论文笔记《Joint Beam Selection and Precoding for mmW MU-MIMO Relying on Lens》
笔记《Joint Design of Beam Selection and Precoding Matrices for mmWave MU-MIMO Systems Relying on Lens Antenna Arrays》
摘要
这篇文章做的什么？
为了使传输功率受限 的下行 Lens MU-MIMO mmWave 系统的和速率（sum-rate）最大化 ，本文考虑了波束选择和预编码矩阵的联合设计 。
文章解决的思路是什么？
使用加权最小均方误差 （WMMSE）方法将优化问题变得易处理。针对这一优化问题，提出了一种基于惩罚对偶分解（penalty dual decomposition，PDD）的高效联合波束选择和预编码设计算法。为了降低设计复杂度，提出了将基于干扰感知（interference-aware，IA）的波束选择方案与 WMMSE 方法相结合的简化算法。
研究背景
1. 毫米波
毫米波（mmWave）通信有望进入下一代蜂窝网，期望在 30-300 GHz 频段支持高数据速率。然而毫米波有利有弊：
- 弊 ：根据 Friss 传输定理（Friss transmission theorem），在固定的传播距离和天线增益下，mmWave 信号的自由空间路径损耗远大于厘米波。
- 利 ：显著降低的波长使 massive MIMO 成为可能，该系统可以实现较小物理尺寸内部署大量天线，同时利用预编码技术实现高阵列增益的定向通信 。
2. massive MIMO
然而在 massive MIMO 的情况下，传统的全数字预编码技术 在 RF 链和功耗方面带来了难以承受的成本。为了解决 cost-aware 的 mmWave 通信，进行了多方面研究，如：
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天线选择
天线选择技术仍需要额外的功率来补偿 RF 开关的衰减，并导致平均信噪比的降低。 -
负载控制寄生天线阵列 （load-controlled parasitic antenna arrays，LC-PAAs）
LC-PAAs 利用天线之间的相互耦合 来减少给定空间自由度所需的 RF 模块数量。但寄生天线的复杂设计 阻碍了这一技术的发展。 -
模拟/数字混合处理 (hybrid analog/digital processing)
混合模拟/数字预编码（Hybrid analog/digital precoding）已被提出作为一种有效的技术，允许在成本和性能之间进行权衡 ，通过适当地调整所需 RF 链数目。
3. 混合 模/数 预编码
在这种结构中，信号处理执行分别在两个阶段进行：
在输出维数降低的基带 上进行数字预编码 ，然后通过 RF 波段的移相器 网络进行模拟波束形成 。两个处理模块通过减少的 RF 链连接在一起，以便进行权衡。
此图链接 <>。
但是仍然存在问题，混合模拟/数字处理的一个主要限制是需要大量的移相器（phase shifters），这导致了功率预算的显著增加。此外，混合结构还受到模拟波束形成器权值的恒定幅值约束。这些限制使得混合处理子系统的设计比传统的全数字处理子系统更加复杂。
为了简化混合预编码的设计，人们提出了基于离散透镜阵列（DLA）的 beamspace MIMO 概念。
4. beamspace MIMO
一个典型的 DLA 主要包括两部分：
1 个电磁（EM）透镜
电磁透镜的基本原理是：为透镜孔径上不同位置的电磁光线提供可变的相移 ，从而获得与角度有关的能量聚焦特性 。该方法能有效地将传统的 MIMO 空间信道转换为具有角度相关的能量聚焦特性的波束空间信道 。
1 个匹配的天线阵列，其阵元位于透镜的焦区（focal region）
优势：在实际应用中，由于毫米波波束空间信道的稀疏性 ，只需要少量的波束。由于每个波束对应一个 RF 链，这有效地降低了 mmWave MIMO 系统中 RF 链成本。此外，将混合结构中所需的移相器替换为开关（switching network）网络 ，降低了 RF 硬件的成本和复杂度，提高了功率预算。
在此背景下，mmWave 透镜阵列系统的一个关键问题 是有效的波束选择 和数字预编码 方案的设计。
波束选择 和 数字预编码
近期来，关于 DLAs 波束选择问题的的研究主要集中在选择最大幅值的波束 （MM-BS）上，以便从每个用户获得尽可能多的功率。随后，考虑了潜在的多用户干扰，提出了一种基于干扰感知 的波束选择策略（IA-BS），其性能优于 MM-BS 方案。
这篇文章发现了什么问题，提出了什么问题？（动机 ）
