain_tensor = create_3d_strain_tensor(epsilon_xx, epsilon_yy, epsilon_zz, gamma_xy, gamma_yz, gamma_zx)
print(f"三维应变张量:\n{strain_tensor}")代码示例：计算三维应力-应变关系
如果已知物质的弹性模量 E 和泊松比参数 \nu ，可以通过以下数学模型或算法建立并求解三维应力-应变方程组。
# 计算三维应力-应变关系
def calculate_3d_stress_strain_relation(E, nu, strain_tensor):
"""
计算三维应力-应变关系
参数:
E (float): 材料的弹性模量 (Pa)
nu (float): 泊松比
strain_tensor (numpy.ndarray): 三维应变张量
返回:
numpy.ndarray: 三维应力张量 (Pa)
"""
import numpy as np
# 定义弹性模量矩阵
elastic_modulus_matrix = E / (1 + nu) * np.array([
[1 - nu, nu, nu, 0, 0, 0],
[nu, 1 - nu, nu, 0, 0, 0],
[nu, nu, 1 - nu, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, (1 - 2 * nu) / 2, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, (1 - 2 * nu) / 2, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, (1 - 2 * nu) / 2]
])
# 将应变张量转换为向量形式
strain_vector = np.array([
strain_tensor[0, 0],
strain_tensor[1, 1],
strain_tensor[2, 2],
2 * strain_tensor[1, 2],
2 * strain_tensor[0, 2],
2 * strain_tensor[0, 1]
])
# 计算应力向量
stress_vector = np.dot(elastic_modulus_matrix, strain_vector)
# 将应力向量转换为张量形式
stress_tensor = np.array([
[stress_vector[0], stress_vector[5] / 2, stress_vector[4] / 2],
[stress_vector[5] / 2, stress_vector[1], stress_vector[3] / 2],
[stress_vector[4] / 2, stress_vector[3] / 2, stress_vector[2]]
])
return stress_tensor
# 示例数据
E = 200e9 # 弹性模量 (Pa)
nu = 0.3 # 泊松比
strain_tensor = np.array([
[0.003, 0.001, 0.002],
[0.001, 0.004, 0.001],
[0.002, 0.001, 0.005]
])
# 计算三维应力-应变关系
stress_tensor = calculate_3d_stress_strain_relation(E, nu, strain_tensor)
print(f"三维应力张量:\n{stress_tensor}")代码示例：计算二维应力-应变关系
基于我们对工程材料的弹性模量 E 和泊松比 \nu 的了解, 我们可以借助如下的计算程序来计算二维应力-应变关系.
# 计算二维应力-应变关系
def calculate_2d_stress_strain_relation(E, nu, strain_tensor):
"""
计算二维应力-应变关系
参数:
E (float): 材料的弹性模量 (Pa)
nu (float): 泊松比
strain_tensor (numpy.ndarray): 二维应变张量
返回:
numpy.ndarray: 二维应力张量 (Pa)
"""
import numpy as np
# 定义弹性模量矩阵
elastic_modulus_matrix = E / (1 - nu**2) * np.array([
[1, nu, 0],
[nu, 1, 0],
[0, 0, (1 - nu) / 2]
])
# 将应变张量转换为向量形式
strain_vector = np.array([
strain_tensor[0, 0],
strain_tensor[1, 1],
2 * strain_tensor[0, 1]
])
# 计算应力向量
stress_vector = np.dot(elastic_modulus_matrix, strain_vector)
# 将应力向量转换为张量形式
stress_tensor = np.array([
[stress_vector[0], stress_vector[2] / 2],
[stress_vector[2] / 2, stress_vector[1]]
])
return stress_tensor
# 示例数据
E = 200e9 # 弹性模量 (Pa)
nu = 0.3 # 泊松比
strain_tensor = np.array([
[0.003, 0.001],
[0.001, 0.004]
])
# 计算二维应力-应变关系
stress_tensor = calculate_2d_stress_strain_relation(E, nu, strain_tensor)
print(f"二维应力张量:\n{stress_tensor}")代码示例：计算材料的弹性模量
基于给定的材料杨氏模量 E和泊松比 \nu ，可以通过如下代码计算材料的弹性模量矩阵：
# 计算材料的弹性模量矩阵
def calculate_elastic_modulus_matrix(E, nu):
"""
计算材料的弹性模量矩阵
参数:
E (float): 材料的杨氏模量 (Pa)
nu (float): 泊松比
返回:
numpy.ndarray: 弹性模量矩阵
"""
import numpy as np
# 定义弹性模量矩阵
elastic_modulus_matrix = E / (1 - nu**2) * np.array([
[1, nu, 0],
[nu, 1, 0],
[0, 0, (1 - nu) / 2]
])
return elastic_modulus_matrix
# 示例数据
E = 200e9 # 杨氏模量 (Pa)
nu = 0.3 # 泊松比
# 计算弹性模量矩阵
elastic_modulus_matrix = calculate_elastic_modulus_matrix(E, nu)
print(f"弹性模量矩阵:\n{elastic_modulus_matrix}")代码示例：计算材料的泊松比
基于已知物质在各向异性条件下各方向的线应变速率与正应力场,可用以下数学模型推导出的数值结果直接计算得到泊松比.