然而，上述方案都是基于固定的数字预编码 方法，如
- 迫零（ZF）
- 最小均方误差（MMSE）
- 最大比组合（MRC）
由于波束选择和预编码模块分别 设计，可能会导致性能显著下降 。
这篇文章针对动机 做了哪些工作？
本文考虑了波束选择和预编码矩阵的联合设计：
-
目的
使用有限数量的 RF 链最大化 下行单面透镜 mmWave MU-MIMO 系统的和速率 。 -
内容
见摘要部分。此外，由于 IA-BS 方案以较低的复杂度获得了较好的性能，本文还设计了一个简化的波束选择方案。
系统模型
无线 mmWave 子网络的下行链路，一个基站（BS）同时为 K 个用户（单天线）服务。BS 是单面 DLA MU-MIMO 发射机，有 M_s 阵元以及 N_{RF} 个 RF 链。为了保证空间复用增益，一般 N_{RF}>K，在本文使用 N_{RF}=K。
BS 发送 K 数据流携带独立的消息，每个消息都针对特定的用户。在 BS 处预编码的基带数据向量可以表示为
\mathbf {x=Ps}=\sum_{k=1}^{K}\mathbf p_k s_k
- 数据符号向量 \mathbf s=[s_1, \cdots, s_K]^{T}，其中符号 s_k 满足零均值且 \mathbb E\{\vert s_k\vert^2 \}=1。
- 预编码矩阵 \mathbf P=[\mathbf p_1, \cdots, \mathbf p_K] \in \mathbb C^{N_{RF} \times K}，其中 \mathbf p_k 是 k 用户的数字预编码向量。
在窄带（平坦衰落）假设下，所有用户的 K \times 1 接收信号为
\mathbf {y =H}^{H}\mathbf{FPs+n}
窄带：各条路径传输时延即 \textcolor{blue}{e^{j2 \pi f_c \tau_l}} 差别不大。而传输波形的频谱较窄，接收点的合成信号只有强度的随机变化，而波形失真很小。这种衰落称为平坦衰落 。
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宽带：各条路径传输时延差别较大，传输波形的频谱较宽，则信道对传输信号中不同频率分量强度和相位的影响各不相同。此时，接收点合成数字信号在时间上有所展宽。这种衰落称为频率选择性衰落 。
- 波束空间信道矩阵 \mathbf H =[\mathbf h_1, \cdots, \mathbf h_K]=\in \mathbb C^{M_s \times K}。
- 波束选择矩阵 \mathbf F \in \mathbb C^{M_s \times N_{RF}} 其元素 f_{i,j} 非 0 即 1。
- 噪声向量 \mathbf n \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0, \sigma^2 \mathbf I)。
本文为 mmWave 系统采用了著名的 Saleh-Valenzuela 信道模型（只考虑了二维平面，因此只涉及到 azimuth 忽略 elevation），且假设波束空间信道矩阵 \mathbf H 通过有效的信道估计方案被 BS 完美估计。因此，NLoS 分量 L 的数量通常远小于 M_s，信道矩阵 \mathbf H 具有稀疏结构。
用户 k 的 signal-to-interference-plus-noise ratio（SINR）可表示为：
\gamma_k = \frac{\vert \mathbf {h}_k^{H}\mathbf{F}\mathbf{p}_k \vert^2}{\sum_{i\neq k}^{K}\vert \mathbf {h}_k^{H}\mathbf{F}\mathbf{p}_i \vert^2+ \sigma^2}
因此可达速率为 \mathcal R_k = \log_2(1+\gamma_k)。考虑 BS 发送功率上界为 P_s，于是最大化和速率问题为
\begin{aligned} \underset{\mathbf {F,P}}{\max} \sum_k \log_2(1+\gamma_k) \\ s.t. \quad \mathrm{tr}(\mathbf {P}^{H}\mathbf {F}^{H}\mathbf{FP})\leq P_s \\ \sum_{i=1}^{M_s} f_{i,j} =1, \quad \sum_{j=1}^{N_{RF}} f_{i,j} \leq 1 \\ f_{i,j} \in \{0,1\} \end{aligned}