# 计算泊松比
def calculate_poisson_ratio(sigma_xx, sigma_yy, epsilon_xx, epsilon_yy):
"""
计算泊松比
参数:
sigma_xx (float): x方向的正应力 (Pa)
sigma_yy (float): y方向的正应力 (Pa)
epsilon_xx (float): x方向的线应变
epsilon_yy (float): y方向的线应变
返回:
float: 泊松比
"""
return -epsilon_yy / epsilon_xx
# 示例数据
sigma_xx = 100e6 # x方向的正应力 (Pa)
sigma_yy = 50e6 # y方向的正应力 (Pa)
epsilon_xx = 0.003 # x方向的线应变
epsilon_yy = -0.001 # y方向的线应变
# 计算泊松比
poisson_ratio = calculate_poisson_ratio(sigma_xx, sigma_yy, epsilon_xx, epsilon_yy)
print(f"泊松比: {poisson_ratio:.4f}")代码示例：计算材料的剪切模量
已知材料的弹性系数E及其泊松比ν。通过以下代码能够计算出剪切模量G。剪切模量G是衡量材料抵抗剪切变形能力的关键指标。其计算公式为：
G = \frac{E}{2(1 + \nu)}
# 计算剪切模量
def calculate_shear_modulus(E, nu):
"""
计算剪切模量
参数:
E (float): 材料的弹性模量 (Pa)
nu (float): 泊松比
返回:
float: 剪切模量 (Pa)
"""
return E / (2 * (1 + nu))
# 示例数据
E = 200e9 # 弹性模量 (Pa)
nu = 0.3 # 泊松比
# 计算剪切模量
shear_modulus = calculate_shear_modulus(E, nu)
print(f"剪切模量: {shear_modulus:.4f} Pa")代码示例：计算材料的体积模量
体积模量 K是材料抵抗体积变化的能力，其计算公式为：
K = \frac{E}{3(1 - 2\nu)}
# 计算体积模量
def calculate_bulk_modulus(E, nu):
"""
计算体积模量
参数:
E (float): 材料的弹性模量 (Pa)
nu (float): 泊松比
返回:
float: 体积模量 (Pa)
"""
return E / (3 * (1 - 2 * nu))
# 示例数据
E = 200e9 # 弹性模量 (Pa)
nu = 0.3 # 泊松比
# 计算体积模量
bulk_modulus = calculate_bulk_modulus(E, nu)
print(f"体积模量: {bulk_modulus:.4f} Pa")代码示例：计算材料的主应力和主应变
在材料力学领域中是关键性的概念，在这一学科中研究者们关注着材料在不同方向上所能承受的最大与最小应力以及相应的变化情况。这些指标各自代表了材料在不同方向上所经历的最大与最小应力以及应变。通过计算应力张量与应变张量的特征值能够确定这些指标。
# 计算材料的主应力
def calculate_principal_stresses(stress_tensor):
"""
计算材料的主应力
参数:
stress_tensor (numpy.ndarray): 三维应力张量
返回:
numpy.ndarray: 主应力
"""
import numpy as np
# 求解应力张量的特征值
principal_stresses = np.linalg.eigvals(stress_tensor)
return np.sort(principal_stresses)[::-1] # 按降序排列
# 示例数据
stress_tensor = np.array([
[100e6, 50e6, 40e6],
[50e6, 200e6, 30e6],
[40e6, 30e6, 150e6]
])
# 计算主应力
principal_stresses = calculate_principal_stresses(stress_tensor)
print(f"主应力: {principal_stresses} Pa")
# 计算材料的主应变
def calculate_principal_strains(strain_tensor):
"""
计算材料的主应变
参数:
strain_tensor (numpy.ndarray): 三维应变张量
返回:
numpy.ndarray: 主应变
"""
import numpy as np
# 求解应变张量的特征值
principal_strains = np.linalg.eigvals(strain_tensor)
return np.sort(principal_strains)[::-1] # 按降序排列
# 示例数据
strain_tensor = np.array([
[0.003, 0.001, 0.002],
[0.001, 0.004, 0.001],
[0.002, 0.001, 0.005]
])
# 计算主应变
principal_strains = calculate_principal_strains(strain_tensor)
print(f"主应变: {principal_strains}")代码示例：计算材料的等效应力
等效应力（Von Mises Stress）是工程力学领域中一种重要的强度指标之一，在评估材料力学性能时具有重要应用价值
\text{vm}_{\text{σ}} = \sqrt{\frac{[(σ_{{xx}}−σ_{{yy}})²+ (σ_{{yy}}−σ_{{zz}})²+ (σ_{{zz}}−σ_{{xx}})²] + 6[τ_{{xy}}²+ τ_{{yz}}²+ τ_{{zx}}}^{2}]}{2}\right}
# 计算材料的等效应力
def calculate_von_mises_stress(stress_tensor):
"""
计算材料的等效应力
参数:
stress_tensor (numpy.ndarray): 三维应力张量
返回:
float: 等效应力 (Pa)
"""
import numpy as np
# 提取应力张量的各个分量
sigma_xx = stress_tensor[0, 0]
sigma_yy = stress_tensor[1, 1]
sigma_zz = stress_tensor[2, 2]
tau_xy = stress_tensor[0, 1]
tau_yz = stress_tensor[1, 2]
tau_zx = stress_tensor[0, 2]
# 计算等效应力
von_mises_stress = np.sqrt(
(sigma_xx - sigma_yy)**2 + (sigma_yy - sigma_zz)**2 + (sigma_zz - sigma_xx)**2 +
6 * (tau_xy**2 + tau_yz**2 + tau_zx**2)
) / 2
return von_mises_stress
# 示例数据
stress_tensor = np.array([
[100e6, 50e6, 40e6],
[50e6, 200e6, 30e6],
[40e6, 30e6, 150e6]
])
# 计算等效应力
von_mises_stress = calculate_von_mises_stress(stress_tensor)
print(f"等效应力: {von_mises_stress:.4f} Pa")代码示例：计算材料的等效应变
等效应变（von Mises Strain）是材料力学中用于描述材料整体变形程度的一个重要指标。等效应变的计算公式为：
\epsilon _{\text{vm}}等于以下计算结果：分子部分为(\varepsilon _{\text{xx}}-\varepsilon _{\text{yy}})^{\text{二乘方}}+(\varepsilon _{\text{yy}}-\varepsilon _{\text{zz}})^{\text{二乘方}}+(\varepsilon _{\text{zz}}-\varepsilon _{\text{xx}})^{\text{二乘方}}加上六倍的(\gamma _{\text{xy}}^{\text{二乘方}}+\gamma _{\text{Tzxy}}}^{\text{Tzxy}}}+γ_{{zx}}}^{Tzxy}之总和；分母为二开平方根。
# 计算材料的等效应变
def calculate_von_mises_strain(strain_tensor):
"""
计算材料的等效应变
参数:
strain_tensor (numpy.ndarray): 三维应变张量
返回:
float: 等效应变
"""
import numpy as np
# 提取应变张量的各个分量
epsilon_xx = strain_tensor[0, 0]
epsilon_yy = strain_tensor[1, 1]
epsilon_zz = strain_tensor[2, 2]
gamma_xy = 2 * strain_tensor[0, 1]
gamma_yz = 2 * strain_tensor[1, 2]
gamma_zx = 2 * strain_tensor[0, 2]
# 计算等效应变
von_mises_strain = np.sqrt(