其中 \sum_{i=1}^{M_s} f_{i,j} =1, \quad \sum_{j=1}^{N_{RF}} f_{i,j} \leq 1 表示确保每条 RF 链馈送一个波束，确保每个波束最多选择一个 RF 链。什么意思呢？我们看一下矩阵 \mathbf F 的由来：
- \sum_{i=1}^{M_s} f_{i,j} =1 指的矩阵 \mathbf F 第 j 列所有元素之和为 1，则表示每一列必须 且只有一个 1 ， 其余为 0。这限制了 N_{RF} 个链必只配备 1 个波束。
- \sum_{j=1}^{N_{RF}} f_{i,j} \leq 1 指的矩阵 \mathbf F 第 i 行所有元素之和，因此每一行最多 只有一个元素为 1，其余为 0。这表示有些行为全 0 ，相当于从 M_s波束集中选择了 N_{RF} 个波束。此外，如果 \sum_{j=1}^{N_{RF}} f_{i,j} > 1 表示同一波束 分配到了多个 RF 链上。
该优化问题是非凸的，且离散空间的求解也很难。
解法
上面的最大化问题等价于下面这个加权和最小化问题 ：
\begin{aligned} \underset{\mathbf {F,P},\{w_k, u_k\}}{\min} \sum_k w_ke_k-\log_2 w_k \\ s.t. \quad \mathrm{tr}(\mathbf {P}^{H}\mathbf {F}^{H}\mathbf{FP})\leq P_s \\ \sum_{i=1}^{M_s} f_{i,j} =1, \quad \sum_{j=1}^{N_{RF}} f_{i,j} \leq 1 \\ f_{i,j} \in \{0,1\} \end{aligned}
其中 w_k 是加权值，而 u_k 对应于接收译码 \hat{s}_k =u_k y_k。因此 e_k=\mathbb E\{\vert \hat{s}_k-s_k \vert^2 \}。为什么等价的定理证明见论文附录。因为加权和最小化问题具有凸的目标函数，所以比较容易处理。
为了处理最小化问题中的非凸约束和耦合约束 ，引入辅助变量：
\begin{aligned} \hat{f}_{i,j} = f_{i,j}, \quad f_{i,j}(1-\hat{f}_{i,j})=0, \quad 0 \leq \hat{f}_{i,j}\leq 1 \\ \mathbf{FP=V}, \quad \mathrm{tr}(\mathbf {V}^{H} \mathbf{V})\leq P_s \\ \mathbf f_i^{T} = \mathbf F_{i,:} \end{aligned}
所以优化问题进一步是定义在参数空间 \mathbf {V,P},\{w_k, u_k, \hat{f}_{i,j},\mathbf f_i\} 上的。在保持其他变量不变的情况下，单独优化每个变量会导致一个很容易解决的子问题。
文章提出了一种基于 PDD 的算法，其特点是嵌入了一个双环结构，其中内环解决增广拉格朗日问题（AL）子问题，而外环的目标是更新基于约束违反程度的对偶变量（惩罚参数）。
简化
为了降低复杂度，文章提出了一个简化的次优算法，分别设计了波束选择和预编码矩阵。我们首先使用 IA-BS 方案选择光束（说白了，就是把清华那篇 letter 的方法拿过来用了），该方案考虑了潜在的多用户干扰。然后，利用 WMMSE 方法得到了一个最优的预编码矩阵，使系统的总速率达到最大。
在搬完 IA-BS 算法以后，该方案提出一个发现：如果没有基于所选波束的最优数字预编码矩阵 ，该 IA-BS 算法的性能会下降。于是优化问题变为，当已经利用 IA-BS 算法获得 \mathbf F 矩阵后，剩下单独搜索 \mathbf P 就可以了。
\begin{aligned} \underset{\mathbf { P}}{\max} \sum_k \log_2(1+\gamma_k) \\ s.t. \quad \mathrm{tr}(\mathbf {P}^{H}\mathbf {F}^{H}\mathbf{FP})\leq P_s \end{aligned}
前面提到的 WMMSE 方法表示为
\begin{aligned} \underset{\mathbf { P},\{w_k, u_k\}}{\min} \sum_k w_ke_k-\log_2 w_k \\ s.t. \quad \mathrm{tr}(\mathbf {P}^{H}\mathbf {F}^{H}\mathbf{FP})\leq P_s \end{aligned}
接下来再用 PDD 算法求解子问题。
这篇文章的主要思路理清了，感觉主要内容就是解了一个联合优化问题，没有其他更多的点了。