(epsilon_xx - epsilon_yy)**2 + (epsilon_yy - epsilon_zz)**2 + (epsilon_zz - epsilon_xx)**2 +
6 * (gamma_xy**2 + gamma_yz**2 + gamma_zx**2)
) / 2
return von_mises_strain
# 示例数据
strain_tensor = np.array([
[0.003, 0.001, 0.002],
[0.001, 0.004, 0.001],
[0.002, 0.001, 0.005]
])
# 计算等效应变
von_mises_strain = calculate_von_mises_strain(strain_tensor)
print(f"等效应变: {von_mises_strain:.4f}")代码示例：计算材料的弹性极限
弹性回弹极限是指材料在受力后完全恢复至原始状态时的最大应力水平。如果已知某材料的弹性模量 E 、泊松比 \nu ，以及其屈服强度 \sigma_y ，则可通过如下代码计算该材料的弹性回弹极限：
# 计算材料的弹性极限
def calculate_elastic_limit(E, nu, sigma_y):
"""
计算材料的弹性极限
参数:
E (float): 材料的弹性模量 (Pa)
nu (float): 泊松比
sigma_y (float): 材料的屈服强度 (Pa)
返回:
float: 弹性极限 (Pa)
"""
return sigma_y / (1 + nu)
# 示例数据
E = 200e9 # 弹性模量 (Pa)
nu = 0.3 # 泊松比
sigma_y = 300e6 # 屈服强度 (Pa)
# 计算弹性极限
elastic_limit = calculate_elastic_limit(E, nu, sigma_y)
print(f"弹性极限: {elastic_limit:.4f} Pa")代码示例：计算材料的塑性应变
塑性表现为材料达到弹性极限之后所发生的无法恢复的变形；基于已知材料的弹性应变为\epsilon_e以及总应变为\epsilon_t，可以通过如下代码计算出其塑性应变。
# 计算材料的塑性应变
def calculate_plastic_strain(epsilon_t, epsilon_e):
"""
计算材料的塑性应变
参数:
epsilon_t (float): 总应变
epsilon_e (float): 弹性应变
返回:
float: 塑性应变
"""
return epsilon_t - epsilon_e
# 示例数据
epsilon_t = 0.01 # 总应变
epsilon_e = 0.005 # 弹性应变
# 计算塑性应变
plastic_strain = calculate_plastic_strain(epsilon_t, epsilon_e)
print(f"塑性应变: {plastic_strain:.4f}")代码示例：计算材料的疲劳寿命
fatigue life refers to the number of cycles a material can withstand under repeated loading. If we know the material's fatigue strength σ_f and the maximum stress σ_max applied in each load cycle, we can use the following formula to calculate the fatigue life:
# 计算材料的疲劳寿命
def calculate_fatigue_life(sigma_f, sigma_max):
"""
计算材料的疲劳寿命
参数:
sigma_f (float): 材料的疲劳强度 (Pa)
sigma_max (float): 每次加载的最大应力 (Pa)
返回:
float: 疲劳寿命（循环次数）
"""
return (sigma_f / sigma_max)**(-2.8)
# 示例数据
sigma_f = 200e6 # 疲劳强度 (Pa)
sigma_max = 150e6 # 每次加载的最大应力 (Pa)
# 计算疲劳寿命
fatigue_life = calculate_fatigue_life(sigma_f, sigma_max)
print(f"疲劳寿命: {fatigue_life:.4f} 循环次数")总结
从上述代码实例可以看出，在材料力学仿真中应力与应变扮演着至关重要的角色。这些基础性的概念与计算方法构成了分析材料在各种载荷作用下行为的基础框架。在工程实践中，则需要将这些基本计算与更为复杂的理论模型及实验数据相结合才能保证材料设计的安全性和可靠性。